Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Kategorie:Thermodynamik
__SHOWFACTBOX__
Anwendung des Prinzips der vorurteilsfreien Schätzung auf ein klassisch- mechanisches System von N Teilchen ( z.B. Moleküle eines Gases, 3N freiheitsgrade)
Voraussetzung
gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit der Mirkozustände
Dabei bezeichnet
den Phasenraum der kanonisch konjugierten Orte
und Impulse
Begründung
Liouville- Theorem{{#set:Fachbegriff=Liouville- Theorem|Index=Liouville- Theorem}}
- notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung !
Hamiltonfunktion
Hamiltonsche Gleichungen:
Lösung:
als Trajektorie im Phasneraum
( bei euklidischer metrik) gegeben durch das 6N- dimensionale Vektorfeld
![{\displaystyle {\dot {\xi }}\equiv \left({\frac {\partial H\left(\xi \right)}{\partial {{p}_{1}}}},{\frac {\partial H\left(\xi \right)}{\partial {{p}_{2}}}},...,{\frac {\partial H\left(\xi \right)}{\partial {{p}_{3N}}}},{\frac {\partial H\left(\xi \right)}{\partial {\acute {\ }}{{q}_{1}}}},...,{\frac {\partial H\left(\xi \right)}{\partial {{q}_{3N}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1503388ae0020d2bfc2265c4f91662bc68876e2f)
Es gilt:
![{\displaystyle div{\dot {\xi }}:=\sum \limits _{k=1}^{3N}{}\left({\frac {\partial {{\dot {q}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}}+{\frac {\partial {{\dot {p}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}}}\right)=\sum \limits _{k=1}^{3N}{}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}{\frac {\partial H\left(\xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}}-{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}{\frac {\partial H\left(\xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164a6f691181d905af581a6b42152d7f6ed3d221)
Interpretiert man
als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz (Kontinuitätsgleichung{{#set:Fachbegriff=Kontinuitätsgleichung|Index=Kontinuitätsgleichung}}):
Interpretation:
- Dichte des Phasenflusses
![{\displaystyle \rho \left(\xi ,t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4640ae84cb73f42f12765d650f42d55c7a52cb)
- Geschwindigkeit des Phasenflusses
![{\displaystyle {\dot {\xi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e095eb22b2d2b08212a47eeee8e72d2715e7ae4)
- Stromdichte des Phasenflusses
![{\displaystyle \rho {\dot {\xi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e188a6f1f40fd11f1d9108e7cb6ab9545fadf0cb)
Die Änderung der Dichte in dem mit dem Fluss mitbewegten lokalen Koordinatensystem ist:
Wegen
folgt aus der Kontinuitätsgleichung
Theorem von Liouville:
Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System !
Phasenfluss -> inkompressible Flüssigkeit
Phasenvolumina im
- Raum sind invariant !
|
{{#set:Definition=Theorem von Liouville|Index=Theorem von Liouville}}
Aber: Verformung ist natürlich zulässig !!
Ergänzung
Die Metrik in
kann so gewählt werden, dass gleiche Phasenvolumina gleiche a-priori Wahrscheinlichkeiten haben und für alle Zeiten behalten .
Nebenbemerkung: Gilt nur für kanonische Variablen p,q
Konstruktion der Gleichgewichtsverteilung
Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen:
bei m unabhängigen Observablen !
Ensemble- Mittelwerte ! sind gegeben als Info über den Zustand !
Das Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung{{#set:Fachbegriff=Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung|Index=Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung}} ergibt:
Beispiele
Annahme: unterscheidbare Teilchen. Ansonsten kommt noch ein Faktor
rein !
{{Beispiel: 1. Kanonische Verteilung
m=1:
Hamiltonfunktion als eine Art " Zufallsfunktion"
thermodynamisch konjugierter intensiver Parameter
innere Energie <- enthält nicht die makroskopische Bewegung des Systems als Ganzes !
kanonische Zustandssumme ( Partition function)
als Dichteverteilung
- in der QM: statistischer Operator !
}}