Wahrscheinlichkeitsbegriff

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Wahrscheinlichkeitsbegriff basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 1) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Ereignis: Messergebnis von Observablen ( event) oder fester Mikrozustand ( der realisiert wird).

Ereignisse bilden einen ABELSCHEN VERBAND ( Ereignisalgebra)

Merke: Ereignisalgebra = Abelscher verband $A\stackrel{´}{}$

mit Mengentheoretischen Verknüpfungen

$\cup ,\cap$

Vereinigung ( oder) und

Durchschnitt ( und)

Für A,B,C $\in A\stackrel{´}{}$

gilt:

$\begin{array}{rl}& A\cup B=B\cup A\\ & A\cap B=B\cap A\\ \end{array}$

( Kommutativitätsgesetz)

$\begin{array}{rl}& A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\\ & A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\\ \end{array}$

Assoziativität

$\begin{array}{rl}& A\cap (A\cup B)=A\\ & A\cup (A\cap B)=A\\ \end{array}$

( Verschmelzungsgesetz)

$\begin{array}{rl}& A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\ & A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\\ \end{array}$

Distributivgesetz

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\exists }S\Rightarrow A\cap S=A\\ & \mathrm{\exists }0\Rightarrow A\cup 0=A\\ \end{array}$

Existenz der Eins ( sicheres Ereignis) und Existenz des Nullelements: " leeres Ereignis"

$\mathrm{\forall }A\in A\stackrel{´}{}\mathrm{\exists }B\Rightarrow A\cap B=0,A\cup B=S$

Existenz des Komplements

$B=\mathrm{\neg }A=\overline{A}$

Induzierte Halbordnung

$A\subseteq B$

A impliziert B,

falls $A\cap B=A$

Also: menge A liegt in B

A und B sind disjunkt, falls $A\cap B=0$

Vollständig disjunkte Ereignismenge ( sample set)

$\begin{array}{rl}& \{A_1,A_2,...,A_n\}mit\\ & A_i\cap A_j=A_i{\delta }_{ij}\\ & \bigcup _{i=1}^n{A}_i=S\\ \end{array}$

Beispiel:

Ereignismenge

$\{1,2,3,4,5,6\}$

Bemerkung: Diese Menge M ist keine Algebra, da

$\begin{array}{rl}& A\cup B\notin M\\ & \overline{A}\notin M\\ \end{array}$

Wahrscheinlichkeit

Empirische Definition

$P(A)=\begin{array}{c}\lim \\ N\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}\frac{N\left(A\right)}{N}$

mit

$\frac{N\left(A\right)}{N}$

relative Häufigkeit des Ereignisses A

N(A) ist die Zahl der Experimente mit dem Ergebnis A

N ist die Zahl der Experimente insgesamt

axiomatische Definition ( Kolmogoroff)

Sei A$\in A\stackrel{´}{}$

( Boolscher Verband)

Sei

$S\in A\stackrel{´}{}$

das sichere Ereignis.

Dann erfüllt die Wahrscheinlichkeit P(A)

die Axiome:

$\begin{array}{rl}& P(A)\ge 0\\ & P(S)=1\\ \end{array}$

Für disjunkte Ereignisse:

$A\cap B=0\Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Folgerung

$\begin{array}{rl}& P(A)+P(\overline{A})=P(A\cup \overline{A})=1\\ & \Rightarrow P\left(A\right)\le 1\\ \end{array}$

Zerlegung in disjunkte Ereignisse

für beliebige A1, A2:

$\begin{array}{rl}& A_1\cup A_2=A_1+{\overline{A}}_1\cap A_2=A_1+A_2-A_1\cap A_2\\ & {\overline{A}}_1\cap A_2=A_2-A_1\cap A_2\\ & A_2=A_1\cap A_2+{\overline{A}}_1\cap A_2\\ \end{array}$

Also folgt für Wahrscheinlichkeiten:

$\begin{array}{rl}& P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P({\overline{A}}_1\cap A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)\\ & P(A_2)=P(A_1\cap A_2)+P({\overline{A}}_1\cap A_2)\\ \end{array}$

Also:

$\begin{array}{rl}& P(A_1\cup A_2)+P(A_1\cap A_2)=P(A_1)+P(A_2)\\ & P(A_1\cap A_2)\ge 0\\ & \Rightarrow P(A_1\cup A_2)\le P(A_1)+P(A_2)\\ \end{array}$

Speziell

$P(A_1)\le P(A_2)$

, falls $A_1\subseteq A_2$

bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Bedingte Wahrscheinlichkeit ( A unter der Bedingung, dass B), ergibt sich gemäß

Also A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist !

$P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Falls A von B unabhängig ist, so gilt:

$\begin{array}{rl}& P(A\cap B)=P(A)P(B)\\ & P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=P(A)\\ \end{array}$

Nebenbemerkung, ebenso gilt:

$P(B/A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=P(B)$

Zufallsvariablen

Eine Zufallsvariable ist gegeben durch

1. eine Menge M von vollständig disjunkten Ereignissen ( sample set) $X_i$
3. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(X_i)$
4. über M

es gilt die Normierung

$\sum _{i}P(X_i)=1$

Definiert man sich dies für eine kontinuierliche Menge, also $x\in R$

,

so gilt:

$P(x\stackrel{´}{}\le x\le x\stackrel{´}{}+dx\stackrel{´}{})=\rho \left(x\stackrel{´}{}\right)dx\stackrel{´}{}$

definiert eine Wahrscheinlichkeitsdichte oder auch Wahrscheinlichkeitsverteilung $\rho \left(x\right)$

.

Übergang zu diskreten Ereignissen:

$\rho \left(x\right)=\sum _{i=1}^n\delta (x-x^{(i)})P_i$

mit Normierung

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\rho \left(x\right)dx=1$

Physikalische Interpretation

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man sich realisiert denken durch ein Ensemble von vielen äquivalenten Systemen, also durch eine Dichteverteilung $\rho \left(x\right)dx$

der Mitglieder des Ensembles mit Werten zwischen x und x+dx

Verallgemeinerung auf d Zufallsvariablen

$\begin{array}{rl}& x=(x_1,x_2,...,x_d)\in R^d\\ & d^{d}x=d{x}_{1}d{x}_2...d{x}_d\\ \end{array}$

Die Normierung geschieht dann in einem d- Dimensionalen Raum.

$\underset{}{\overset{}{\int }}\rho \left(x\right)d^{d}x=1$

Mittelwert ( Erwartungswert) einer Zufallsvariablen x:

$⟨x⟩=\underset{}{\overset{}{\int }}\rho \left(x\right)x{d}^{d}x$

für eine beliebige Funktion f(x):

$⟨f⟩=\underset{}{\overset{}{\int }}\rho \left(x\right)f(x)d^{d}x$

Nebenbemerkung

Der Mittelwert ist ein lineares Funktional $f_{\rho }:[\to R$

$[\in f\to ⟨f⟩$

Linearität:

$⟨c_1{f}_1+c_2{f}_2⟩=c_1⟨f_1⟩+c_2⟨f_2⟩$

Unkorrelierte Zufallsvariable:

x1 und x2 heißen unkorreliert, falls

$\rho (x_1,x_2)={\rho }_1\left(x_1\right){\rho }_2\left(x_2\right)$

Dann gilt:

$⟨x_1{x}_2⟩=⟨x_1⟩⟨x_2⟩$

Beweis:

Merke: In Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist unkorreliert gleichbedeutend mit separabel _> die Phasen werden addiert !

Sind die Zustände verschränkt, so können die Phasen nicht addiert werden.

Die Einführung einer Symplektik ist nötig ! ( siehe unten).

Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilung und Mittelwerten

Wir verstehen als n.tes Moment einer Wahrscheinlichkeitsverteilung:

$M_n:=⟨x^n⟩$

Momentenerzeugende:

$\begin{array}{rl}& Z(a)=⟨e^{ax}⟩=⟨\sum _0^{}\frac{{\left(ax\right)}^n}{n!}⟩=\sum _0^{}\frac{{\left(a\right)}^n}{n!}{M}_n\\ & M_n={\frac{{\partial }^n}{\partial a^n}Z(a)|}_{a=0}=M_n\\ \end{array}$

Durch die Angabe aller nicht verschwindender Momente ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt !

Verallgemeinerung auf d Zufallsvariablen:

$M_{n1,n2,...nd}:=⟨{x_1}^{n1}{x_2}^{n2}....{x_d}^{nd}⟩$ ein Moment der Ordnung $n:=n1+n2+...+nd$

Momentenerzeugende: $\begin{array}{rl}& Z(a)=⟨e^{ax}⟩=⟨\sum _{n1,n2...nd=0}^{}\frac{({\left(a_{1}x1\right)}^{n1}{\left(a_{2}x2\right)}^{n2}...{\left(a_{d}xd\right)}^{nd})}{n1!n2!...nd!}⟩=\sum _{n1,n2...nd=0}^{}\frac{({\left(a_1\right)}^{n1}{\left(a_2\right)}^{n2}...{\left(a_d\right)}^{nd})}{n1!n2!...nd!}{M}_{n1..nd}\\ & a=(a_1,a_2,...,a_d)\\ \end{array}$

Kumulante

$C_{n1,n2,...nd}:={⟨{x_1}^{n1}{x_2}^{n2}....{x_d}^{nd}⟩}_C$

ist definiert durch die Kumulantenerzeugende: $\mathrm{\Gamma }\left(a\right)=\ln ⟨e^{ax}⟩$

$\begin{array}{rl}& {\frac{{\partial }^{n1}....{\partial }^{nd}}{\partial {a_1}^{n1}....{a_d}^{nd}}\mathrm{\Gamma }\left(a\right)|}_{a=0}=C_{n1,n2,...nd}\\ & \Rightarrow \mathrm{\Gamma }\left(a\right)=\ln ⟨e^{ax}⟩=\sum _{n1...nd}^{}\frac{{a_1}^{n1}...{a_d}^{nd}}{n1!...nd!}{C}_{n1,n2,...nd}\\ \end{array}$

Eigenschaft

Kumulanten sind ADDITIV für unkorrelierte Zufallsvariablen ( Dies gilt nicht für die Momente !!)

Beweis: seien x1, x2 unkorreliert: $\begin{array}{rl}& Z(a)=⟨e^{ax}⟩=\underset{}{\overset{}{\int }}d{x}_{1}d{x}_2\rho \left(x_1\right)\rho \left(x_2\right)e^{a_1{x}_1}{e}^{a_2{x}_2}=⟨e^{a_1{x}_1}⟩⟨e^{a_2{x}_2}⟩\\ & \Rightarrow \mathrm{\Gamma }\left(a\right)=\ln Z(a)=\ln ⟨e^{a_1{x}_1}⟩+\ln ⟨e^{a_2{x}_2}⟩=\mathrm{\Gamma }\left(a_1\right)+\mathrm{\Gamma }\left(a_2\right)\\ & {\frac{{\partial }^n}{\partial a^n}\mathrm{\Gamma }\left(a\right)|}_{a=0}\Rightarrow {⟨{(x_1+x_2)}^n⟩}_C={⟨x^n⟩}_C={⟨{x_1}^n⟩}_C+{⟨{x_2}^n⟩}_C\\ \end{array}$

Fluktuation: $\mathrm{\Delta }x:=x-⟨x⟩$

mit $⟨\mathrm{\Delta }x⟩=0$

Bildung der Varianz: $⟨{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2⟩=⟨{(x-⟨x⟩)}^2⟩=⟨x^2⟩-2⟨x⟩⟨x⟩+{⟨x⟩}^2=⟨x^2⟩-{⟨x⟩}^2$

Als Maß für die Breite einer Verteilung

Korrelationsmatrix: $⟨\mathrm{\Delta }{x}_k\mathrm{\Delta }{x}_l⟩=⟨x_k{x}_l⟩-⟨x_k⟩⟨x_l⟩$

Nichtdiagonalelemente verschwinden für unkorrelierte Zufallsvariablen. Denn dann: separieren die Momente der WSK- Verteilung ! Siehe oben

• Korrelationsmatrix beschreibt die qm- Korrelationen über ihre Außerdiagonalelemente

Zusammenhang zwischen Kumulanten und Momenten:

$\begin{array}{rl}& {⟨x⟩}_C=⟨x⟩\\ & {⟨x^2⟩}_C=⟨{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2⟩=⟨x^2⟩-{⟨x⟩}^2\\ & {⟨x^3⟩}_C=⟨{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^3⟩\\ & {⟨x^4⟩}_C=⟨{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^4⟩-3{⟨{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2⟩}^2\\ \end{array}$

Gaußverteilung / Normalverteilung

$\begin{array}{rl}& \rho (x)=A\exp (-\frac{{(x-⟨x⟩)}^2}{2{\sigma }^2})\\ & {\sigma }^2:=⟨{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2⟩={⟨x^2⟩}_C\\ \end{array}$

Mit Sigma als Standardabweichung

Normierung:

$\begin{array}{rl}& \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\rho (x)=A\sigma \sqrt{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}du\exp (-u^2)=!=1\\ & u:=\frac{x}{\sigma \sqrt{2}}\\ \end{array}$

Wegen:

$\begin{array}{rl}& \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}du\exp (-u^2)=\sqrt{\pi }\\ & \Rightarrow A=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\\ \end{array}$

Nebenbemerkung, die Gaußverteilung $\rho (x)$ ist bestimmt durch ${⟨x⟩}_C,{⟨x^2⟩}_C$ . Alle höheren Kumulanten verschwinden !