Aufgaben der statistischen Physik
65px|Kein GFDL | Der Artikel Aufgaben der statistischen Physik basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 0) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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- bisher: klassisch und qm nur ein oder zwei Teilchen betrachtet. Diese Körper waren zudem isoliert von der Umgebung
- in der realen Welt: Vielkörperprobleme mit Wechselwirkung. Makroskopische Systeme
Teilchen pro Liter , festkörper
Teilchen pro Kilogramm
Ziel: Beschreibung von Makroskopischen Systemen
Beschreibung von Systemen, die auch mit der Umgebung wechselwirken können.
Die Zahl der Freiheitsgrade ist zu groß für eine exakte Beschreibung
Alternative:
Angabe von Wahrscheinlichkeiten
angenommen wird, anstatt die Zeitentwicklung aller Einzelheiten zu verfolgen.
können dann makroskopische Größen berechnet werden, wie Druck, Temperatur etc...
STATISTIK
Ableitung von makroskopischen Saystemgrößen wie Druck, für Vielteilchensysteme (VTS) aus der mikroskopischen Mechanik oder Quantentheorie
Die Behandlung der VTS erfolgt dann statistisch, also auf der Grundlage von Wahrscheinlichkeiten, mit denen verschiedene Zustände eines Systems durchlaufen werden.
Beispiel:
Gas
. Man müsste die Bahnkurve jedes Teilchens kennen
( mikroskopische Information).
Im Rahmen der Statistik werden makroskopische Infos gesucht, wie der Druck auf eine Wand ! Im Experiment wird dann der Druck auf eine Wand im Zeitmittel gemessen. Es liegen aber durchaus Fluktuationen vor ( hinsichtlich der Zahl der auftreffenden Teilchen).
Theoretischer Ansatz:
Mit dem sogenannten Ensemblemittel
.
die Wahrscheinlichkeit einer Momentaufnahme ( Also die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Zählrate)
bildet dann die Summe aller möglichen Momentaufnahmen mit ihrem jeweiligen statistischen Gewicht.
Der Zustand, die Größe der jeweiligen Momentaufnahme i ist
Es sind 2 Gebiete wichtig:
Gleichgewichtsstatistik:
Wenn man ein VTS sich selbst überläßt, so streben alle makroskopisch messbaren Größen gegen zeitlich konstante Werte. Dies ist der Gleichgewichtszustand. Die makroskopischen Größen heißen Zustandsgrößen.
Nichtgleichgewichtsstatistik!
Thermodynamik: makroskopische Beschreibung der Gleichgewichtseigenschaften mit den Hauptsätzen der Thermodynamik (TD). Die Hauptsätze der Thermodynamik werden aus der statistischen Physik abgeleitet.
Nichtgleichgewichtsstatistik: ein offenes System kann durch zeitabhängige Felder aus dem Gleichgewichtszustand gebracht werden. Wird das System dann sich selbst überlassen, so erfolgt die Relaxation zurück in den Gleichgewichtszustand.
Wichtige Begriffe:
Reiner Zustand:
Zustand entwickelt sich ohne den statistischen Einfluss der Umgebung ( näherungsweise). Die Anfangsbedingung ist dabei exakt vorgegeben.
Gemischter Zustand: ( statistische Physik):
Der Zustand entwickelt sich unter dem Einfluss der Umgebung. Unter Umständen kann die Wahrscheinlichkeit
zur Beschreibung genutzt werden.
wird dabei von der Umgebung vorgegeben ( z.B. Temperatur).
Auch die Anfangsbedingungen sind nur mit der Wahrscheinlichkeit
bekannt.
Erwartungswerte/ Mittelwerte:
Zeitlicher Mittelwert eines Erwartungswertes:
Mit der statistischen Mittelung über Umgebung und Anfangsbedingungen:
Und der quantenmechanischen Bildung des Erwartungswertes
Für eine feste Observable ( Anfangswert- und Umgebungsunabhängig):
sollten nach Möglichkeit zeitunabhängig sein. Sie sind durch die Umgebung oder die Anfangsbedingungen vorgegeben.
Definition der Wahrscheinlichkeit:
eines Ereignisses im Zustand i :
- Zahl , wie oft das Ereignis aufgetreten ist.
Statistisches Ensemble
Ist die Menge von N gleichartigen Systemen, von denen jeweils
im Zustand i sind . Die Prozedur der Mittelung ist das sogenannte Ensemblemittel
Arten der Mittelung
Zeitmittel: Das betrachtete System wird N mal über einen festen Zeitraum untersucht
Ensemblemittel: N Systeme werden zu einem festen Zeitpunkt untersucht.
Beispiel: Gas
Wechselwirkung des VTS , Geschwindigkeitsverteilung eines Teilchens:
, mit der das Teilchen die Energie
hat.
Zeitmittel: Man würde in einem Gas N mal hintereinander ein Teilchen beobachten
Ensemblemittel: N Gase nebeneinander zu einem festen Zeitpunkt untersuchen.
Systeme, in denen das Zeitmittel (experimentell) durch das Ensemblemittel ersetzt werden können, heißen ERGODISCHE Systeme (Ergodenhypothese).
Im Allgemeinen erfüllen wechselwirkende VTS die Ergodenhypothese
Mikrozustand:
- vollständige klassische oder quantentheoretische Angabe des Zustandes zu einer bestimmten Zeit t ( aller Freiheitsgrade = Mikroobservable)
- Beispiele: klassisch: Radiusvektor und Impulsvektor als Phasenraumtrajektorie für i=1...N
- quantenmechanisch:
- Spin- Eigenzustand: Anzahl der möglichen Mikrozustände in diesem Fall bei N Teilchen:
Makrozustand( = thermodynamischer Zustand)
Beschreibung durch typische makroskopische Observablen ( Messgrößen):
- Arbeitskoordinaten ( äußere Parameter): Volumen, elektrische und magnetische Felder
- Innere Systemkoordinaten ( als makroskopische Mittelwerte von Mikroobservablen): Energie, Impuls, elektrische Polarisation, Magnetisierung
Thermodynamik -> Informationsreduzierung der Kenntnis des Mikrozustandes auf Makrozustand durch zeitliche Mittelung bzw. Ensemble- Mittelung!