Bifurkationen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Bifurkationen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Sei der Fluß von einem Kntrollparametr µ abhängig, so zeigt sich, dass sich die Zahl der Attraktoren bei einem kritischen Wert µc schlagartig ändern kann.

Es treten dann sogenannte Bifurkationen auf ( "Verzweigungen" der Lösungsmannigfaltigkeit).

Notwendige Voraussetzung für diesen Prozess ist jedoch Nichtlinearität !

Bifurkationspunkte sind oft verknüpft mit Stabilitätswechsel. Das bedeutet, die lineare Stabilität der Fixpunkte im Falle lokaler Bifurkationen muss untersucht werden.

Eigenwert- Null - Bifurkation

$\lambda <0\to \lambda >0$

stabiler Fixpunkt ( Knoten) -> instabilen Fixpunkt ( Sattelpunkt für $n\ge 2$ )

detA>0 -> detA<0

A1) Sattel- Knoten- Bifurkation

einfachster Fall:

$\dot{x}=\mu -x^2$

$x*=\pm \sqrt{\mu }$

Fixpunkte existieren also nur für

$\mu \ge 0$

$\delta \dot{x}=-2x*\delta x$

Somit existieren:

${\lambda }_1>0$

und

${\lambda }_2<0$

für

$x*=\pm \sqrt{\mu }$

A2) Transkritische Bifurkation

$\dot{x}=\mu x-x^2$

$x*=\mu ,0$

$\begin{array}{rl}& \delta \dot{x}=(\mu -2x*)\delta x\\ & \Rightarrow \lambda =\{\begin{array}{c}\mu \\ -\mu \\ \end{array}\\ \end{array}$

Stabilitätswechsel bei µc=0

A3) Stimmgabelbifurkation (pitchfork bifurcation)

superkritisch:

$\dot{x}=\mu x-x^3$

$x*=\pm \sqrt{\mu },0$

für

$\mu \ge 0$ zwei Fixpunkte, sonst einer

$\begin{array}{rl}& \delta \dot{x}=(\mu -3x{*}^2)\delta x\\ & \Rightarrow \lambda =\{\begin{array}{c}\mu \\ -2\mu \\ \end{array}\\ \end{array}$

zum Eigenwert µ ist der Fixpunkt stabil für µ<0 und zu -2µ stabil für µ>0

subkritisch

$\dot{x}=\mu x+x^3$

$x*=\pm i\sqrt{\left|\mu \right|},0$

mit den ersten beiden Fixpunkten nur für µ<0, ansonsten , für µ>0 existiert nur x*=0

Stabil ist jedoch lediglich der Fixpunkt x*=0 für µ<0:

1. Hopf- Bifurkation

stabiler Fokus $\to$

 instabiler Fokus mit Grenzzyklus

${\lambda }_{1,2}={\lambda }_0\pm i\omega$

 mit:

${\lambda }_0<0\to {\lambda }_0>0$

stabiler Fokus instabiler Fokus mit Grenzzyklus

Übergang vom stabilen Fokus zum instabilen Fokus mit Grenzzyklus

sei n=2:

tr A < 0 ( stabiler Fokus) $\to$

 tr A > 0 ( instabiler Fokus)

( Voraussetzung: det A >0 )

mindestens n=2 nötig !

Deterministisches Chaos

Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit $n\ge 3$

( autonom):

Seltsamer ( chaotischer) Attraktor

komplexes, irreguläres Verhalten kann verschiedene Ursachen haben, die sich im zeitlichen verhalten einer Observablen oft schwer unterscheiden lassen.

Als Unterscheidungskriterien bieten sich an:

quasiperiodisch deterministisches Chaos stochastisches Rauschen

wenige dynamische Freiheitsgrade: viele mikroskopische Freiheits-

niedrigdimensionaler Phasenraum grade. ( Statistisches Ensemble)

Attraktor: Torus $T^d$

d=2,3,4,...	seltsamer Attraktor, fraktale Dimension

$f\stackrel{~}{}{10}^{24}$

Autokorrelationsfunktion $⟨x(t)x(t+\tau )⟩:=\begin{array}{c}\lim \\ T\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}\frac{1}{2T}\underset{-T}{\overset{T}{\int }}x(t)x(t+\tau )d\tau$

periodisch in $\tau$

$\to 0$

für

$\tau \to \mathrm{\infty }$

$=0$

für

$\tau >{\tau }_c$

Fourierspektrum ( bzw. Leistungsspektrum):

$S(\omega )=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}⟨x(t)x(t+\tau )⟩e^{i\omega \tau }d\tau$

diskrete Frequenzen ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,...$ b r e i t e s F r e q u e n z b a n d

Instabilität der Bewegung bei kleinen

Störungen der Anfangsbedingungen

typische universelle

Bifurkationszenarien

Def.: Eine Bewegung heißt chaotisch, wenn sie empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt.

Quantitative Formulierung der Stabilität gegenüber kleinen Variationen der Anfangsbedingungen:

Bahnstabilität / Orbitale Stabilität

bahnstabil: Alle benachbarten Bahnen bleiben in einer $\epsilon$

- Röhre um

$\mathrm{\Phi }(t,{\overline{x}}_0)$

Aymptotisch bahnstabil:

Der Abstand benachbarter Bahnen geht gegen Null für t-> unendlich

Ljapunov- stabil

Für DASSELBE t gilt: $|\mathrm{\Phi }(t,{\overline{x}}_0)-\mathrm{\Phi }(t,{\overline{y}}_0)|\to 0$

für t-> unendlich ( t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)

Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve $\mathrm{\Phi }(t,{\overline{x}}_0)$

$\begin{array}{rl}& \delta {\dot{x}}_i=\sum _{k=1}^n\frac{\partial F_i}{\partial x_k}(\overline{x}(t),t)\delta x_k\\ & \frac{\partial F_i}{\partial x_k}(\overline{x}(t),t):=A_{ik}(t)\\ \end{array}$

Dabei:

${\lambda }_k(t)zu{A}_{ik}(t)$

Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren

${\overline{\xi }}^{(k)}(t)$

Formale Lösung:

$\delta \overline{x}(t)=e^{\underset{0}{\overset{t}{\int }}dt\stackrel{´}{}A(t\stackrel{´}{})}\delta \overline{x}(0)$

Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um ${\overline{x}}_0$ , also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen $p_k(t)\stackrel{~}{}{p}_k(0)e^{{\lambda }_{k}t}$

Definition: Stabilität ist bestimmt durch die Ljapunov-Exponenten ${\overline{\lambda }}_k:=\begin{array}{c}\lim \\ t\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}\frac{1}{t}\ln \frac{p_k(t)}{p_k(0)}$

Nebenbemerkung: Sei $\lambda$ der führende ( größte) Ljapunov- Exponent

$\lambda :=\begin{array}{c}\lim \sup \\ t\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}\frac{1}{t}\ln |\overline{x}(t)-\overline{y}(t)|$

$\Rightarrow$

$|\mathrm{\Phi }(t,{\overline{x}}_0)-\mathrm{\Phi }(t,{\overline{y}}_0)|\stackrel{~}{}{e}^{\lambda t}$

Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit $e^{\lambda t}$ .

Für $\lambda$ <0: kleine Abweichungen der Anfangsbedingungen werden exponenziell gedämpft

$\lambda$ >0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander ( Kriterium für Chaos)

Für den chaotischen Attraktor im $R^3$ gilt:

Auf dem Attraktor: ${\overline{\lambda }}_1>0$ auf dem Attraktor: chaotische Bewegung

${\overline{\lambda }}_2=0$

Bifurkationspunkte

${\overline{\lambda }}_3<0$

Von außen Annäherung an den Attraktor ( Abstand verringert sich exponenziell).

Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum: