Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Kategorie:Quantenmechanik
__SHOWFACTBOX__
Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:
![{\displaystyle {\hat {H}}\left|\Psi \right\rangle =E\left|\Psi \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e31509a6e5c530edc4af824806d7c9d3440fea)
soll berechnet werden, wobei
![{\displaystyle {\hat {H}}={{\hat {H}}_{0}}+{{\hat {H}}^{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dded2936456939cbfdb1754271d44734b00a0b9)
durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters
linear entwickelt werden kann:
![{\displaystyle {{\hat {H}}_{1}}=\varepsilon {\hat {V}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f01888e0e9d079fe244f19bdeb2ff03d50752721)
( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !)
Wenn wir nun annehmen, dass zur Energie
mehrere (orthonormal) entartete Zustände gehören, so müssen wir das Problem anpassen:
Das ungestörte Problem schreibt sich dann:
![{\displaystyle {{\hat {H}}_{0}}\left|n,\alpha \right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left|n,\alpha \right\rangle \quad \alpha =1,...,s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0b8ccfac2baa2be2347f806df2788a8e4ccef5)
Damit bezeichnet
die Nummerierung der entarteten Zustände beim Entartungsgrad s. Bei diesem Beispiel wäre der N. Eigenzustand s- fach entartet !
Durch
wird die Entartung jedoch im Allgemeinen aufgehoben:
![{\displaystyle {\hat {H}}\left|{{\Psi }_{k}}\right\rangle ={{E}_{k}}\left|{{\Psi }_{k}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b85397f0a686e7f2f131926c21f1f871fee47624)
Die Störungsreihe/ Störungsentwicklung
![{\displaystyle \left|{{\Psi }_{k}}\right\rangle =\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle +\varepsilon \left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left|{{\Psi }_{k}}^{(2)}\right\rangle +...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b041b910d1c95337982e08797e943bc55077ab)
ist unter diesen Bedingungen nur für ein bestimmtes, geeignetes
![{\displaystyle \left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle =\sum \limits _{\alpha }^{}{}{{c}_{\alpha }}\left|k,\alpha \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab0ffeccb8b483f9cbf3c9a44b628b4164f1a94f)
möglich:
Wähle nun
im ungestörten Eigenraum so, dass für
( eindeutig bestimmt).
Das Einsetzen in die Entwicklung der Ordnung
liefert:
f=1
![{\displaystyle \left({{\hat {H}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left(\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle \right)=\left({{E}_{k}}^{(1)}-{\hat {V}}\right)\sum \limits _{\alpha }{{c}_{\alpha }}\left|k,\alpha \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c375242a4efdae841f5ac1048fff2c9c6b59904)
1. Näherung
Das Skalarprodukt mit
"projiziert" wieder die Korrektur des jeweils entarteten Terms der Nummer
heraus:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle k,\beta \right|\left({{\hat {H}}^{(0)}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =\sum \limits _{\alpha }{{{c}_{\alpha }}\left(\left\langle k,\beta |k,\alpha \right\rangle {{E}_{k}}^{(1)}-\left\langle k,\beta \right|{\hat {V}}\left|k,\alpha \right\rangle \right)}\\&\left\langle k,\beta \right|\left({{\hat {H}}^{(0)}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =0\\&\left\langle k,\beta |k,\alpha \right\rangle ={{\delta }_{\beta \alpha }}\\&\left\langle k,\beta \right|{\hat {V}}\left|k,\alpha \right\rangle :={{\hat {V}}_{\beta \alpha }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/532140695425dee01f255dbfe9eb66f45dd4d5b7)
Somit folgt:
![{\displaystyle 0=\sum \limits _{\alpha }{\left({{\hat {V}}_{\beta \alpha }}-{{E}_{k}}^{(1)}{{\delta }_{\beta \alpha }}\right){{c}_{\alpha }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3213d3fbc92bf56f2cde701ef977915e88d4f073)
Dies ist aber gerade eine Eigenwertgleichung für die sogenannte Störmatrix
![{\displaystyle {\begin{aligned}&0=\sum \limits _{\alpha }{\left({{\hat {V}}_{\beta \alpha }}-{{E}_{k}}^{(1)}{{\delta }_{\beta \alpha }}\right){{c}_{\alpha }}}=\left({\hat {V}}-{{E}_{k}}^{(1)}1\right){\bar {c}}\\&{\bar {c}}\in {{C}^{s}}\\&{\hat {V}}\in {{C}^{s}}\times {{C}^{s}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/630a3bf85aff347dc0a73b19a8c98157a31441ed)
Die Gleichung heißt auch "Säkulargleichung" zur Berechnung von Eigenwerten und bildet ein homogenes, lineares Gleichungssystem.
Die Bezeichnung folgt in Anlehnung an die früheren Anwendungen: Berechnung der astronomischen säkularen Störungen.
Nichttriviale Lösungen existieren genau dann, wenn die Determinante
, die sogenannte Säkulardeterminante, verschwindet, also
also:
![{\displaystyle \left|{\begin{matrix}{{\hat {V}}_{11}}-{{E}_{k}}^{(1)}&{{\hat {V}}_{12}}&...&{{\hat {V}}_{1s}}\\{{\hat {V}}_{21}}&{{\hat {V}}_{22}}-{{E}_{k}}^{(1)}&...&...\\...&...&...&...\\{{\hat {V}}_{s1}}&...&...&{{\hat {V}}_{ss}}-{{E}_{k}}^{(1)}\\\end{matrix}}\right|=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bedeb11e30a957fb6f2067b0d0e3cae57cf697c)
Für den Fall
hermitesch folgt
Dann existieren reelle Eigenwerte
und die Eigenvektoren zu
sind orthogonal !
Bemerkung: Die Entartung muss NICHT vollständig aufgehoben werden !
Beispiel: 2 entartete Zustände
Säkulardeterminante
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left|{\begin{matrix}{{\hat {V}}_{11}}-{{E}_{k}}^{(1)}&{{\hat {V}}_{12}}\\{{\hat {V}}_{21}}&{{\hat {V}}_{22}}-{{E}_{k}}^{(1)}\\\end{matrix}}\right|=0\\&{{\left({{E}_{k}}^{(1)}\right)}^{2}}-\left({{\hat {V}}_{11}}+{{\hat {V}}_{22}}\right){{E}_{k}}^{(1)}+\left({{\hat {V}}_{11}}{{\hat {V}}_{22}}-{{\hat {V}}_{12}}{{\hat {V}}_{21}}\right)=0\\&{{\hat {V}}_{12}}{{\hat {V}}_{21}}={{\left|{{\hat {V}}_{12}}\right|}^{2}}\\&\Rightarrow {{E}_{k}}^{(1)}={\frac {1}{2}}\left[\left({{\hat {V}}_{11}}+{{\hat {V}}_{22}}\right)\pm {\sqrt {{{\left({{\hat {V}}_{11}}-{{\hat {V}}_{22}}\right)}^{2}}+4{{\left|{{\hat {V}}_{12}}\right|}^{2}}}}\right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57eb680b6475e25aa069b5a1ed7aaf018188d2da)
Dies als Korrekturterm. Somit folgt für ein Energieniveau der Energie E:
![{\displaystyle E={{E}^{(0)}}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}={{E}^{(0)}}+{\frac {\varepsilon }{2}}\left[\left({{\hat {V}}_{11}}+{{\hat {V}}_{22}}\right)\pm {\sqrt {{{\left({{\hat {V}}_{11}}-{{\hat {V}}_{22}}\right)}^{2}}+4{{\left|{{\hat {V}}_{12}}\right|}^{2}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/100051d15fd297a0f08e387439e7457a034116ff)
Dabei gibt
die Energieaufspaltung an.
E ist , wie angegeben die gesamte Energie in 1. Störungstheoretischer Ordnung. Die Aufspaltung erfolgt linear in
, also linear zur Störung: