Zeitabhängige Störungsrechnung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Zeitabhängige Störungsrechnung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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(Dirac)

Es soll die zeitliche Entwicklung eines Zustandes ${|\mathrm{\Psi }⟩}_t$ aus der Schrödingergleichung

$\hat{H}{|\mathrm{\Psi }⟩}_t=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\mathrm{\Psi }⟩}_t$

berechnet werden, wobei

$\hat{H}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}_1(t)$

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters $\epsilon$ linear entwickelt werden kann:

${\hat{H}}_1(t)=\epsilon \hat{V}$

(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)

Die Eigenzustände und Eigenwerte von H₀ seien bekannt:

${\hat{H}}_0|n⟩=E_n|n⟩$ (ungestörtes Problem)

Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollständigkeit des Basissystems:

$\begin{array}{rl}& ⟨n\stackrel{´}{}||n⟩={\delta }_{n\stackrel{´}{}n}\\ & \sum _n|n⟩⟨n|=1\\ \end{array}$

Annahme: diskretes Spektrum

Die Entwicklung von ${|\mathrm{\Psi }⟩}_t$ nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:

$\begin{array}{rl}& \sum _n|n⟩⟨n|{|\mathrm{\Psi }⟩}_t=\sum _n{c}_n(t)|n⟩\\ & ⟨n|{|\mathrm{\Psi }⟩}_t:=c_n(t)\\ \end{array}$

Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand $|n_0⟩$:

${|\mathrm{\Psi }⟩}_{t=0}=|n_0⟩$

Damit:

$⟨n||n_0⟩:=c_n(0)={\delta }_{n{n}_0}$

Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen von

$\begin{array}{rl}& \sum _n|n⟩⟨n|{|\mathrm{\Psi }⟩}_t=\sum _n{c}_n(t)|n⟩\\ & ⟨n|{|\mathrm{\Psi }⟩}_t:=c_n(t)\\ \end{array}$

in die Schrödingergleichung:

$\begin{array}{rl}& \hat{H}{|\mathrm{\Psi }⟩}_t=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\mathrm{\Psi }⟩}_t\\ & \Rightarrow \sum _n{c}_n(t)\hat{H}|n⟩=i\hslash \sum _n\frac{d}{dt}{c}_n(t)|n⟩=\sum _n{c}_n(t)({\hat{H}}_0+{\hat{H}}^1(t))|n⟩=\sum _n{c}_n(t)(E_n+{\hat{H}}^1(t))|n⟩\\ \end{array}$

Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird):

$\begin{array}{rl}& i\hslash \sum _n\frac{d}{dt}{c}_n(t)⟨m||n⟩=\sum _n{c}_n(t)⟨m|({\hat{H}}_0+{\hat{H}}^1(t))|n⟩=\sum _n{c}_n(t)⟨m|(E_n+{\hat{H}}^1(t))|n⟩\\ & =\sum _n{c}_n(t)(⟨m|E_n|n⟩+⟨m|{\hat{H}}^1(t)|n⟩)=\sum _n{c}_n(t)E_n{\delta }_{mn}+\sum _n{c}_n(t)⟨m|{\hat{H}}^1(t)|n⟩\\ & \Rightarrow i\hslash \sum _n\frac{d}{dt}{c}_n(t)⟨m||n⟩=c_m(t)E_m+\sum _n{c}_n(t)⟨m|{\hat{H}}^1(t)|n⟩=i\hslash \frac{d}{dt}{c}_m(t)\\ \end{array}$

Hilfreich ist die Definition eines $c_n(t):=e^{-\left(i\frac{E_{n}t}{\hslash }\right)}{g}_n(t)$ mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:

$e^{-\left(i\frac{E_{n}t}{\hslash }\right)}$

Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf !

Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:

$i\hslash \frac{d}{dt}{c}_m(t)=c_m(t)E_m+\sum _n{c}_n(t)⟨m|{\hat{H}}^1(t)|n⟩$

mit $i\hslash \frac{d}{dt}{c}_m(t)=c_m(t)E_m+e^{-\left(i\frac{E_{m}t}{\hslash }\right)}i\hslash \frac{d}{dt}{g}_m(t)$

Setzt man dies ein, so folgt:

$\begin{array}{rl}& c_m(t)E_m+e^{-\left(i\frac{E_{m}t}{\hslash }\right)}i\hslash \frac{d}{dt}{g}_m(t)=c_m(t)E_m+\sum _n{c}_n(t)⟨m|{\hat{H}}^1(t)|n⟩\\ & \Rightarrow i\hslash \frac{d}{dt}{g}_m(t)=e^{\left(i\frac{E_{m}t}{\hslash }\right)}\sum _n{c}_n(t)⟨m|{\hat{H}}^1(t)|n⟩\\ \end{array}$

und wegen $c_n(t):=e^{-\left(i\frac{E_{n}t}{\hslash }\right)}{g}_n(t)$ also:

$i\hslash \frac{d}{dt}{g}_m(t)=\sum _n{e}^{\left(i\frac{(E_m-E_n)t}{\hslash }\right)}⟨m|{\hat{H}}^1(t)|n⟩g_n(t)$

Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:

Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines $\epsilon$:

${\hat{H}}_1(t)=\epsilon \hat{V}$

( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !)

Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von $⟨m|{\hat{H}}^1(t)|n⟩$

polynomial in $\epsilon$

fallen, was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet:

$g_n(t)={g_n}^{(0)}(t)+\epsilon {g_n}^{(1)}(t)+{\epsilon }^2{g_n}^{(2)}(t)+...$

Merke: Der entscheidende Schritt der zeitabhängigen Störungsrechnung ist hier: die Taylorentwicklung der Entwicklungskoeffizienten, in denen der Zustand entwickelt wurde.

Dabei gilt:

$\begin{array}{rl}& \sum _n|n⟩⟨n|{|\mathrm{\Psi }⟩}_t=\sum _n{c}_n(t)|n⟩\\ & ⟨n|{|\mathrm{\Psi }⟩}_t:=c_n(t)\\ \end{array}$

$c_n(t):=e^{-\left(i\frac{E_{n}t}{\hslash }\right)}{g}_n(t)$

Da aber die Differenzialgleichung für unsere $g_m(t)$

$i\hslash \frac{d}{dt}{g}_m(t)=\sum _n{e}^{\left(i\frac{(E_m-E_n)t}{\hslash }\right)}⟨m|{\hat{H}}^1(t)|n⟩g_n(t)$

ebenso beidseitig entwickelt werden kann:

$\begin{array}{rl}& i\hslash \frac{d}{dt}({g_m}^{(0)}(t)+\epsilon {g_m}^{(1)}(t)+{\epsilon }^2{g_m}^{(2)}(t)+...)\\ & =\sum _n{e}^{\left(i\frac{(E_m-E_n)t}{\hslash }\right)}⟨m|{\hat{H}}^1(t)|n⟩({g_n}^{(0)}(t)+\epsilon {g_n}^{(1)}(t)+{\epsilon }^2{g_n}^{(2)}(t)+...)\\ \end{array}$

und dies für beliebige $\epsilon$

gilt, kann an der Gleichung ein Koeffizientenvergleich in der Ordnung ${\epsilon }^k$

durchgeführt werden und es folgt: $k=0$:

$\begin{array}{rl}& i\hslash \frac{d}{dt}{g_m}^{(0)}(t)=0\\ & \Rightarrow {g_m}^{(0)}(t)=const=!={\delta }_{m{n}_0}\\ \end{array}$

Exakte Lösung für $\epsilon =0$

${c_m}^{(0)}(t)=e^{-i\frac{E_m}{\hslash }t}{\delta }_{m{n}_0}$

Für k=1

$i\hslash \frac{d}{dt}{g_m}^{(1)}(t)=\sum _n{e}^{\left(i\frac{(E_m-E_n)t}{\hslash }\right)}⟨m|\hat{V}|n⟩{g_n}^{(0)}$

Dabei wurde ${\epsilon }^k={\epsilon }^1$

bereits beidseitig gekürzt.

Beim Vergleich der Ordnungen von $\epsilon$

muss man aufpassen.

Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von $\epsilon$

. Rechts dagegen hat man eine Ordnung von $\epsilon$

, die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch ${\hat{H}}_1(t)=\epsilon \hat{V}$

. Also hat man formal in erster Ordnung von $\epsilon$

$i\hslash \frac{d}{dt}\epsilon {g_m}^{(1)}(t)=\sum _n{e}^{\left(i\frac{(E_m-E_n)t}{\hslash }\right)}⟨m|\epsilon \hat{V}|n⟩{g_n}^{(0)}\Rightarrow i\hslash \frac{d}{dt}{g_m}^{(1)}(t)=\sum _n{e}^{\left(i\frac{(E_m-E_n)t}{\hslash }\right)}⟨m|\hat{V}|n⟩{g_n}^{(0)}$

Wir wissen: ${g_m}^{(0)}(t)=const=!={\delta }_{m{n}_0}$

Somit:

$i\hslash \frac{d}{dt}{g_m}^{(1)}(t)=\sum _n{e}^{\left(i\frac{(E_m-E_n)t}{\hslash }\right)}⟨m|\hat{V}|n⟩{g_n}^{(0)}$

also:

$i\hslash \frac{d}{dt}{g_m}^{(1)}(t)=e^{\left(i\frac{(E_m-E_{n0})t}{\hslash }\right)}⟨m|\hat{V}|n_0⟩$

und mit der Anfangsbedingung ${g_n}^{(1)}(0)=0$

kann formal integriert werden:

${g_m}^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau e^{\left(i\frac{(E_m-E_{n0})\tau }{\hslash }\right)}⟨m|\hat{V}|n_0⟩$

Übergangswahrscheinlichkeit

Per Definition die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t den Zustand $|n⟩$

zu finden, wenn zu t=0 der Zustand $|n_0⟩$

vorliegt.

${\left|⟨n|{|\mathrm{\Psi }⟩}_t\right|}^2={|\sum _{n\stackrel{´}{}}{c}_{n\stackrel{´}{}}(t)⟨n||n\stackrel{´}{}⟩|}^2={|c_n(t)|}^2={|g_n(t)|}^2$

Als Näherung wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet:

$g_n(t)={g_n}^{(o)}={\delta }_{n{n}_0}=1$ für n=n0 und $g_n(t)=\epsilon {g_n}^{(1)}$ für $n\ne n_0$

Zeitunabhängige Störung:

$\hat{V}=const.$

$\begin{array}{rl}& {g_n}^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau e^{\left(i\frac{(E_n-E_{n0})\tau }{\hslash }\right)}⟨n|\hat{V}|n_0⟩=-⟨n|\hat{V}|n_0⟩\frac{e^{\left(i\frac{(E_n-E_{n0})t}{\hslash }\right)}-1}{E_n-E_{n0}}\\ & {|{g_n}^{(1)}(t)|}^2={\left|⟨n|\hat{V}|n_0⟩\right|}^2\left\{\frac{e^{(-i\frac{(E_n-E_{n0})t}{\hslash })}-1}{E_n-E_{n0}}\right\}\left\{\frac{e^{\left(i\frac{(E_n-E_{n0})t}{\hslash }\right)}-1}{E_n-E_{n0}}\right\}:={\left|⟨n|\hat{V}|n_0⟩\right|}^2\left\{\frac{(e^{(-i\mathrm{\Omega }t)}-1)(e^{\left(i\mathrm{\Omega }t\right)}-1)}{{\mathrm{\Omega }}^2{\hslash }^2}\right\}\\ & \mathrm{\Omega }:=\frac{(E_n-E_{n0})}{\hslash }\\ & \Rightarrow {|{g_n}^{(1)}(t)|}^2={\left|⟨n|\hat{V}|n_0⟩\right|}^2\frac{2(1-\cos \mathrm{\Omega }t)}{{\mathrm{\Omega }}^2{\hslash }^2}={\left|⟨n|\hat{V}|n_0⟩\right|}^2\frac{4{\sin }^2\frac{\mathrm{\Omega }}{2}t}{{\mathrm{\Omega }}^2{\hslash }^2}\\ & \frac{4{\sin }^2\frac{\mathrm{\Omega }}{2}t}{{\mathrm{\Omega }}^2{\hslash }^2}:=D_t(E_n-E_{n0})\\ & \Rightarrow {|{g_n}^{(1)}(t)|}^2={\left|⟨n|\hat{V}|n_0⟩\right|}^2{D}_t(E_n-E_{n0})\\ \end{array}$

Die Größe$\mathrm{\Omega }:=\frac{(E_n-E_{n0})}{\hslash }$ heißt Übergangsfrequenz. Und bezieht sich auf den Übergang von $|n_0⟩$ auf $|n⟩$

Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt ( grafisch):

$\begin{array}{rl}& D_t(0)={\left(\frac{t}{\hslash }\right)}^2\\ & \begin{array}{c}\lim \\ t\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}(D_t(0))=\mathrm{\infty }\\ & \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{D}_t(E)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dE\frac{4{\sin }^2\left(\frac{Et}{2\hslash }\right)}{E^2}=\frac{2t}{\hslash }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\xi \frac{{\sin }^2\xi }{{\xi }^2}\\ & \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\xi \frac{{\sin }^2\xi }{{\xi }^2}=\pi \\ & \Rightarrow \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{D}_t(E)=\frac{2\pi }{\hslash }t\\ \end{array}$

Also: $\begin{array}{rl}& D_t(E)=:\frac{2\pi }{\hslash }t{\delta }_t(E)\\ & \begin{array}{c}\lim \\ t\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}{D}_t(E)=\frac{2\pi }{\hslash }t\delta (E)\\ \end{array}$

Grafisch

$\Rightarrow {\left|⟨n|{|\mathrm{\Psi }⟩}_t\right|}^2={|g_n(t)|}^2=\frac{2\pi }{\hslash }{\left|⟨n|{\hat{H}}^1|n_0⟩\right|}^2\cdot t\cdot {\delta }_t(E_n-E_{n_0})$

Für $t\to \mathrm{\infty }$ Energieerhaltung: $E_n-E_{n_0}=0$

Für $t<\mathrm{\infty }$ hat $D_t(E)=:\frac{2\pi }{\hslash }t{\delta }_t(E)$ die Breite $\mathrm{\Delta }E\cong \frac{4\pi \hslash }{t}$

Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation: $\mathrm{\Delta }Et\cong 4\pi \hslash$

Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( von $|n_0⟩$ auf $|n⟩$ ): $W_{nn0}=\frac{d}{dt}{\left|⟨n|{|\mathrm{\Psi }⟩}_t\right|}^2=\frac{2\pi }{\hslash }{\left|⟨n|{\hat{H}}^1|n_0⟩\right|}^2{\delta }_t(E_n-E_{n_0})$

Mit dem Übergangsmatrixelement $⟨n|{\hat{H}}^1|n_0⟩$

und einer quadratischen Sinc- Funktion, ${\delta }_t(E_n-E_{n_0})$ ( siehe obige Definitionen) die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie $E_n-E_{n_0}$ beschränkt, so lange deren Abweichung von $E_n-E_{n_0}$ noch der Unschärfe genügt ( Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um $E_n-E_{n_0}$ ab, für Quantenenergien, die von $E_n-E_{n_0}$ verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion !

Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung. Dabei gilt:

$\begin{array}{rl}& {\delta }_t\to \delta \\ & f\ddot{u}rt\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}$

Harmonische zeitabhängige Störung

${\hat{H}}^1(t)=\hat{F}{e}^{-i\omega t}+{\hat{F}}^{+}{e}^{i\omega t}$ hermitesch !

Es folgt:

$\begin{array}{rl}& g_n(t)=-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau e^{\left(i\frac{(E_n-E_{n0}-\hslash \omega )\tau }{\hslash }\right)}⟨n|\hat{F}|n_0⟩-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau e^{\left(i\frac{(E_n-E_{n0}+\hslash \omega )\tau }{\hslash }\right)}⟨n|{\hat{F}}^{+}|n_0⟩\\ & \Rightarrow g_n(t)=-⟨n|\hat{F}|n_0⟩\left\{\frac{e^{\left(i\frac{(E_n-E_{n0}-\hslash \omega )t}{\hslash }\right)-1}}{E_n-E_{n0}-\hslash \omega }\right\}-⟨n|{\hat{F}}^{+}|n_0⟩\left\{\frac{e^{\left(i\frac{(E_n-E_{n0}+\hslash \omega )t}{\hslash }\right)-1}}{E_n-E_{n0}+\hslash \omega }\right\}\\ \end{array}$

Somit folgt für die Übergangswahrscheinlichkeit von $|n_0⟩$ auf $|n⟩$

$\begin{array}{rl}& {\left|{⟨n|\mathrm{\Psi }⟩}_t\right|}^2={\left|g_n\right|}^2=\frac{2\pi }{\hslash }{\left|⟨n|\hat{F}|n_0⟩\right|}^{2}t\delta (E_n-E_{n0}-\hslash \omega )\\ & +\frac{2\pi }{\hslash }{\left|⟨n|{\hat{F}}^{+}|n_0⟩\right|}^{2}t\delta (E_n-E_{n0}+\hslash \omega )+⟨n|\hat{F}|n_0⟩*⟨n|{\hat{F}}^{+}|n_0⟩\left\{\frac{e^{(-i\frac{(E_n-E_{n0}-\hslash \omega )t}{\hslash })}-1}{E_n-E_{n0}-\hslash \omega }\right\}\left\{\frac{e^{\left(i\frac{(E_n-E_{n0}+\hslash \omega )t}{\hslash }\right)}-1}{E_n-E_{n0}+\hslash \omega }\right\}\\ & +⟨n|{\hat{F}}^{+}|n_0⟩*⟨n|\hat{F}|n_0⟩\left\{\frac{e^{(-i\frac{(E_n-E_{n0}+\hslash \omega )t}{\hslash })}-1}{E_n-E_{n0}+\hslash \omega }\right\}\left\{\frac{e^{\left(i\frac{(E_n-E_{n0}-\hslash \omega )t}{\hslash }\right)}-1}{E_n-E_{n0}-\hslash \omega }\right\}\\ & {\mathrm{\Omega }}^{\pm }:=\mathrm{\Omega }\pm \omega =\frac{(E_n-E_{n0}\pm \hslash \omega )}{\hslash }\\ & \Rightarrow {\left|{⟨n|\mathrm{\Psi }⟩}_t\right|}^2={\left|g_n\right|}^2=\frac{2\pi }{\hslash }{\left|⟨n|\hat{F}|n_0⟩\right|}^{2}t\delta (E_n-E_{n0}-\hslash \omega )\\ & +\frac{2\pi }{\hslash }{\left|⟨n|{\hat{F}}^{+}|n_0⟩\right|}^{2}t\delta (E_n-E_{n0}+\hslash \omega )+⟨n|\hat{F}|n_0⟩*⟨n|{\hat{F}}^{+}|n_0⟩\left\{\frac{(e^{(-i{\mathrm{\Omega }}^{-}t)}-1)(e^{\left(i{\mathrm{\Omega }}^{+}t\right)}-1)}{{\hslash }^2{\mathrm{\Omega }}^{+}{\mathrm{\Omega }}^{-}}\right\}\\ & +⟨n|{\hat{F}}^{+}|n_0⟩*⟨n|\hat{F}|n_0⟩\left\{\frac{(e^{(-i{\mathrm{\Omega }}^{+}t)}-1)(e^{\left(i{\mathrm{\Omega }}^{-}t\right)}-1)}{{\hslash }^2{\mathrm{\Omega }}^{+}{\mathrm{\Omega }}^{-}}\right\}\\ & ⟨n|\hat{F}|n_0⟩*⟨n|{\hat{F}}^{+}|n_0⟩:=A{e}^{-i\gamma }\\ & ⟨n|{\hat{F}}^{+}|n_0⟩*⟨n|\hat{F}|n_0⟩:=A{e}^{i\gamma }\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow {\left|{⟨n|\mathrm{\Psi }⟩}_t\right|}^2={\left|g_n\right|}^2=\frac{2\pi }{\hslash }{\left|⟨n|\hat{F}|n_0⟩\right|}^{2}t\delta (E_n-E_{n0}-\hslash \omega )\\ & +\frac{2\pi }{\hslash }{\left|⟨n|{\hat{F}}^{+}|n_0⟩\right|}^{2}t\delta (E_n-E_{n0}+\hslash \omega )+A{e}^{-i\gamma }\left\{\frac{(e^{(-i{\mathrm{\Omega }}^{-}t)}-1)(e^{\left(i{\mathrm{\Omega }}^{+}t\right)}-1)}{{\hslash }^2{\mathrm{\Omega }}^{+}{\mathrm{\Omega }}^{-}}\right\}\\ & +A{e}^{i\gamma }\left\{\frac{(e^{(-i{\mathrm{\Omega }}^{+}t)}-1)(e^{\left(i{\mathrm{\Omega }}^{-}t\right)}-1)}{{\hslash }^2{\mathrm{\Omega }}^{+}{\mathrm{\Omega }}^{-}}\right\}\\ \end{array}$

Weiter gilt

$A{e}^{-i\gamma }\left\{\frac{(e^{(-i{\mathrm{\Omega }}^{-}t)}-1)(e^{\left(i{\mathrm{\Omega }}^{+}t\right)}-1)}{{\hslash }^2{\mathrm{\Omega }}^{+}{\mathrm{\Omega }}^{-}}\right\}+A{e}^{i\gamma }\left\{\frac{(e^{(-i{\mathrm{\Omega }}^{+}t)}-1)(e^{\left(i{\mathrm{\Omega }}^{-}t\right)}-1)}{{\hslash }^2{\mathrm{\Omega }}^{+}{\mathrm{\Omega }}^{-}}\right\}=\frac{4A}{{\hslash }^2{\mathrm{\Omega }}^{+}{\mathrm{\Omega }}^{-}}\cos (\omega t-\gamma )[\cos \left(\omega t\right)-\cos \left(\mathrm{\Omega }t\right)]$ Für $\omega \ne 0,\mathrm{\Omega }\ne 0$ sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für $t\to \mathrm{\infty }$ sind diese jedoch vernachlässigbar gegen Terme $\stackrel{~}{}t\delta (E_n-E_{n0}\pm \hslash \omega )=t\delta (\hslash {\mathrm{\Omega }}^{\pm })$

Somit folgt für $t\to \mathrm{\infty }$

${\left|{⟨n|\mathrm{\Psi }⟩}_t\right|}^2={\left|g_n\right|}^2=\frac{2\pi }{\hslash }{\left|⟨n|\hat{F}|n_0⟩\right|}^{2}t\delta (E_n-E_{n0}-\hslash \omega )+\frac{2\pi }{\hslash }{\left|⟨n|{\hat{F}}^{+}|n_0⟩\right|}^{2}t\delta (E_n-E_{n0}+\hslash \omega )$

Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen $|n_0⟩$ und $|n⟩$ pro Zeiteinheit, durch Ableitung nach der Zeit erhalten:

$W_{nn0}=\frac{d}{dt}{\left|{⟨n|\mathrm{\Psi }⟩}_t\right|}^2=\frac{2\pi }{\hslash }{\left|⟨n|\hat{F}|n_0⟩\right|}^2\delta (E_n-E_{n0}-\hslash \omega )+\frac{2\pi }{\hslash }{\left|⟨n_0|\hat{F}|n⟩\right|}^2\delta (E_n-E_{n0}+\hslash \omega )$

Die Terme lassen sich identifizieren:

$\frac{2\pi }{\hslash }{\left|⟨n|\hat{F}|n_0⟩\right|}^2\delta (E_n-E_{n0}-\hslash \omega )$ steht für die Absorption eines Quants der Energie $\hslash \omega$ bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von $|n_0⟩$ auf$|n⟩$ , was einem Energiesprung von $E_n-E_{n0}$ entspricht. Das Quant wird also von Niveau $|n_0⟩$ auf $|n⟩$ gehievt

$\frac{2\pi }{\hslash }{\left|⟨n_0|{\hat{F}}^{+}|n⟩\right|}^2\delta (E_n-E_{n0}+\hslash \omega )$ steht für die Emission eines Quants der Energie $\hslash \omega$ bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von $|n⟩$ auf$|n_0⟩$ , was einer Energieabgabe von $E_{n0}-E_n$ entspricht. Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau $|n_0⟩$ auf das Niveau $|n⟩$ herunter.

Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild

Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein ( Siehe oben, S. 63)

Im Wechselwirkungsbild gilt:

${{\hat{H}}_W}^1(t)=e^{\left(\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}_{0}t\right)}{{\hat{H}}_S}^1{e}^{(-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}_{0}t)}$

Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit ${\hat{H}}_0$ gewonnen, während die Zustände mit${{\hat{H}}_W}^1(t)$ evolutionieren:

$i\hslash \frac{d}{dt}{|\mathrm{\Psi }⟩}_W={{\hat{H}}_W}^1(t){|\mathrm{\Psi }⟩}_W$

Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung:

$\begin{array}{rl}& {|\mathrm{\Psi }⟩}_W(t)={|\mathrm{\Psi }⟩}_W(t=0)-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau ({{\hat{H}}_W}^1(\tau ){|\mathrm{\Psi }⟩}_W(\tau ))\\ & {|\mathrm{\Psi }⟩}_W(t=0)=|n_0⟩\\ \end{array}$

Für kleine ${{\hat{H}}_W}^1$ liefert eine Iteration:

$\begin{array}{rl}& {|\mathrm{\Psi }⟩}_W(t)={|\mathrm{\Psi }⟩}_W(t=0)-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau ({{\hat{H}}_W}^1(\tau ){|\mathrm{\Psi }⟩}_W(\tau ))\approx (1-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau {{\hat{H}}_W}^1(\tau ))|n_0⟩\\ & {|\mathrm{\Psi }⟩}_W(t)\approx (1-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau {{\hat{H}}_W}^1(\tau ))|n_0⟩=(1-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau e^{\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^0\tau }{{\hat{H}}_S}^1{e}^{-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^0\tau })|n_0⟩\\ \end{array}$

Mit ${|\mathrm{\Psi }⟩}_S(t)=e^{-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}{|\mathrm{\Psi }⟩}_W(t)\approx e^{-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}(1-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau e^{\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^0\tau }{{\hat{H}}_S}^1{e}^{-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^0\tau })|n_0⟩$

und $e^{-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}(1-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau e^{\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^0\tau }{{\hat{H}}_S}^1{e}^{-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^0\tau }):=U(t,0)$ Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild

Übergangsamplitude im Schrödinger- Bild:

$\begin{array}{rl}& c_n(t)=⟨n||\mathrm{\Psi }⟩=⟨n|U(t,0)|n_0⟩=⟨n|e^{-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}(1-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau e^{\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^0\tau }{{\hat{H}}_S}^1{e}^{-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^0\tau })|n_0⟩\\ & \Rightarrow c_n(t)=e^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{n}t}({\delta }_{n{n}_0}-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau e^{\frac{i}{\hslash }{E}_n\tau }⟨n|{{\hat{H}}_S}^1|n_0⟩e^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{n0}\tau })\\ & {\delta }_{n{n}_0}={g_n}^{(0)}\\ & -\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau e^{\frac{i}{\hslash }{E}_n\tau }⟨n|{{\hat{H}}_S}^1|n_0⟩e^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{n0}\tau }=\epsilon {g_n}^{(1)}\\ & c_n(t)=e^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{n}t}({\delta }_{n{n}_0}-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau e^{\frac{i}{\hslash }{E}_n\tau }⟨n|{{\hat{H}}_S}^1|n_0⟩e^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{n0}\tau })=e^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{n}t}{g}_n(t)\\ \end{array}$

In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113 !