Der harmonische Oszillator

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Der harmonische Oszillator basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 6) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=6}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__

Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator

$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{m{\omega }^2}{2}{\hat{x}}^2$

Als Hamiltonoperator

Es gilt die Vertauschungsrelation

$[\hat{p},\hat{x}]=\frac{\hslash }{i}$

Besser:

$[{\hat{p}}_l,{\hat{x}}_k]=\frac{\hslash }{i}{\delta }_{kl}$

Definition eines Operators, des Leiteroperators ( nicht hermitesch !!)

Failed to parse (unknown function "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}+\frac{1}{2} \\ \end{align}}

Merke:

Ausgangspunkt unserer ganzen Überlegungen ist eine Definition, nämlich die Definitiond er Leiteroperatoren:

Failed to parse (unknown function "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ \end{align}}

Ebenso:

Failed to parse (unknown function "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} & {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}-\frac{1}{2} \\ & \\ & \Rightarrow \left[ a,{{a}^{+}} \right]=1 \\ & a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a=\frac{2}{\hbar \omega }\hat{H} \\ \end{align}}

Somit:

$\hat{H}=\frac{1}{2}\hslash \omega (a{a}^{+}+a^{+}a)=\frac{1}{2}\hslash \omega (a^{+}a+1+a^{+}a)=\hslash \omega (a^{+}a+\frac{1}{2})$

Merke dazu:

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]}

Somit:

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]}

als verantwortlicher Term für die Grundzustandsenergie:

$E_0=\frac{1}{2}\hslash \omega$

Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe !

Weitere Vertauschungsrelationen:

$\begin{array}{rl}& \left(a{a}^{+}\right)a=\frac{1}{\hslash \omega }\hat{H}a+\frac{1}{2}a\\ & =a\left(a^{+}a\right)=\frac{1}{\hslash \omega }a\hat{H}-\frac{1}{2}a\\ & \Rightarrow [a,\hat{H}]=a\hat{H}-\hat{H}a=\hslash \omega a\\ \end{array}$

Ebenso die adjungierteVersion:

$-[a^{+},\hat{H}]=\left(a\hat{H}\right)\stackrel{´}{}*-\left(\hat{H}a\right)*=\hslash \omega a^{+}$

Verallgemeinerung

Beweis: Vollständige Induktion:

n=1 $[a,{\left(a^{+}\right)}^1]=1$

Sei$[a,{\left(a^{+}\right)}^n]=n{\left(a^{+}\right)}^{n-1}=\frac{\partial }{\partial a^{+}}{\left(a^{+}\right)}^n$

für$n\ge 1$

$\begin{array}{rl}& [a,{\left(a^{+}\right)}^{n+1}]=a{\left(a^{+}\right)}^{n+1}-{\left(a^{+}\right)}^{n+1}a=a{\left(a^{+}\right)}^{n+1}-{\left(a^{+}\right)}^{n}a{a}^{+}+{\left(a^{+}\right)}^{n}a{a}^{+}-{\left(a^{+}\right)}^{n+1}a\\ & \Rightarrow [a,{\left(a^{+}\right)}^{n+1}]=[a,{\left(a^{+}\right)}^n]a^{+}+{\left(a^{+}\right)}^n[a,a^{+}]\\ & [a,{\left(a^{+}\right)}^n]=n{\left(a^{+}\right)}^{n-1}\\ & \Rightarrow [a,{\left(a^{+}\right)}^{n+1}]=n{\left(a^{+}\right)}^{n-1}{a}^{+}+{\left(a^{+}\right)}^n=(n+1){\left(a^{+}\right)}^n\\ \end{array}$

Adjungierte Version:

$[a^{+},a^n]=-n{\left(a\right)}^{n-1}=-\frac{\partial }{\partial a}{\left(a\right)}^n$

Somit gilt für beliebige, in Potenzreihen von Auf- oder Absteiger entwickelbare Funktionen f:

$\begin{array}{rl}& [a,f\left(a^{+}\right)]=\frac{\partial }{\partial a^{+}}f\left(a^{+}\right)\\ & [a^{+},f\left(a\right)]=-\frac{\partial }{\partial a}f\left(a\right)\\ \end{array}$

Eigenwerte von H

Sei $|E⟩$

ein normierter Eigenvektor von $\hat{H}$

mit $\hat{H}|E⟩=E|E⟩$

So gilt:

$\begin{array}{rl}& \hslash \omega ⟨E|a^{+}a|E⟩=⟨E|\hat{H}-\frac{\hslash \omega }{2}|E⟩=⟨E|E-\frac{\hslash \omega }{2}|E⟩=E-\frac{\hslash \omega }{2}\\ & ⟨E|a^{+}a|E⟩=⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Psi }⟩\ge 0\\ \end{array}$

Das bedeutet:

$\begin{array}{rl}& E\ge \frac{\hslash \omega }{2}\\ & E\ge \frac{\hslash \omega }{2}\iff a|E⟩=0\\ \end{array}$

Das Energiespektrum ist also nach unten beschränkt und gleichzeitig vernichtet der Absteigeoperator den Zustand mit der niedrigsten Energie

Behauptung

$a|E⟩$

ist Eigenzustand zu $\hat{H}$

mit dem Eigenwert $E-\hslash \omega$

Also: $\hat{H}a|E⟩=(E-\hslash \omega )a|E⟩$

Beweis:

$\hat{H}a|E⟩=(a\hat{H}-\hslash \omega )a|E⟩=a(\hat{H}-\hslash \omega )|E⟩=a(E-\hslash \omega )|E⟩=(E-\hslash \omega )a|E⟩$

Dabei gilt

$\hat{H}a|E⟩=(a\hat{H}-\hslash \omega )a|E⟩$

wegen

$[a,\hat{H}]=\hslash \omega a$

Durch wiederholte Anwendung könnte man Eigenzustände $|E⟩\ne 0$

mit beliebig tiefer Energie erzeugen, wenn nicht $E\ge \frac{\hslash \omega }{2}$

gelten würde.

Daher existiert ein $m\in N$

so dass $a^m|E⟩=0$

aber $a^{m-1}|E⟩\ne 0$

Also definiere man einen Grundzustand:

$|0⟩:=a^{m-1}|E⟩$

Vorsicht ! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,

sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0

$\hat{H}|0⟩=\hslash \omega (a^{+}a+\frac{1}{2})|0⟩=\frac{1}{2}\hslash \omega |0⟩$

wegen

$a|0⟩=a^m|E⟩=0$

Also:

$\begin{array}{rl}& E_0=\frac{\hslash \omega }{2}\\ & a|0⟩=a^m|E⟩=0\\ \end{array}$

Weiter:

$\hat{H}{a}^{+}|0⟩=(a^{+}H+\hslash \omega a^{+})|0⟩=a^{+}(\hat{H}+\hslash \omega )|0⟩=a^{+}(\frac{\hslash \omega }{2}+\hslash \omega )|0⟩=\frac{3\hslash \omega }{2}{a}^{+}|0⟩$

Der erste Schritt gilt wieder wegen der Vertauschungsrelation

$[a^{+},\hat{H}]=-\hslash \omega a^{+}$

Das heißt nun aber, dass $a^{+}|0⟩$

der Eigenzustand von $\hat{H}$

zum Eigenwert $\frac{3\hslash \omega }{2}$

ist.

Vollständige Induktion

$\hat{H}{\left(a^{+}\right)}^n|0⟩=\hslash \omega (n+\frac{1}{2}){\left(a^{+}\right)}^n|0⟩$

Dann:

$\begin{array}{rl}& \hat{H}{\left(a^{+}\right)}^{n+1}|0⟩=(a^{+}\hat{H}+\hslash \omega a^{+}){\left(a^{+}\right)}^n|0⟩=a^{+}(\hat{H}+\hslash \omega ){\left(a^{+}\right)}^n|0⟩\\ & (\hat{H}+\hslash \omega ){\left(a^{+}\right)}^n|0⟩=(\hslash \omega (n+\frac{1}{2})+\hslash \omega ){\left(a^{+}\right)}^n|0⟩\\ & \Rightarrow \hat{H}{\left(a^{+}\right)}^{n+1}|0⟩=a^{+}(\hat{H}+\hslash \omega ){\left(a^{+}\right)}^n|0⟩=\hslash \omega (n+1+\frac{1}{2}){\left(a^{+}\right)}^{n+1}|0⟩\\ \end{array}$

Normierung der Eigenzustände

${\left(a^{+}\right)}^n|0⟩$

Der Grundzustand sei normiert:

$⟨0|0⟩=1$

Dann folgt für den n-ten angeregten Zustand:

$|n⟩={\alpha }_n{\left(a^{+}\right)}^n|0⟩$

mit Normierungsfaktor ${\alpha }_n$

$\begin{array}{rl}& 1=!=⟨n|n⟩={\left|{\alpha }_n\right|}^2⟨0|a^n{\left(a^{+}\right)}^n|0⟩\\ & ⟨0|a^n{\left(a^{+}\right)}^n|0⟩=⟨0|a^{n-1}({\left(a^{+}\right)}^{n}a+[a,{\left(a^{+}\right)}^n])|0⟩\\ \end{array}$

wegen

$[a,{\left(a^{+}\right)}^n]=n{\left(a^{+}\right)}^{n-1}$

Somit:

$\begin{array}{rl}& ⟨0|a^n{\left(a^{+}\right)}^n|0⟩=⟨0|a^{n-1}({\left(a^{+}\right)}^{n}a+[a,{\left(a^{+}\right)}^n])|0⟩=⟨0|a^{n-1}{\left(a^{+}\right)}^{n}a|0⟩+n⟨0|a^{n-1}{\left(a^{+}\right)}^{n-1}|0⟩\\ & ⟨0|a^{n-1}{\left(a^{+}\right)}^{n}a|0⟩=0\\ & \Rightarrow n⟨0|a^{n-1}{\left(a^{+}\right)}^{n-1}a|0⟩=n(n-1)⟨0|a^{n-2}{\left(a^{+}\right)}^{n-2}a|0⟩\Rightarrow ...\Rightarrow \\ \end{array}$

Dieser Algorithmus wird n- mal angewendet:

$\Rightarrow ⟨0|a^n{\left(a^{+}\right)}^{n}a|0⟩=n!⟨0|0⟩=n!$

Somit folgt bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor:

$|n⟩=\frac{1}{\sqrt{n!}}{\left(a^{+}\right)}^n|0⟩$

für NORMIERTE EIGENZUSTÄNDE des harmonischen Oszillators und diese gehören zu den Energiewerten

$\begin{array}{rl}& E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})\\ & \hat{H}|n⟩=E_n|n⟩\\ \end{array}$

Quantensprechweise:

$E_n-E_{n-1}=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})-\hslash \omega (n-1+\frac{1}{2})=\hslash \omega$

ist die Energie eines "Schwingungsquants". Man sagt auch, es IST ein Schwingungsquant !

$|n⟩$

ist ein Zustand mit n Schwingungsquanten ( Phononen) der Frequenz $\omega$

$a$

ist der Vernichtungsoperator für Schwingungsquanten

$a^{+}$

der Erzeugungsoperator für Schwingungsquanten

$\begin{array}{rl}& a|n⟩=\frac{1}{\sqrt{n!}}a{\left(a^{+}\right)}^n|0⟩=\frac{1}{\sqrt{n!}}\{{\left(a^{+}\right)}^{n}a+[a,{\left(a^{+}\right)}^n]\}|0⟩=\frac{1}{\sqrt{n!}}n{\left(a^{+}\right)}^{n-1}|0⟩=\sqrt{n}|n-1⟩\\ & a^{+}|n⟩=\frac{1}{\sqrt{n!}}{\left(a^{+}\right)}^{n+1}|0⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩\\ \end{array}$

Teilchenzahloperator

$\begin{array}{rl}& N:=a^{+}a\\ & N|n⟩=a^{+}a|n⟩=a^{+}\sqrt{n}|n-1⟩=\sqrt{n}\sqrt{n}|n⟩=n|n⟩\\ \end{array}$

In Übereinstimmung mit

$\hat{H}|n⟩=\hslash \omega (a^{+}a+\frac{1}{2})|n⟩=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})|n⟩$

Veranschaulichung

Die folgende Grafik demonstriert die äquidistanten Energieniveaus im Oszillatorpotenzial. Dabei werden die stationären Zustände ${|\varphi (x)|}^2$ dargestellt, also als Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für $\sigma =\frac{0,5{\sigma }_0}{\sqrt{2}}$ , also mit einem $\sigma <\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{2}}$ , wobei $\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{2}}$ das $\sigma$ des Grundzustands darstellt, sieht folgendermaßen aus: Es ist das $\sigma =\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{2}}$ für die kohärenten / Glauber - Zustände Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über Glauberzustände ( kohärente Zustände)

Zusammenhang mit der Ortsdarstellung

Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet ! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden ! Mit ${\varphi }_n(x)=⟨x|n⟩$ und Failed to parse (syntax error): {\displaystyle a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x}} gilt:

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\left( \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \right){{\phi }_{n}}(x)}

$\begin{array}{rl}& \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}\hat{x}\\ & \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}x\\ \end{array}$

$\Rightarrow a(x,\frac{\hslash }{i}\frac{d}{dx}){\varphi }_n(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}(\hat{\xi }+\frac{d}{d\xi }){\varphi }_n(\xi )$

Dabei gilt: $\begin{array}{rl}& \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}\hat{x}\\ & \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}x\\ \end{array}$ sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten ! In $\Rightarrow a(x,\frac{\hslash }{i}\frac{d}{dx}){\varphi }_n(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}(\hat{\xi }+\frac{d}{d\xi }){\varphi }_n(\xi )$ wird über $(\hat{\xi }+\frac{d}{d\xi })$ der Impulsanteil durch die Ortsdarstellung des Impulsoperators ersetzt. Den Grundzustand gewinnt man leicht aus dem Ansatz $a|{\varphi }_0⟩=0$ mit $|{\varphi }_0⟩:=|0⟩$

Wegen $a|0⟩=0$ folgt für n=0:

$\begin{array}{rl}& 0=(\hat{\xi }+\frac{d}{d\xi }){\varphi }_0(\xi )\\ & \Rightarrow \frac{d{\varphi }_0}{{\varphi }_0}=-\xi d\xi \\ \end{array}$

Somit ergibt sich:

$\begin{array}{rl}& {\varphi }_0(\xi )=A_0{e}^{(-\frac{{\xi }^2}{2})}\\ & A_0={\left(\frac{m\omega }{\hslash \pi }\right)}^{\frac{1}{4}}\\ \end{array}$

Wobei sich A0 aus der Normierung ergibt. Der Grundzustand im Oszillator ist also ein Gaußzustand, eine normierte Gaußglocke mit einer Halbwertsbreite, die in $\xi$ enthalten ist. Für die angeregten Zustände gilt:

$\begin{array}{rl}& {\varphi }_1(\xi )=a^{+}{\varphi }_0(\xi )=\frac{1}{i\sqrt{2}}(\xi -\frac{d}{d\xi }){\varphi }_0(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{e}^{\left(\frac{{\xi }^2}{2}\right)}\frac{d}{d\xi }(e^{(-\frac{{\xi }^2}{2})}{\varphi }_0(\xi ))\\ & \Rightarrow {\varphi }_1(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{e}^{\left(\frac{{\xi }^2}{2}\right)}\frac{d}{d\xi }\left(A_0{e}^{(-{\xi }^2)}\right)\\ & A_0={\left(\frac{m\omega }{\hslash \pi }\right)}^{\frac{1}{4}}\\ \end{array}$

Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt ! Für den n-ten angeregten Zustand ( Induktion !) damit:

$\begin{array}{rl}& {\varphi }_n(\xi )=\frac{{\left(a^{+}\right)}^n}{\sqrt{n!}}{\varphi }_0(\xi )=\frac{1}{i^n\sqrt{2^{n}n!}}{(\xi -\frac{d}{d\xi })}^n{\varphi }_0(\xi )=\frac{1}{i^n}\frac{A_0}{\sqrt{2^{n}n!}}{(-1)}^n{e}^{\left(\frac{{\xi }^2}{2}\right)}\frac{d^n}{{\left(d\xi \right)}^n}{e}^{-{\xi }^2}\\ & \frac{A_0}{\sqrt{2^{n}n!}}:=A_n\\ & A_0={\left(\frac{m\omega }{\hslash \pi }\right)}^{\frac{1}{4}}\\ & {(-1)}^n{e}^{\left(\frac{{\xi }^2}{2}\right)}\frac{d^n}{{\left(d\xi \right)}^n}{e}^{-{\xi }^2}:=H_n(\xi )e^{-\frac{{\xi }^2}{2}}\\ \end{array}$

Dabei kann $\frac{1}{i^n}$ als Phasenfaktor ( für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden und $H_n$ bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n. Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beinhalten also die Hermité- Polynome

$\begin{array}{rl}& {\varphi }_n(\xi )=\frac{1}{i^n}\frac{A_0}{\sqrt{2^{n}n!}}{(-1)}^n{e}^{\left(\frac{{\xi }^2}{2}\right)}\frac{d^n}{{\left(d\xi \right)}^n}{e}^{-{\xi }^2}\\ & \Rightarrow {\varphi }_n(\xi )=\frac{{\left(\frac{m\omega }{\hslash \pi }\right)}^{\frac{1}{4}}}{\sqrt{{(-2)}^{n}n!}}{H}_n(\xi )e^{-\frac{{\xi }^2}{2}}\\ \end{array}$

Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome ( wie aus obiger Relation berechnet werden kann):

$\begin{array}{rl}& H_0(\xi )=1\\ & H_1(\xi )=2\xi \\ & H_2(\xi )=4{\xi }^2-2\\ & H_3(\xi )=2{\xi }^3-12\xi \\ \end{array}$

Letztendlich bezeichnet

${(-1)}^n$

die Parität von ${\varphi }_n$

Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial ( die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt:

Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen ${Y_l}^m(\vartheta ,\varphi )$ . Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet $r={|{Y_l}^m(\vartheta ,\varphi )|}^2$ das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an. Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons. Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind ( ohne den Spin) L+1 - fach entartet ! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m