D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit
65px|Kein GFDL | Der Artikel D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=1|Abschnitt=3}} Kategorie:Mechanik __SHOWFACTBOX__
Gegeben sei ein System von N Massepunkten mit beliebigen (holonomen oder nicht holonomen) Zwangsbed.
Schreiben wir die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskräften als:
Dabei versteht man |
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Allgemeine Forderung
Allgemein kann man fordern: für alle betrachteten Zwangskräfte.
Das bedeutet: Gleitreibungskräfte längs einer Fläche sind als Zwangskräfte ausgeschlossen.
Somit folgt als d'Alembertsches Prinzip: |
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Das d´Alembertsche Prinzip gilt gleichermaßen für holonome und anholonome Zwangsbedingungen
Beispiel für ein Variationsprinzip{{#set:Fachbegriff=Variationsprinzip|Index=Variationsprinzip}}:'
Differentialprinzip{{#set:Fachbegriff=Differentialprinzip|Index=Differentialprinzip}}: ( für infinitesimal kleine Variationen):
Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn .
Variationsprinzip mit Nebenbedingungen
Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um:
Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir:
Failed to parse (unknown function "\math"): {\displaystyle \nu<\math> charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung Dies ist lösbar mit der {{FB|Methode der Lagrange-Multiplikatoren}}. Denn: Wenn die Vektorkomponenten <math>{{r}_{i}}}
frei variierbar wären, also beliebig, so müsste gelten:
Also wäre es sinnvoll, das lineare Gleichungssystem so umzuschreiben, dass ein Satz von Faktoren frei variierbar ist:
- Zuerst addieren wir die Nebenbedingungen mit noch beliebigen Lagrangemultiplikatoren{{#set:Fachbegriff=Lagrangemultiplikatoren|Index=Lagrangemultiplikatoren}} Wir erhalten:
- Nun sind aus den Nebenbedingungen zu eliminieren. Die verbleibenden sind nun frei variierbar.
- Nun kann das Summenzeichen weggelassen werden, da die verbleibenden Vektorkomponenten frei variiert werden können und dementsprechend jeder Summand für sich Null sein muss:
math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j |
-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0</math>Lagrange- Gleichung der 1. Art|Lagrange- Gleichung der 1. Art}}
Beispiel Atwoodsche Fallmaschine
miniatur|Atwoods Fallmaschine Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft , die an m2 angreift, nämlich -m2g. Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip: so folgt: Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach: Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist: |