D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Gegeben sei ein System von N Massepunkten mit beliebigen ( holonomen oder nicht holonomen) Zwangsbed.

Schreiben wir die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskräften Zi als:

$\begin{array}{ll}& m_i{\ddot{\overrightarrow{r}}}_i(t)-{\overrightarrow{X}}_i={\overrightarrow{Z}}_{i}i=1...N\\ & \to \sum _i(m_i{\ddot{\overrightarrow{r}}}_i(t)-{\overrightarrow{X}}_i)\delta {\overrightarrow{r}}_i=\sum _i{\overrightarrow{Z}}_i\delta {\overrightarrow{r}}_i\\ \end{array}$

;Dabei versteht man $\sum _i{\overrightarrow{X}}_i\delta {\overrightarrow{r}}_i$ als virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte und $\sum _i{\overrightarrow{Z}}_i\delta {\overrightarrow{r}}_i$ als virtuelle Arbeit der Zwangskräfte.

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Beispiel: Bewegung auf einer Fläche $f({\overrightarrow{r}}_i,t)=0$ das ist auf der Ebene gerade durch die Normale auszudrücken: $\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_o(t))=0$ Annahme: Alle Zwangskräfte stehen senkrecht auf die Fläche: $\begin{array}{ll}& {\overrightarrow{Z}}_i={\lambda }_i({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,...,{\overrightarrow{r}}_N){\mathrm{\nabla }}_{ri}f\\ & {\mathrm{\nabla }}_{ri}fz.B.\overrightarrow{a}f\ddot{u}rEbene\\ \end{array}$ Die Virtuelle Arbeit der Zwangskräfte verschwindet nun: ${\overrightarrow{Z}}_i\delta {\overrightarrow{r}}_i=0={\lambda }_i({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,...,{\overrightarrow{r}}_N){\mathrm{\nabla }}_{ri}f\delta {\overrightarrow{r}}_i={\lambda }_i\delta f$ Begründung: ${\mathrm{\nabla }}_{ri}f\delta {\overrightarrow{r}}_i$ ist als Variation der Zwangsbedingung zu verstehen: ${\mathrm{\nabla }}_{ri}f$ ist ein Differenzial senkrecht auf die Fläche $f\delta {\overrightarrow{r}}_i$ ein Differenzial parallel zur Fläche Also folgt: $\sum _i{\overrightarrow{Z}}_i\delta {\overrightarrow{r}}_i=0$ Die reale Arbeit der Zwangskräfte verschwindet dagegen im Allgemeinen nicht: $\sum _i{\overrightarrow{Z}}_{i}d{\overrightarrow{r}}_i\ne 0$

Beispiel: Starrer Körper $f_{\lambda }=|{\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{r}}_j|-l_{ij}:=r_{ij}-l_{ij}=0$ Annahme: Die Zwangskräfte wirken in Richtung ${\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{r}}_j$ ${\overrightarrow{Z}}_{ij}={\lambda }_{ij}\frac{{\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{r}}_j}{r_{ij}}$ Das Vorgehen läßt sich also folgendermaßen schematisieren: Bestimme die Richtung der Zwangskraft und multipliziere einen beliebigen skalaren Faktor mit dieser Richtung. Falls die Richtungen für verschiedene Zwangskräfte verschieden sind, so muss man diese indizieren ( mit einem Index kenntlich machen). Die Zwangskräfte erhalten dann ebenso indizierte skalare Faktoren. Mit Hilfe des 3. Newtonschen Axioms können wir weiter einschränken: ${\overrightarrow{Z}}_{ij}=-{\overrightarrow{Z}}_{ji}\Rightarrow {\lambda }_{i{j}_{}}={\lambda }_{ji}$ Auf das Teilchen i wirkt also insgesamt die Zwangskraft: ${\overrightarrow{Z}}_i=\sum _{j\ne i}{Z}_{ij}=\sum _j{\lambda }_{ij}\frac{{\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{r}}_j}{r_{ij}}$ ${\overrightarrow{Z}}_i\delta {\overrightarrow{r}}_i\ne 0$ im Allgemeinen. Es verschwindet also nicht die virtuelle Arbeit für jede Masse einzeln. Jedoch gilt: $\sum _i{\overrightarrow{Z}}_i{\delta }_{}{\overrightarrow{r}}_i=\sum _{i,j}{\lambda }_{ij}\frac{{\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{r}}_j}{r_{ij}}{\delta }_{}{\overrightarrow{r}}_i=\frac{1}{2}\sum _{i,j}{\lambda }_{ij}\frac{{\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{r}}_j}{r_{ij}}{\delta }_{}{({\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{r}}_j)}_{}=\frac{1}{2}\sum _{i,j}{\lambda }_{ij}{\delta }_{}{r}_{ij}=0$ Beweis: $\delta \left|r\right|=\delta {(\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{r})}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{(\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{r})}^{-\frac{1}{2}}2\overrightarrow{r}\delta \overrightarrow{r}=\frac{\overrightarrow{r}\delta \overrightarrow{r}}{r}$ und ${\delta }_{}{r}_{ij}=0$

Allgemein kann man fordern:

$\sum _i{\overrightarrow{Z}}_i{\delta }_{}{\overrightarrow{r}}_i=0$ für alle betrachteten Zwangskräfte.

Das bedeutet: Gleitreibungskräfte längs einer Fläche sind als Zwangskräfte ausgeschlossen.

Somit folgt als d'Alembertsches Prinzip:

$\sum _i{\overrightarrow{Z}}_i{\delta }_{}{\overrightarrow{r}}_i=\sum _i(m_i{\ddot{\overrightarrow{r}}}_i-{\overrightarrow{X}}_i)\delta {\overrightarrow{r}}_i=0$

Das d´Alembertsche Prinzip gilt gleichermaßen für holonome und anholonome Zwangsbedingungen

Beispiel für ein Variationsprinzip:

Differentialprinzip: ( für infinitesimal kleine Variationen):

Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn $\left\{\delta {\overrightarrow{r}}_i\right\}$ .

Variationsprinzip mit Nebenbedingungen

Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um:

$\begin{array}{ll}& \overrightarrow{r}\to r_j(j=1...3)\\ & \overrightarrow{X}\to X_j\\ & \overrightarrow{a}\to {b_j}^n\\ \end{array}$

Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir:

$\sum _{i=1}^{3N}{Z}_i{\delta }_{}{r}_i=\sum _{i=1}^{3N}(m_i{\ddot{r}}_i-X_i)\delta r_i=0$

Nebenbedingung:

$\sum _{i=1}^{3N}{b_i}^n\delta r_i=0n=1,...,\nu$

Nü charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung

Dies ist lösbar mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren.

Denn: Wenn die Vektorkomponenten $r_i$ frei variierbar wären, also $\delta r_i$ beliebig, so müsste gelten:

$m_i{\ddot{r}}_i-X_i=0$

Also wäre es sinnvoll, das lineare Gleichungssystem so umzuschreiben, dass ein Satz von Faktoren frei variierbar ist:

Zuerst addieren wir die Nebenbedingungen mit noch beliebigen Lagrangemultiplikatoren ${\lambda }_n$

Wir erhalten:

$\sum _{j=1}^{3N}(m_j{\ddot{r}}_j-X_j-\sum _{n=1}^{\nu }{\lambda }_n{b_j}^n)\delta r_j=0$

Nun sind $\delta r_1,\delta r_2,...,\delta r_{\nu }$

aus den Nebenbedingungen zu eliminieren.

Die verbleibenden $\delta r_{\nu +1},...,\delta r_{3N}$ sind nun frei variierbar.

Nun kann das Summenzeichen weggelassen werden, da die verbleibenden Vektorkomponenten frei variiert werden können und dementsprechend jeder Summand für sich Null sein muss:

Es lassen sich ${\lambda }_{1,}...,{\lambda }_{\nu }$ derart bestimmen, dass

$m_j{\ddot{r}}_j-X_j-\sum _{n=1}^{\nu }{\lambda }_n{b_j}^n=0j=1,...,\nu$

Das heißt, wir suchen die ${\lambda }_{1,}...,{\lambda }_{\nu }$ aus diesem gegebenen linearen Gleichungssystem für die ${\lambda }_n(t)$ als Funktion der ${\ddot{r}}_j(t)$ . Im stationären Fall ist dies direkt auflösbar.

$\sum _{j=\nu +1}^{3N}(m_j{\ddot{r}}_j-X_j-\sum _{n=1}^{\nu }{\lambda }_n{b_j}^n)\delta r_j=0$

Da hier jedoch die $\delta r_j$ frei variierbar sind, gilt:

$m_j{\ddot{r}}_j-X_j-\sum _{n=1}^{\nu }{\lambda }_n{b_j}^n=0$

Die Lagrange- Gleichung der 1. Art

$\sum _{n=1}^{\nu }{\lambda }_n{b_j}^n$ kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf.

Beispiel Atwoodsche Fallmaschine

miniatur|Atwoods Fallmaschine

Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft , die an m2 angreift, nämlich -m2g.

Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip:

$\sum _i{\overrightarrow{Z}}_i{\delta }_{}{\overrightarrow{r}}_i=\sum _i(m_i{\ddot{\overrightarrow{r}}}_i-{\overrightarrow{X}}_i)\delta {\overrightarrow{r}}_i=0$

so folgt:

$(m_1{\ddot{h}}_1-X_1)\delta h_1+(m_2{\ddot{h}}_2-X_2)\delta h_2=0$

Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach:

$\begin{array}{ll}& h_1+h_2=const.\\ & \delta h_1=-\delta h_2\\ & {\ddot{h}}_1=-{\ddot{h}}_2\\ \end{array}$

Also folgt:

$(m_1{\ddot{h}}_1+m_{1}g)\delta h_1-(-m_2{\ddot{h}}_1+m_{2}g)\delta h_1=0$

$m_1{\ddot{h}}_1+m_{1}g+m_2{\ddot{h}}_1-m_{2}g=0$

${\ddot{h}}_1=\frac{(m_2-m_1)}{m_1+m_2}g$

Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist:

$\sum _i{\overrightarrow{Z}}_i{\delta }_{}{\overrightarrow{r}}_i=\sum _i(m_i{\ddot{\overrightarrow{r}}}_i-{\overrightarrow{X}}_i)\delta {\overrightarrow{r}}_i=0$