Die Maxwell-Gleichungen
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=3|Abschnitt=}} Kategorie:Elektrodynamik __SHOWFACTBOX__
Ziel: Beschreibung der Dynamik der Felder
Methode: Erweiterung der elektrostatischen und magnetostatischen Feldgleichungen derart, dass allgemeine Invarianz- Prinzipien erfüllt sind !
Invarianz- Prinzipien sind / können sein:
3.1 TCP- Invarianz
Zeitumkehr T: t -> t´=-t Ladungsumkehr / Konjugation : C : Q Q´= - Q Paritätsumkehr P : r - > r´= -r ( für den Ortsvektor)
Die Zeitumkehr- Transformation
Diese Observablen sind "gerade" unter T
Daneben gibt es auch Observablen, die "ungerade" unter T sind:
Denn:
Somit folgt jedoch vollständige T- Invarianz der elektromagnetischen Grundgleichungen:
Kontinuitätsgleichung:
Die Gleichungen sind FORMINVARIANT !
Ladungsumkehr ( Konjugation)
sind gerade unter C Ungerade unter c sind:
- C- Invarianz der Elektro- Magnetostatik:
Paritätsumkehr: Räumliche Spiegelung/ Inversion
Vertauschung: rechts <-> links
Man unterscheidet:
P- invariant = " axialer Vektor", sogenannter Pseudovektor !!
Seien:
Wegen
ungerade Parität dagegen:
Wegen
P- Invarianz der Elektro- / Magnetostatik:
Nebenbemerkung: Gäbe es magnetische Ladungen, dann wären sie pseudoskalare Außerdem ( Weinberg e.a.) : Schwache Wechselwirkung verletzt die Paritätserhaltung!
Maxwell- Gleichungen im Vakuum
Die Forderungen an dynamische Gleichungen für zeitartige Felder lauten: 1) im quasistatischen Grenzfall sollen die statischen MWGl herauskommen:
2) die Gleichungen sollen linear in sein, um das Superpositionsprinzip zu erfüllen ! Die Gleichungen sollen 1. Ordnung in t sein ( um das Kausalitätsprinzip zu erfüllen !)
Die linke Seite der Maxwellgleichungen ( oben) soll zur Zeit t=0 den Zustand für t> 0 vollständig festlegen !!
Somit sind
Dies sind 6 Vektorgleichungen, die für t> 0 festlegen und 2 skalare Gleichungen
3) Wir fordern TCP- Invarianz:
Also bleibt:
4) Ladungserhaltung:
Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung ! Somit ( vergl. S. 32, §2.3 folgt die Verschiebungsstromdichte
5) Lorentzkraft
soll aus einem Extremalprinzip, ergo dem Hamiltonschen Prinzip ableitbar sein. Suche also eine Lagrange- Funktion
die nichtrelativistische Bewegungsgleichung
ergibt !
Lösung:
Tatsächlich gilt
Dabei ist die Zeitableitung von A als totales Differenzial entlang einer Bahn zu sehen !
Vergleich mit der Lorentzkraft liefert:
und:
Vollständige ( zeitabhängige) Maxwellgleichungen im Vakuum
mit den neuen Feldgrößen
dielektrische Verschiebung und
Dabei sind
die homogenen Gleichungen, die die Wechselwirkung einer Punktladung mit gegebenen Feldern beschreiben und
die inhomogenen Gleichungen, die Erzeugung der Felder durch gegebene Ladungen und Ströme
Im Gauß- System:
Mit
im Vakuum !
Induktionsgesetz
Die Maxwellgleichung
wird über eine ortsfeste Fläche F ( nicht geschlossen) mit Rand integriert:
Wobei Differenziation und Integration genau dann vertauscht werden kann, wenn die Variablen unabhängig sind, also die Fläche ortsfest !
Damit folgt die integrale Form dieser Maxwellgleichung
Der magnetische Fluß !
Der magnetische Fluß hängt nur vom Rand der Fläche ab !
Seien F und F´ zwei Flächen mit dem selben Rand, die das Volumen V einschließen :
Die Potenzialdifferenz bei einem Umlauf um beträgt:
Dies entspricht einer induzierten Spannung ( als Wirbelfeld) Somit folgt das
Faradaysche Induktionsgesetz:
mit dem magnetischen Fluß
Die Lenzsche Regel:
Ladungsverschiebung/- Bewegung
erzeugt Also: ist entgegengerichtet !
Zusammenfassung
Zirkulation des elektrischen Feldes entlang einer geschlossenen Linie ist gleich der zeitlichen Abnahme des eingeschlossenen magnetischen Flusses:
Der Nettofluss des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist NULL
Der Fluß des elektrischen Feldes durch ist gleich der eingeschlossenen Ladung
Die Zirkulation des magnetischen Feldes entlang einer eingeschlossenen Linie ist gleich der Summe aus dem dielektrischen Verschiebungsstrom und dem Konvektionsstrom
Energiebilanz
Die Maxwell- Gleichungen enthalten die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladung
Frage:
Enthalten die Maxwell- Gleichungen weitere Erhaltungssätze für extensive physikalische Observablen, wie Energie, Impuls, Drehimpuls. ( Extensiv: Additiv bei Systemzusammensetzung)
Energietransport durch das elektromagnetische Feld:
Also:
Als Kontinuitätsgleichung ( Bilanzgleichung) für den Energietransport
mit
Als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes Remember:
Elektrostatik:
Magnetostatik:
als Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes ( Poynting- Vektor)
als Quelldichte der Feldenergie ( Leistungsdichte)
bedingt die Abnahme der Feldenergie bei
bedingt die Zunahme der Feldenergie bei
Beispiel: Beschleunigung von Teilchen durch die Felder
Als Leistungsdichte der Felder auf die Ladungsdichte folgt:
Das Magnetfeld leistet keine Arbeit, da die Kraft senkrecht auf die Geschwindigkeit steht
Es verbleibt die Kraftdichte, die vom Feld auf Ladungen übertragen wird ( sogenannte Verlustdichte der Feldenergie)
Also ist die Feldenergie keine Erhaltungsgröße !!
Beispiel: Ohmsches Gesetz:
mit der konstanten LEITFÄHIGKEIT ( nicht wie oben Oberflächenladungsdichte)
Das Ohmsche Gesetz ist ein phänomenologisches MATERIALGESETZ. Es gilt in Metallen und Halbleitern für hinreichend kleine Felder
Die Energiebilanz lautet:
Das heißt: Es gibt stets den VERLUST von Feldenergie ! Eine Konsequenz des 2. Hauptsatz der Thermodynamik Im Gegensatz zur Elektrodynamik ist das Ohmsche Gesetz also nicht zeitumkehrinvariant !
Das bedeutet:
wird dann als Joulsche Wärme im Leiter dissipiert
2. Beispiel:
Antennenstrahlung ( offenes System)
in der metallischen Antenne ist dem Wechselfeld außerhalb entgegengesetzt.
Impulsbilanz
Aus den Maxwell Gleichungen folgt eine weitere Bilanzgleichung für den Impulstransport durch das elektromagnetische Feld:
Mittels
Dabei bezeichnet den Einheitstensor 1. Stufe und das Tensorprodukt (dyadisches Produkt). Außerdem ist die Divergenz eines Tensors zweiter Stufe. In Komponenten gilt:
Analog:
Dabei beschreibt
den Kraftdichtefluß, der von den Feldern auf Ströme und Ladungen übertragen wird
Als Bilanzgleichung für den Impulstransport ergibt sich:
Dabei ist
die Impulsdichte des Feldes. Nach Newton gilt:
Es ergibt sich
Als der IMPULSSTROMDICHTE- Tensor des Feldes ( Maxwellscher Spannungstensor)
in Komponenten:
Dies ist die Stromrichtung der - Komponente der Impulsdichte in - Richtung. Eine Impulsdichte, die in eine feste Richtung weist wird somit entlang einer anderen Richtung transportiert !
Energiedichte Außerdem ist T symmetrisch:
Die komponentenweise Darstellung der Bilanzgleichung
beschriebt den Impulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen.
Bemerkung: Eine analoge Bilanzgleichung gibt es für die Drehimpulsdichte des Feldes. Sie beschreibt den Drehimpulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen !
Eichinvarianz
Die Felder werden durch die Potenziale dargestellt.:
Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation
ist, welche die Felder E und B unverändert läßt.
Also:
Mit
mit eine völlig beliebigen Eichfunktion . Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein ! Aber nicht nur sondern auch sind physikalisch relevant. So muss auch erfüllt sein.
Dies ist gewährleistet, wenn die Maxwellgleichungen erfüllt sind. Durch
sind die homogenen Maxwellgleichungen bereits erfüllt:
Auch die Umkehrung gilt:
Wähle nun eine Eichung derart, dass die inhomogenen Maxwellgleichungen besonders einfach werden
Ziel: Entkopplung der DGLs für
- Lorentz- Eichung:
Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt: 1)
Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu
Was mit der Lorentz- Eichung
wird zu
Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit
zusammengefasst werden:
Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale ( entkoppelt mittels Lorentz- Eichung) Es ergibt sich im SI- System:
Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum !
Coulomb- Eichung
( sogenannte Strahlungseichung):
Vergleiche Kapitel 2.3 ( Magnetostatik): Für
(Poissongleichung der Magnetostatik)
Zerlegung in longitudinale und transversale Anteile :
Allgemein kann man
in ein wirbelfreies Longitudinalfeld:
und ein quellenfreies Transversalfeld
zerlegen.
Tatsächlich gilt:
Da quellenfrei ist, ist B auch immer transversal:
Also:
ergibt die longitudinalen Felder und
Merke: Felder , die Rotation eines Vektorfeldes sind ( Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder ( als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal ! ( Rotation verschwindet).
Zerlegung der Stromdichte:
mit
Mit
Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal:
Also:
Da beide Felder aber für r-> 0 verschwinden folgt:
Also:
Also: Die Feldgleichungen
und
erhalten dann die Form:
und
In der Coulomb- Eichung ! Also.
- longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik
als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen.
Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen !
Sie liefert eine Poissongleichung für und eine Wellengleichung für .