Vektorraum

Eine Vektorraum über einem Körper(K) ist eine Menge ${{V}_{M}}$ zusammen mit einer inneren Verknüpfung:

${\begin{aligned}&+:{{V}_{M}}\times {{V}_{M}}\to {{V}_{M}}\\&\left(v,w\right)\to v+w\\\end{aligned}}$

Und einer äußeren Verknüpfung:

${\begin{aligned}&\centerdot :K\times {{V}_{M}}\to {{V}_{M}}\\&\left(\lambda ,v\right)\to \lambda \centerdot v\\\end{aligned}}$

So dass gilt: [V.1] $\left({{V}_{M}},+\right)$ ist abelsche Gruppe [V.2] ${\begin{matrix}\forall \lambda ,\mu \in K,\forall v,w\in {{V}_{M}}:\\\left({\begin{aligned}&\left(\lambda +\mu \right)\centerdot v=\lambda \centerdot v+\mu \centerdot v,\quad \lambda \centerdot \left(v+w\right)=\lambda \centerdot v+\lambda \centerdot w,\\&\lambda \centerdot \left(\mu \centerdot v\right)=\left(\lambda \centerdot \mu \right)\centerdot v,\quad {\text{f }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ r }}1\in K:1\centerdot v=v\\\end{aligned}}\right)\\\end{matrix}}$