Hauptseite

TEST

Rotation in kartesischen Koordinaten

Seien $(x,y,z)$ die kartesischen Koordinaten des dreidimensionalen euklidischen Raumes und ${𝐞}_x,$ ${𝐞}_y$ und ${𝐞}_z$ die normierten, zueinander senkrechten Basisvektoren, die an jedem Punkt in Richtung der zunehmenden Koordinaten zeigen.

Die Rotation eines dreidimensionalen, differenzierbaren Vektorfeldes

$𝐅(x,y,z)=F_x(x,y,z){𝐞}_x+F_y(x,y,z){𝐞}_y+F_z(x,y,z){𝐞}_z$

ist das dreidimensionale Vektorfeld

$\mathrm{rot}𝐅(x,y,z)=(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}){𝐞}_x+(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}){𝐞}_y+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}){𝐞}_z.$

Als Merkregel kann man $\mathrm{rot}𝐅$ als Determinante einer Matrix auffassen, deren erste Spalte die kartesischen Basisvektoren enthält, die zweite die partiellen Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten und die dritte die zu differenzierenden Komponentenfunktionen

$\mathrm{rot}𝐅=\det \left(\begin{array}{ccc}{𝐞}_x& \frac{\partial }{\partial x}& F_x\\ {𝐞}_y& \frac{\partial }{\partial y}& F_y\\ {𝐞}_z& \frac{\partial }{\partial z}& F_z\end{array}\right).$