Das Photonengas im Strahlungshohlraum

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=4}} Kategorie:Thermodynamik __SHOWFACTBOX__


Betrachte: elektromagnetische Strahlung in einem ladungs- und stromfreien Hohlraum im thermischen Gleichgewicht:

E¯(r¯,t)=E¯0ei(q¯r¯ω(q)t)B¯(r¯,t)=B¯0ei(q¯r¯ω(q)t)

Ebene Wellen als Lösung der Maxwell- Gleichung !

Mit:

E¯0B¯0=0q¯E¯0=q¯B¯0=undω(q)=c|q¯|

Also: E- Feld, B- Feld und Ausbreitungsrichtung stehen senkrecht aufeinander !

Quantisierung des elektromagnetischen Feldes:

betrachte elektromagnetisches Feld als Feld von Oszillatoren mit Frequenz ω(q)=c|q¯|

->

Eq=ω(q)(nq+12)q=1,2,3,....

Interpretation von nq als Zahl der Schwingungsquanten ! und Photonen mit der Energie ω(q).

und mit dem Impuls q¯

!

Photonen sind Bosonen ( da nq=0,1,2,3,4,5,.... möglich !)

mit Spin S=1

Aber:

Entartungsgrad nur 2: 2 Spinzustände !, entsprechend 2 Polarisationsrichtungen:

linkszirkular und rechtszirkulare Polarisation ! der klassischen elektromagnetischen Welle !

Bei linkszirkularer Polarisation gilt:

S¯q¯

Bei rechtszirkularer Polarisation gilt:

S¯q¯

Die dritte Einstellmöglichkeit tritt nicht auf, da es keine " longitudinalen" Photonen gibt ! ( longitudinale Wellen !)

  • Lichtgeschwindigkeit ist c, da m0=0 ( Ruhemasse)=0

Im thermischen Gleichgewciht des Photonengases mit den Wänden ( "Hohlraumstrahlung")

werden ständig Photonen emittiert und absorbiert !

Ihre Anzahl N¯

ist deshalb bereits durch T und V festgelegt und daher keine unabhängige Nebenbedingung !

  • kanonisches Ensemble !

Formal:

Setze μ=0

in der Boseverteilung ( chemisches Potenzial verschwindet)

N¯=2q¯1exp(ω(q)kT)1=2q¯NqU=2q¯ω(q)exp(ω(q)kT)1

Dabei kommt der Vorfaktor 2 wegen den beiden möglichen Polarisationsrichtungen !

Übergang zum Quasi- Kontinuum !

2q¯>2Vh3d3(q¯)=8πV(2π)30dqq2=8πV(2π)3c30dωω2ω=cqω=2πν8πV(2π)3c30dωω2=8πVc30dνν2

Zustandsdichte der Photonen

Somit folgt die Zustandsdichte der Photonen als:

N¯=2q¯NqN¯=8πV(2π)3c30dωω2N(ω)=8πVc30dνν2NνN¯:=0dνD(ν)NνD(ν)=8πVc3ν2N¯=8πVc30dνν2Nν=0dνD(ν)NνU=0dνD(ν)hνNν

Dabei ist die Energie ein mit dem Volumen skalierter Wert einer spektralen Energiedichte, die über alle Frequenzen integriert wird.

Dem entsprechend ist der Wert der spektralen Energiedichte, die

Plancksche Strahlungsformel

u(ν,T):=1VD(ν)hνNν=8πhc3ν3ehνkT1

Grenzfälle

hν<<kTu(ν,T)8πhc3ν3hνkT=8πc3ν2kT

klassisches Resultat, Rayleigh- Jeans- Gesetz richtig für ν0

, aber: Infrarot- Katastrophe !

hν>>kTu(ν,T)8πhc3ν3ehνkT=8πhc3ν3ehνkT

W. Wien: empirisches Resultat für ν

!

für irdische Lichtquellen, versagt jedoch für Sonne und Fixsterne !

Plancksche Ableitung der Strahlungsformel ( 1900):

Postulat:

Strahlungsenergie gequantelt gemäß En=nhν

in Zustandssumme !

Damit konnte M. Planck erstmals die Strahlung schwarzer Körper ( also vollständig absorbierender Strahlungshohlräume im thermodynamischen Gleichgewicht) erklären !

Er konnte damit auch zwischen Rayleigh- Jeans und Wien interpolieren !

  • historischer Ausgangspunkt der Quantenmechanik !!

Maximum der spektralen Energiedichte für

hν>>kTu(ν,T)ν=0=ν8πhc3ν3ehνkT=8πhc3ν(ν3ehνkT)=8πhc3(3ν2ehνkThkTν3ehνkT)3ν2ehνkT=hkTν3ehνkT3kTh=νmax.

Wiensches Verschiebungsgesetz

Hier sieht man den Verlauf für T=100, 200, 300, 400 K:


Gesamtenergie

Gewinnt man durch Integration über alle Frequenzen:

U(T):=Vdν1VD(ν)hνNν=8πhVc30dνν3ehνkT1=8πV(ch)3(kT)40dxx3ex10dxx3ex1=π415U(T)=8π5V15(ch)3(kT)4

Also das Integral unter den obigen Kurven mal das Volumen des Hohlraums !

Auch für einen Strahlungshohlraum lassen sich Wärmekapazität, Druck etc.. angeben:

Wärmekapazität:

CV=(U(T)T)V=32π5V15(ch)3k4T3

Strahlungsdruck im Hohlraum

Aus

p=(FV)T

folgt mit der kanonischen Zustandssumme Z:

F=kTlnZ=kTνln(1ehνkT)p=kT(VlnZ)T=kTνhkT(νV)ehνkT(1ehνkT)

Dies ist keineswegs Null, denn: mit dem Volumen V ändert sich die Frequenz einer stehenden Welle:


ν=cλ~V13νV=13νV

p=kT(VlnZ)T=kTνhkT(νV)ehνkT(1ehνkT)=kTνhkTν3VehνkT(1ehνkT)=13VνhνehνkT(1ehνkT)=p=13VνhνNνp=13UV

Der Strahlungsdruck !

Also:

p(T)=8π545(ch)3(kT)4

Das heißt: In einem Hohlraum steigt der Strahlungsdruck mit der vierten Potenz der Temperatur !

Betrachtet man dies in N/ m², so ergibt sich:

Im Zentrum der Sonne allerdings herrschen 2,5107

bar Strahlungsdruck !:


Einsteinsche Ableitung der Planckschen Strahlungsformel

( 1917)

Einstein hatte den begriff "Photon" im Zusammenhang mit dem Photoeffekt entwickelt !. Im Strahlungshohlraum seien 2 Niveau- Atome, die zwischen den Energien E1 und E2 mit Entartungsgrade g1 und g2 Strahlungsübergänge machen können , indem sie Photonen der Energie

hν=E2E1

absorbieren oder emittieren !

Im thermodynamischen Gleichgewicht gilt für die mittleren Besetzungszahlen der elektronischen Atomniveaus ( Fermionen):

N2N1=g2P(E2)g1P(E1)=g2eβE2g1eβE1=g2g1eβ(E2E1)=g2g1eβhνhν=E2E1

Dabei gilt für die Besetzungswahrscheinlichkeiten:

P(Ei)=Z1eβEi

Im thermischen Gleichgewicht werden im Mittel so viele Photonen emittiert wie absorbiert:

Ansatz für die Raten ( = Anzahl der Übergänge pro Zeit und Volumen)_

1) Absorption: E1E2

mit der Photonenzahl u:

Absorptionsrate: E1E2

B12u(ν,T)N1

2) Spontane Emission:

Emissionsrate: E2E1

A21N2

Man erhält als mittlere Lebensdauer eines Anregungszustandes: 1τ=A21

3) Induzierte Emission:

Emissionsrate: E2E1

B21u(ν,T)N2

Diese wurde von Einstein neu eingeführt !

  • Grundlage der Maser ( 1954) und Laser ( 1961)

Vergleichsweise zum chemischen Massenwirkungsgesetz ( Kapitel 4.5) gewinnt man schließlich eine Bilanzgleichung mit den "Einstein- Koeffizienten" B12, A21 und B21:

B12u(ν,T)N1=B21u(ν,T)N2+A21N2u(ν,T)=A21B12N1N2B21=A21B12g1g2eβhνB21

Auf das richtige Plancksche Strahlungsgesetz kommt man über 2 zusätzliche Postulate:

limT>u(ν,T)=B12g1g2=B21

Damit muss man das Strahlungsgesetz in der Form

u(ν,T)=A21B12g1g2eβhνB21=aeβhν1

schreiben können. Die Bose- Einstein- Verteilung ist also bereits herausgekommen !

kT>>hνlimT>u(ν,T)=8πc3ν2kTa=8πc3hν3

das heißt: für hohe Temperaturen sollte das Strahlungsgesetz in das Rayleigh- Jeans- Gesetz übergehen !

Damit gewinnt man den Faktor a !

u(ν,T)=8πc3hν31eβhν1

Verallgemeinerung

kann auf Elektronensysteme im NICHTgleichgewicht geschehen !

  • Wie bei Photonen nur mit effektivem chemischem Potenzial μ0
  • Anwendung: Laser !