Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Kategorie:Quantenmechanik
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Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:
soll berechnet werden, wobei
durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters
linear entwickelt werden kann:
( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !)
Wenn wir nun annehmen, dass zur Energie
mehrere (orthonormal) entartete Zustände gehören, so müssen wir das Problem anpassen:
Das ungestörte Problem schreibt sich dann:
Damit bezeichnet
die Nummerierung der entarteten Zustände beim Entartungsgrad s. Bei diesem Beispiel wäre der N. Eigenzustand s- fach entartet !
Durch
wird die Entartung jedoch im Allgemeinen aufgehoben:
Die Störungsreihe/ Störungsentwicklung
ist unter diesen Bedingungen nur für ein bestimmtes, geeignetes
möglich:
Wähle nun
im ungestörten Eigenraum so, dass für
( eindeutig bestimmt).
Das Einsetzen in die Entwicklung der Ordnung
liefert:
f=1
1. Näherung
Das Skalarprodukt mit
"projiziert" wieder die Korrektur des jeweils entarteten Terms der Nummer
heraus:
Somit folgt:
Dies ist aber gerade eine Eigenwertgleichung für die sogenannte Störmatrix
Die Gleichung heißt auch "Säkulargleichung" zur Berechnung von Eigenwerten und bildet ein homogenes, lineares Gleichungssystem.
Die Bezeichnung folgt in Anlehnung an die früheren Anwendungen: Berechnung der astronomischen säkularen Störungen.
Nichttriviale Lösungen existieren genau dann, wenn die Determinante
, die sogenannte Säkulardeterminante, verschwindet, also
also:
Für den Fall
hermitesch folgt
Dann existieren reelle Eigenwerte
und die Eigenvektoren zu
sind orthogonal !
Bemerkung: Die Entartung muss NICHT vollständig aufgehoben werden !
Beispiel: 2 entartete Zustände
Säkulardeterminante
Dies als Korrekturterm. Somit folgt für ein Energieniveau der Energie E:
Dabei gibt
die Energieaufspaltung an.
E ist , wie angegeben die gesamte Energie in 1. Störungstheoretischer Ordnung. Die Aufspaltung erfolgt linear in
, also linear zur Störung: