Kugelsymmetrische Potentiale

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Kugelsymmetrische Potentiale basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=3|Abschnitt=3}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__

$\begin{array}{cc}& [{\hat{L}}_3,{\hat{r}}_1]=[({\hat{r}}_1{\hat{p}}_2-{\hat{r}}_2{\hat{p}}_1),{\hat{r}}_1]=-{\hat{r}}_2[{\hat{p}}_1,{\hat{r}}_1]=i\hslash {\hat{r}}_2\\ & [{\hat{L}}_3,{\hat{r}}_2]=[({\hat{r}}_1{\hat{p}}_2-{\hat{r}}_2{\hat{p}}_1),{\hat{r}}_2]={\hat{r}}_1[{\hat{p}}_2,{\hat{r}}_2]=-i\hslash {\hat{r}}_1\\ & [{\hat{L}}_3,{\hat{r}}_3]=[({\hat{r}}_1{\hat{p}}_2-{\hat{r}}_2{\hat{p}}_1),{\hat{r}}_3]=0\\ \end{array}$

Allgemein:

$\begin{array}{cc}& [{\hat{L}}_j,{\hat{r}}_k]=i\hslash {\hat{r}}_l\\ & [{\hat{L}}_j,{\hat{r}}_k]=i\hslash {\epsilon }_{jkl}{\hat{r}}_l\\ \end{array}$

mit j,k,l zyklisch

Analog:

$[{\hat{L}}_j,{\hat{p}}_k]=i\hslash {\epsilon }_{jkl}{\hat{p}}_l$

$\begin{array}{cc}& [{\hat{L}}_3,{{\hat{r}}_1}^2]=[{\hat{L}}_3,{\hat{r}}_1]{\hat{r}}_1+{\hat{r}}_1[{\hat{L}}_3,{\hat{r}}_1]=i\hslash {\hat{r}}_2{\hat{r}}_1+{\hat{r}}_{1}i\hslash {\hat{r}}_2=2i\hslash {\hat{r}}_2{\hat{r}}_1\\ & [{\hat{L}}_3,{{\hat{r}}_2}^2]=[{\hat{L}}_3,{\hat{r}}_2]{\hat{r}}_2+{\hat{r}}_2[{\hat{L}}_3,{\hat{r}}_2]=-i\hslash {\hat{r}}_1{\hat{r}}_2-{\hat{r}}_{2}i\hslash {\hat{r}}_1=-2i\hslash {\hat{r}}_2\hat{r}\\ & [{\hat{L}}_3,{{\hat{r}}_3}^2]=[{\hat{L}}_3,{\hat{r}}_3]{\hat{r}}_3+{\hat{r}}_3[{\hat{L}}_3,{\hat{r}}_3]=0\\ \end{array}$

Damit folgt jedoch für die gesamten Vektoren:

$[{\hat{L}}_j,{\hat{r}}^2]=[{\hat{L}}_j,{\hat{p}}^2]=0$

j=1,2,3

$[{\hat{L}}_j,H]=0$

,

falls $H=\hat{H}({\hat{r}}^2,{\hat{p}}^2)$

Also $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V(r)$

mit Zentralpotenzial V(r)

Theorem

Für alle rotationssymmetrischen Hamiltonoperatoren gilt:

$[{\hat{L}}_j,H]=0$

$[{\hat{L}}^2,H]=0$

Und der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße, also

$\dot{\overline{L}}=0$

Analogie in der KLASSISCHEN Mechanik:

Im Zentralpotenzial ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße

Tieferer Grund: $\overline{L}$

ist die Erzeugende infinitesimaler Drehungen

Wegen $[{\hat{L}}^2,H]=\hat{L}[\hat{L},H]+[\hat{L},H]\hat{L}\Rightarrow [{\hat{L}}^2,H]=0\Rightarrow [{\hat{L}}_j,H]=0$

Sei V(r) im Folgenden kugelsymmetrisch.

Dann gibt es gemeinsame Eigenzustände von $H$

und${\hat{L}}_j$

für jedes j aber nicht zu $H$

und$\overline{L}$ .

(H läßt sich als L² darstellen (siehe im Folgenden!) und mit L² vertauscht immer nur eine Komponente, die anderen nicht, da ja die Komponenten des Drehimpulses untereinander nicht vertauschen!)

Wegen

$[{\hat{L}}_3,H]=0$

$[{\hat{L}}^2,H]=0$

$[{\hat{L}}^2,{\hat{L}}_3]=0$

können wir gemeinsame Eigenzustände zu $H$ , ${\hat{L}}^2$

und ${\hat{L}}_3$

finden.

Zusammenhang zwischen ${\hat{L}}^2$

und $H=\frac{p^2}{2m}+V$

$\begin{array}{cc}& {\hat{L}}^2={\epsilon }_{jkl}{\epsilon }_{jmn}{x}_k{p}_l{x}_m{p}_n\\ & {\epsilon }_{jkl}{\epsilon }_{jmn}={\delta }_{km}{\delta }_{\ln }-{\delta }_{kn}{\delta }_{lm}\\ & {\hat{L}}^2={\epsilon }_{jkl}{\epsilon }_{jmn}{x}_k{p}_l{x}_m{p}_n=({\delta }_{km}{\delta }_{\ln }-{\delta }_{kn}{\delta }_{lm})x_k{p}_l{x}_m{p}_n\\ \end{array}$

Summationskonvention!!

Es folgt:

$\begin{array}{cc}& {\hat{L}}^2={\epsilon }_{jkl}{\epsilon }_{jmn}{x}_k{p}_l{x}_m{p}_n=({\delta }_{km}{\delta }_{\ln }-{\delta }_{kn}{\delta }_{lm})x_k{p}_l{x}_m{p}_n=\\ & =x_m{p}_n{x}_m{p}_n-x_n{p}_m{x}_m{p}_n\\ & p_n{x}_m=x_m{p}_n-i\hslash {\delta }_{mn}\\ & x_n{p}_m=p_m{x}_n+i\hslash {\delta }_{mn}\\ & \Rightarrow {\hat{L}}^2=x_m{x}_m{p}_n{p}_n-p_m{x}_n{x}_m{p}_n-2i\hslash x_m{p}_m\\ & p_m{x}_n{x}_m{p}_n=p_m{x}_m{x}_n{p}_n\\ & p_m{x}_m=x_m{p}_m-i\hslash {\delta }_{mm}\\ & {\delta }_{mm}=3\\ & \Rightarrow {\hat{L}}^2=x_m{x}_m{p}_n{p}_n-p_m{x}_n{x}_m{p}_n-2i\hslash x_m{p}_m={x_m}^2{p_n}^2-x_m{p}_m{x}_n{p}_n+3i\hslash x_n{p}_n-2i\hslash x_m{p}_m\\ & \Rightarrow {\hat{L}}^2={x_m}^2{p_n}^2-\left(x_m{p}_m\right)\left(x_n{p}_n\right)+i\hslash x_m{p}_m\\ & {\hat{L}}^2=r^2{p}^2-{(\overline{r}\cdot \overline{p})}^2+i\hslash (\overline{r}\cdot \overline{p})\\ \end{array}$

Somit:

$\frac{{\hat{p}}^2}{2m}=\frac{1}{2m{r}^2}[{(\hat{\overline{r}}\cdot \hat{\overline{p}})}^2-i\hslash (\hat{\overline{r}}\cdot \hat{\overline{p}})+{\hat{L}}^2]$

Klassisch:

$\begin{array}{cc}& \frac{p^2}{2m}=\frac{1}{2m{r}^2}[{(\overline{r}\cdot \overline{p})}^2+L^2]\\ & mit(\overline{r}\cdot \overline{p})=r{p}_r\\ \end{array}$

Ortsdarstellung in Kugelkoordinaten

$\begin{array}{cc}& x_1=r\sin \vartheta \cos \varphi \\ & x_2=r\sin \vartheta \sin \varphi \\ & x_3=r\cos \vartheta \\ \end{array}$

Die Differenziale transformieren sich dabei folgendermaßen:

$\frac{\partial }{\partial r}=\frac{\partial x_j}{\partial r}{\partial }_j=\frac{x_j}{r}{\partial }_j$

Wobei der letzte Zusammenhang natürlich nur für die obigen Vektorkomponenten gilt!

Somit:

$\overline{r}\cdot \overline{p}=\frac{\hslash }{i}{x}_j{\partial }_j=\frac{\hslash }{i}r\frac{\partial }{\partial r}$

wegen $\frac{\partial }{\partial r}=\frac{x_j}{r}{\partial }_j$

$\begin{array}{cc}& \hat{\overline{p}}=-i\hslash \mathrm{\nabla }\\ & {\hat{p}}_r-i\hslash \frac{\partial }{\partial r}\\ & \hat{\overline{r}}\hat{\overline{p}}=\hat{r}{\hat{p}}_r=\frac{\hslash }{i}r\frac{\partial }{\partial r}\\ & {\hat{L}}_z=\frac{i}{\hslash }\frac{\partial }{\partial \varphi }\\ \end{array}$

Operator der kinetischen Energie:

$\begin{array}{cc}& (\overline{r}\cdot \overline{p})[(\overline{r}\cdot \overline{p})+\frac{\hslash }{i}]\Psi (r,\vartheta ,\varphi )=-{\hslash }^{2}r\frac{\partial }{\partial r}(r\frac{\partial }{\partial r}+1)\Psi (r,\vartheta ,\varphi )\\ & =-{\hslash }^{2}r[\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial \Psi }{\partial r}\right)+\frac{\partial \Psi }{\partial r}]=-{\hslash }^{2}r[\left(r\frac{{\partial }^2\Psi }{\partial r^2}\right)+2\frac{\partial \Psi }{\partial r}]=-{\hslash }^{2}r\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}\left(r\Psi \right)\\ \end{array}$

Alternativ:

$(\overline{r}\cdot \overline{p})[(\overline{r}\cdot \overline{p})+\frac{\hslash }{i}]\Psi (r,\vartheta ,\varphi )==-{\hslash }^2\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \Psi }{\partial r}\right)$

Also: (Im quantenmechanischen Fall sei $\overline{r}=\hat{\overline{r}},\overline{p}=\hat{\overline{p}}$

$\frac{p^2}{2m}\Psi (r,\vartheta ,\varphi )=\frac{-{\hslash }^2}{2m}\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}\left(r\Psi \right)+\frac{L^2}{2m{r}^2}\Psi$

einen einfachen Ausdruck hätte man auch erhalten, indem man einfach Laplace, also $\frac{p^2}{2m}=\frac{-{\hslash }^2}{2m}\Delta$

in Kugelkoordinaten schreibt

Es gilt für den Operator der kinetischen Energie

$\hat{\overline{T}}=\frac{{\hat{\overline{p}}}^2}{2m}=\frac{-{\hslash }^2}{2m}\Delta$

Laplaceoperator in Kugelkoordinaten:

$\Delta \Psi =\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\Psi \right)+\frac{1}{r^2\sin \vartheta }\frac{\partial }{\partial \vartheta }(\sin \vartheta \frac{\partial }{\partial \vartheta }\Psi )+\frac{1}{r^2{\sin }^2\vartheta }\frac{{\partial }^2}{{\partial }^2\varphi }\Psi$

Schrödingergleichung für $\Psi (r,\vartheta ,\varphi )$

$H\Psi (r,\vartheta ,\varphi )=\frac{p^2}{2m}\Psi (r,\vartheta ,\varphi )+V(r)\Psi (r,\vartheta ,\varphi )=\frac{-{\hslash }^2}{2m}\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}\left(r\Psi \right)+[\frac{L^2}{2m{r}^2}+V(r)]\Psi =E\Psi (r,\vartheta ,\varphi )$

In Analogie zur klassischen Hamiltonfunktion identifiziert man

${\hat{p}}_r=\frac{\hslash }{i}(\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r})$

als Radialimpuls- Operator

mit der Vertauschungsrelation:

$[{\hat{p}}_r,\hat{r}]=\frac{\hslash }{i}$

Es gilt:

$\frac{p^2}{2m}=\frac{{p_r}^2}{2m}+\frac{L^2}{2m{r}^2}$

Nachrechnen!

Ortsdarstellung von L²:

$L^2\Psi (r,\vartheta ,\varphi )=-{\hslash }^2\{\frac{1}{\sin \vartheta }\frac{\partial }{\partial \vartheta }(\sin \vartheta \frac{\partial \Psi (r,\vartheta ,\varphi )}{\partial \vartheta })+\frac{1}{{\sin }^2\vartheta }\frac{{\partial }^2\Psi (r,\vartheta ,\varphi )}{\partial {\varphi }^2}\}$

Nebenbemerkung:

H erhält man auch direkt durch die Transformation von

$\frac{-{\hslash }^2}{2m}\Delta \Psi +V\Psi =E\Psi$

´ auf Kugelkoordinaten (Laplace- Operator in Kugelkoordinaten ausdrücken!)

Lösung der Schrödingergleichung durch Separationsansatz:

$\Psi (r,\vartheta ,\varphi )=R(r)Y(\vartheta ,\varphi )$

mit$L^{2}Y(\vartheta ,\varphi )={\hslash }^{2}l(l+1)Y(\vartheta ,\varphi )$

Also:

$\begin{array}{cc}& -\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{Y}{r}\frac{d^2}{d{r}^2}\left(rR\right)+\frac{R}{2m{r}^2}\left(L^{2}Y\right)+Y(V(r)-E)R=0\\ & L^{2}Y={\hslash }^{2}l(l+1)Y\\ & \Rightarrow -\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{Y}{r}\frac{d^2}{d{r}^2}\left(rR\right)+\frac{R}{2m{r}^2}({\hslash }^{2}l(l+1)Y)+Y(V(r)-E)R=0\\ & \Rightarrow -\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{r}^2}\left(rR\right)+(\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2m{r}^2}+V(r)-E)\left(rR\right)=0\\ \end{array}$

(Laguerre Differenzialgleichung!)

Dabei wird $\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2m{r}^2}$

analog zur klassischen Mechanik als Zentrifugalpotenzial bezeichnet

Im Endeffekt können wir von einer radialen Schrödingergelichung mit einem effektiven Potenzial sprechen:

$V_{eff.}=\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2m{r}^2}+V(r)$

Merke als Kurzform für Differenziale:

$d^2\left(rR\right)=d(R+rdR)=2dR+r{d}^{2}R$

für ein Differenzial entlang der Radiusvariable!

Bindungszustände im anziehenden Zentralpotenzial:

Sei $\begin{array}{c}lim\\ r\to 0\end{array}|V(r)|\le \frac{M}{r^{\alpha }}$

mit $\alpha <2$

Also: dominiere das Zentrifugalpotenzial gegenüber V für r→ 0,

so gilt:

Es existieren für ein anziehendes Potenzial $V(r)$ ,

also negatives Potenzial  wie im 1dimensionalen Fall grundsätzlich endlich oder unendlich viele gebundene Zustände. Dabei sind es unendlich viele für $\alpha <2$

,

ansonsten nur endlich viele (Potenzialtopf!). Bei Kugelsymmetrie des Potenzialtopfs existiert immer mindestens EIN gebundener Zustand!

Dabei existiert eine Serie $E_{nl}$

n=0,1,2,3,... usw... zu jedem l < n

Jeder Zustand ist dabei bezüglich m (m=-l,...,+l ) 2l+1 fach entartet.

Also: es existieren endlich oder unendlich viele $E_{nl}$

zu jedem $l$

mit jeweils $2l+1$

facher Entartung. Voraussetzung: Am Ursprung muss die Zentrifugalbarriere dominieren!

Zusammenfassung Kugelsymmetrsiche Potenziale:

Jeweils vertauschbar sind:

$L^2$

mit $L_j,H$

und H mit $L^2,L_j$ .

Also existieren gemeinsame Eigenzustände zu $H$ , $L^2,L_3$ .

Es ist möglich, einen Operator, z.B. den Hamiltonian durch diese Größen auszudrücken

ALSO: Schreibe die vertauschenden Operatoren auf!

Wir haben jedoch gesehen, dass

$[{\hat{L}}_j,{\hat{L}}_k]=i\hslash {\epsilon }_{jkl}{\hat{L}}_l$

$\iff \hat{L}\times \hat{L}=i\hslash \hat{L}$

ALSO: Schreibe die Quantisierungsbedingungen (Kommutatoren) auf!

Wir haben als Leiteroperatoren:

$\begin{array}{cc}& {\hat{L}}_{+}:={\hat{L}}_1+i{\hat{L}}_2\\ & {\hat{L}}_{-}:={\hat{L}}_1-i{\hat{L}}_2\\ \end{array}$

nicht hermitesch

mit ${\hat{L}}_{\pm }|l,m⟩\stackrel{~}{}|l,m\pm 1⟩$

nicht hermitesch. Es handelt sich also um Leiteroperatoren für die magnetische Quantenzahl.

$\Rightarrow {\hat{L}}^2|l,m⟩={\hslash }^{2}l(l+1)|l,m⟩$

${\hat{L}}_3|l,m⟩=\hslash m|l,m⟩$

$\begin{array}{cc}& \Rightarrow l=0,\frac{1}{2},1,\mathrm{...}\\ & m=-l,-l+1,\mathrm{....},l\\ \end{array}$

ALSO: Suche einen vollständigen Satz vertauschbarer Operatoren!

Durch die Untersuchung der Wirkung von Produkten von Operatoren kann dann das Eigenwertproblem eingegrenzt oder sogar gelöst werden.

Der Bahndrehimpulsoperator kann zusammengesetzt werden:

$\hat{\overline{L}}=\hat{\overline{r}}\times \hat{\overline{p}}$

Das Spektrum ist einzuschränken:

$\begin{array}{cc}& \Rightarrow l=0,1,\mathrm{2...}\\ & m=-l,-l+1,\mathrm{....},l\\ \end{array}$

Schließlich kann eine Wellenfunktion in der Ortsdarstellung angegeben werden:

$⟨\hat{\overline{r}}|nlm⟩={\Psi }_{nlm}=\Psi (r,\vartheta ,\varphi )=R_{nl}(r){Y_l}^m(\vartheta ,\varphi )$

als Separationsansatz.

Direkt aus der Existenz gemeinsamer Eigenzustände zu $H$ , $L^2,L_3$

kann man den Hamiltonian zusammenstellen:

$\begin{array}{cc}& H\Psi =(\frac{p^2}{2m}+V(r))\Psi =(\frac{(\overline{r}\cdot \overline{p})[(\overline{r}\cdot \overline{p})+\frac{\hslash }{i}]}{2m{r}^2}+\frac{L^2}{2m{r}^2}+V(r))\Psi \\ & =H\Psi =\frac{1}{2m}[-\frac{{\hslash }^2}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}\left(r\Psi \right)]+\frac{L^2}{2m{r}^2}\Psi +V(r)\Psi \\ & -\frac{{\hslash }^2}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}\left(r\Psi \right)={p_r}^2\\ \end{array}$

Dabei:

${p_r}^2\ne \frac{{(\overline{r}\cdot \overline{p})}^2}{r^2}$

(klassisch)

Es ergibt sich die Schrödingergleichung:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{r}^2}\left(rR\right)+(\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2m{r}^2}+V(r)-E)\left(rR\right)=0$

als radiale Schrödingergleichung mit dem Zentrifugalpotenzial $\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2m{r}^2}$

und dem effektiven Potenzial $V_{eff.}(r)=V(r)+\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2m{r}^2}$

Der Separationsansatz liefert den Zustand als Produkt:

$\begin{array}{cc}& ⟨\hat{\overline{r}}|nlm⟩={\Psi }_{nlm}(\overline{r})=\Psi (r,\vartheta ,\varphi )=R_{nl}(r){Y_l}^m(\vartheta ,\varphi )=\frac{u_{nl}(r)}{r}{Y_l}^m(\vartheta ,\varphi )\\ & R_{nl}(r)=\frac{u_{nl}(r)}{r}\\ \end{array}$

Aus der Normierbarkeit

${\int }_{}^{}{d}^{3}r{\left|{\Psi }_{nlm}\right|}^2={\int }_{}^{}d\Omega {|{Y_l}^m(\vartheta ,\varphi )|}^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{r}^2{\left|\frac{u_{nl}(r)}{r}\right|}^2={\int }_{}^{}d\Omega {|{Y_l}^m(\vartheta ,\varphi )|}^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{|u_{nl}(r)|}^2<\mathrm{\infty }$

folgt:

$\begin{array}{cc}& \begin{array}{c}lim\\ r\to \mathrm{\infty }\end{array}|u_{nl}(r)|\le \frac{a}{r^{\epsilon }}\\ & mit\epsilon >\frac{1}{2}\\ \end{array}$

Asymptotisches Verhalten für $r\to \mathrm{\infty }$

$\begin{array}{cc}& -\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{r}^2}u=Eu\\ & \Rightarrow u\stackrel{~}{}{e}^{-kr}\\ & k:=\frac{1}{\hslash }\sqrt{2m(-E)}\\ \end{array}$

Verhalten für $r\to 0$

$[-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{r}^2}+\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2m{r}^2}]u=0$

Ansatz: $u(r)\stackrel{~}{}{r}^s$

$\begin{array}{cc}& -s(s-1)+l(l+1)=0\\ & \Rightarrow s_1=l+1;s_2=-l\\ \end{array}$

Jedoch ist $s_2=-l$ nicht zulässig, da $R(r)\stackrel{~}{}{r}^{-l-1}$ singulär an der Stelle r=0 Es ist notwendig, dass $\begin{array}{c}lim\\ r->0\end{array}u(r)=0$

Nebenbemerkung: Für l=0 ist die radiale Schrödingergleichung

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{r}^2}u+(V(r)-E)u=0$

mit $u(0)=0$ äquivalent zur eindimensionalen Schrödingergleichung mit

$\begin{array}{cc}& V_1(x)=V(x)f\ddot{u}rx>0\\ & V_1(x)=\mathrm{\infty }x\le 0\\ \end{array}$

Vergleiche: Harmonischer Oszi! Symmetrische Fortsetzung des Potenzials $V_s$

Nur die antisymmetrischen Eigenzustände von $V_s$ sind auch Eigenzustände von $V_1$

Fazit: Der Grundzustand von $V_1$ entspricht dem ersten angeregten Zustand von $V_s$ (radialsymmetrisches Potenzial der Schrödingergleichung). Es gilt: Das eindimensionale symmetrische Potenzial besitzt mindestens einen Bindungszustand! Dreidimensionale Potenziale besitzen dagegen nicht immer Bindungszustände.