Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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$i\hslash \dot{\mathrm{\Psi }}(\overline{r},t)=\hat{H}\mathrm{\Psi }$ist ( Schrödinger- Bild) eine Schrödingergleichung mit dem zeitunabhängigen Hamiltonoperator $\hat{H}$

Es ergibt sich ein Anfangs- bzw. Randwertproblem:

Die Anfangsbedingung $\mathrm{\Psi }(\overline{r},0)$ist gegeben.

Aus der Normierbarkeit folgt:

$\begin{array}{rl}& \underset{R^3}{\overset{}{\int }}{|\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)|}^2{d}^{3}r<\mathrm{\infty }\\ & \Rightarrow |\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)|\to 0f\ddot{u}r\left|\overline{r}\right|\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}$

Eine spezielle Lösung findet man über den Separationsansatz:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Psi }(\overline{r},t)=\varphi (\overline{r})+T(t)\\ & i\hslash \varphi \dot{T}=T\hat{H}\varphi \\ & i\hslash \varphi \frac{\dot{T}}{T}=\frac{\hat{H}\varphi }{\varphi }\\ \end{array}$

da in der letzten Zeile rechts nur Abhängigkeit vom Ort und links nur Abhängigkeit von der Zeit vorliegt, kann diese Übereinstimmung nur gelten, wenn beide Seiten für sich konstant sind. Also:

$i\hslash \varphi \frac{\dot{T}}{T}=\frac{\hat{H}\varphi }{\varphi }=E=const.$

Also:

$\begin{array}{rl}& \dot{T}=-\frac{i}{\hslash }ET\\ & \hat{H}\varphi (\overline{r})=E\varphi (\overline{r})\\ \end{array}$

Wir finden eine Lösung für den zeitabhängigen Teil:

$T_E(t)=c{e}^{-\frac{i}{\hslash }Et}$und erhalten gleichzeitig eine zeitunabhängige Schrödingergleichung: $\hat{H}\varphi (\overline{r})=E\varphi (\overline{r})$

Somit haben wir als Eigenwertproblem des Hamilton- Operators:

$\hat{H}\varphi (\overline{r})=E\varphi (\overline{r})$die Energie- Eigenfunktionen ${\varphi }_E(\overline{r})$und die Energie- Eigenwerte E. Dies sind die möglichen Meßwert der Observablen "Energie".

Die Energie- Eigenzustände lauten:

${\mathrm{\Psi }}_E(\overline{r},t)=e^{-\frac{i}{\hslash }Et}{\varphi }_E(\overline{r})$

Diese heißen stationäre Zustände, da die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte

${|{\mathrm{\Psi }}_E(\overline{r},t)|}^2={|{\varphi }_E(\overline{r})|}^2$zeitunabhängig ist.

Also: Die Wahrscheinlichkeit bleibt erhalten !! ( wegen Normierbarkeit !) Nebenbemerkung: Die Wellenfunktion ${\mathrm{\Psi }}_E(\overline{r},t)=e^{-\frac{i}{\hslash }Et}{\varphi }_E(\overline{r})$selbst ist natürlich zeitabhängig, da die Materiewelle mit

$\omega =\frac{E}{\hslash }$oszilliert. Dies gilt auch mit Potenzial ( mit Potenzial nimmt die Ozsillationsfrequenz sogar zu, da die Energie steigt !)

Weiterhin sind jedoch alle Erwartungswerte von Observablen ( nicht die Observablen selbst, sondern ihre Erwartungswerte !) innerhalb von Eigenzuständen ( und nur in diesen) zeitunabhängig:

$⟨F(\hat{\overline{p}},\hat{\overline{r}})⟩=\underset{}{\overset{}{\int }}{\mathrm{\Psi }}_E*(\overline{r},t)F(\hat{\overline{p}},\hat{\overline{r}}){\mathrm{\Psi }}_E(\overline{r},t)d^{3}r=\underset{}{\overset{}{\int }}{\varphi }_E(\overline{r})*F(\hat{\overline{p}},\hat{\overline{r}}){\varphi }_E(\overline{r})=\underset{}{\overset{}{\int }}{\varphi }_E(\overline{r})*F(\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla },\hat{\overline{r}}){\varphi }_E(\overline{r})$

Insbesondere gilt:

$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dt}⟨\hat{\overline{p}}⟩=0\\ & \frac{d}{dt}⟨\hat{\overline{r}}⟩=0\\ \end{array}$

Ehrenfest- Theorem

Nach dem Ehrenfestschen Theorem ( Siehe III: Statistische Physik) gilt mit

$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dt}⟨\hat{\overline{p}}⟩=0\\ & \frac{d}{dt}⟨\hat{\overline{r}}⟩=0\\ \end{array}$

auch

$\begin{array}{rl}& ⟨\hat{\overline{p}}⟩=m\frac{d}{dt}⟨\hat{\overline{r}}⟩=0\\ & ⟨\mathrm{\nabla }V⟩=-\frac{d}{dt}⟨\hat{\overline{p}}⟩=0\\ \end{array}$

Bemerkungen 1. Die Energie- Eigenwerte E des Hamilton- Operators $\hat{H}=\frac{1}{2m}{(\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }-e\overline{A}(\hat{\overline{r}},t))}^2+V$ sind reell. Beweis: Nach § 1.4 gilt:

$\{\mathrm{\Psi }*\hat{H}\mathrm{\Psi }-\left(\hat{H}\mathrm{\Psi }\right)*\mathrm{\Psi }\}=-i\hslash \mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}$

$\underset{R^3}{\overset{}{\int }}\{\mathrm{\Psi }*\hat{H}\mathrm{\Psi }-\left(\hat{H}\mathrm{\Psi }\right)*\mathrm{\Psi }\}{d}^{3}r=-i\hslash \underset{R^3}{\overset{}{\int }}\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}{d}^{3}r=-i\hslash \underset{\partial R^3}{\overset{}{\int }}\overline{j}\cdot d\overline{f}$

Der Rand des R³ liegt jedoch im Unendlichen. Aus Gründen der Normierbarkeit muss der Strom dort jedoch verschwinden. Also gilt:

$\underset{R^3}{\overset{}{\int }}\{\mathrm{\Psi }*\hat{H}\mathrm{\Psi }-\left(\hat{H}\mathrm{\Psi }\right)*\mathrm{\Psi }\}{d}^{3}r=-i\hslash \underset{R^3}{\overset{}{\int }}\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}{d}^{3}r=-i\hslash \underset{\partial R^3}{\overset{}{\int }}\overline{j}\cdot d\overline{f}=0$

Andererseits aber gilt:

$\underset{R^3}{\overset{}{\int }}\mathrm{\Psi }*\hat{H}\mathrm{\Psi }{d}^{3}r=E$

$\underset{R^3}{\overset{}{\int }}\left(\hat{H}\mathrm{\Psi }\right)*\mathrm{\Psi }{d}^{3}r=\underset{R^3}{\overset{}{\int }}\left(E\mathrm{\Psi }\right)*\mathrm{\Psi }{d}^{3}r=E*$

Also folgt:

$E=E*$

Für ein komplexes E mit

$E=E_1+i{E}_2$ wäre ${\left|{\mathrm{\Psi }}_E\right|}^2\stackrel{´}{}=e^{2\frac{E_2}{\hslash }t}{\left|{\varphi }_E\right|}^2$und würden für E2 <0 zerfallen ( und für E2 > 0 explodieren !)

Somit folgt bereits aus der Kontinuitätsgleichung, dass alle Energieeigenwerte reell sind !! 2. Die Energie- Eigenzustände sind scharf in der Energie, jedoch beliebig unscharf in der Zeit:

$⟨\hat{H}⟩=E$Erwartungswert= Eigenwert

Unschärfe: $\mathrm{\Delta }H:=\sqrt{⟨{(\hat{H}-⟨\hat{H}⟩)}^2⟩}=\sqrt{⟨⟨{\left(\hat{H}\right)}^2⟩-{⟨\hat{H}⟩}^2⟩}=\sqrt{E^2-E^2}=0$ E und t sind wie $\hat{\overline{p}},\hat{\overline{q}}$zueinander konjugierte Variablen, jedoch keine Operatoren ! Dies ist analog zur Situation, dass der Impuls in Impuls- Eigenzuständen beliebig scharf ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann ortsunabhängig ( also beliebig unscharf im Ort, also: gleichverteilt !, konstant !):

$⟨\hat{\overline{p}}⟩=\underset{R^3}{\overset{}{\int }}\mathrm{\Psi }*\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }{d}^{3}r=\hslash \overline{k}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}\mathrm{\Psi }*\mathrm{\Psi }{d}^{3}r=\hslash \overline{k}$ scharf

${|\varphi (\overline{r})|}^2=1$unabhängig von r

Dies läuft analog zur klassischen Mechanik. Dort bedingt die Zeittranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion eine Erhaltung der Energie ( E Erhaltungsgröße) und die Ortstranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion bedingt eine Impulserhaltung. Die Bedingung der Normierbarkeit schränkt die zulässigen Werte der Energie deutlich ein. Randbedingungen  Eigenwertproblem !

Allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung

Ein jeder Zustand kann nach stationären Zuständen ${\varphi }_n(\overline{r})$entwickelt werden:

$\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)=\sum _n^{}{c}_n{e}^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{n}t}{\varphi }_n(\overline{r})$

Für verschiedene En ist dies jedoch kein stationärer Zustand mehr: Also ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeitabhängig: zeitabhängig !!

$\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)$ist kein Energie- Eigenzustand !

Die Entwicklungskoeffizienten $c_n$lassen sich durch die Anfangsbedingungen bestimmen:

$\mathrm{\Psi }(\overline{r},0)=\sum _n^{}{c}_n{\varphi }_n(\overline{r})\begin{array}{c}!\\ =\\ \\ \end{array}{\mathrm{\Psi }}_0(\overline{r})$

Falls $\{{\varphi }_n(\overline{r})\}$ein vollständiges Orthonormalsystem darstellt, kann jede stückweise steige Funktion nach den stationären Zuständen${\varphi }_n(\overline{r})$entwickelt werden: Orthonormierung: $\begin{array}{rl}& \underset{R^3}{\overset{}{\int }}{\varphi }_m*(\overline{r}){\varphi }_n(\overline{r})d^{3}r={\delta }_{nm}\Rightarrow \sum _n{c}_n\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{\varphi }_m*(\overline{r}){\varphi }_n(\overline{r})d^{3}r=\sum _n{c}_n{\delta }_{nm}=c_m\\ & \sum _n{c}_n\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{\varphi }_m*(\overline{r}){\varphi }_n(\overline{r})d^{3}r=\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{\mathrm{\Psi }}_0(\overline{r}){\varphi }_m*(\overline{r})d^{3}r=c_m\\ \end{array}$ Man sagt: Durch die Anfangsbedingung können die Entwicklungskoeffizienten "herausprojiziert" werden. P.S:: Dies ist im Dirac- Formalismus wesentlich einfacher !!