D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit
65px|Kein GFDL | Der Artikel D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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Gegeben sei ein System von N Massepunkten mit beliebigen ( holonomen oder nicht holonomen) Zwangsbed.
Schreiben wir die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskräften Zi als:
;Dabei versteht man |
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Allgemein kann man fordern:
für alle betrachteten Zwangskräfte.
Das bedeutet: Gleitreibungskräfte längs einer Fläche sind als Zwangskräfte ausgeschlossen.
Somit folgt als d'Alembertsches Prinzip:
Das d´Alembertsche Prinzip gilt gleichermaßen für holonome und anholonome Zwangsbedingungen
Beispiel für ein Variationsprinzip:
Differentialprinzip: ( für infinitesimal kleine Variationen):
Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn .
Variationsprinzip mit Nebenbedingungen
Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um:
Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir:
Nebenbedingung:
Nü charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung
Dies ist lösbar mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren.
Denn: Wenn die Vektorkomponenten frei variierbar wären, also beliebig, so müsste gelten:
Also wäre es sinnvoll, das lineare Gleichungssystem so umzuschreiben, dass ein Satz von Faktoren frei variierbar ist:
Zuerst addieren wir die Nebenbedingungen mit noch beliebigen Lagrangemultiplikatoren
Wir erhalten:
aus den Nebenbedingungen zu eliminieren.
Die verbleibenden sind nun frei variierbar.
Nun kann das Summenzeichen weggelassen werden, da die verbleibenden Vektorkomponenten frei variiert werden können und dementsprechend jeder Summand für sich Null sein muss:
Es lassen sich derart bestimmen, dass
Das heißt, wir suchen die
aus diesem gegebenen linearen Gleichungssystem für die
als Funktion der
. Im stationären Fall ist dies direkt auflösbar.
Da hier jedoch die
frei variierbar sind, gilt:
Die Lagrange- Gleichung der 1. Art
kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf.
Beispiel Atwoodsche Fallmaschine
Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft , die an m2 angreift, nämlich -m2g.
Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip:
so folgt:
Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach:
Also folgt:
Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist: