Rotierendes Pendel

From testwiki
Revision as of 01:25, 15 April 2010 by Schubotz (talk | contribs)
Jump to navigation Jump to search

2 Rotierendes Pendel (12) a Lagrangefunktion L=TUmit T=12mx2und U=mgxyda das Koordinatensystem gedreht ist. x=(acos(ωt)+Lsin(φ)asin(ωt)+Lcos(φ))somit folgt x˙=(aωsin(ωt)+Lφ˙cos(φ)(1)(aωcos(ωt)+Lφ˙sin(φ)))dann ist x˙2=a2ω2sin2(ωt)+L2φ˙2cos2(φ)aLωφ˙cos(φ)sin(ωt)+a2ω2cos2(ωt)+L2φ˙2sin2(φ)+aLωφ˙sin(φ)cos(ωt)=a2ω2+L2φ˙2+aLωφ˙(sin(φ)cos(ωt)cos(φ)sin(ωt))=a2ω2+L2φ˙2+aLωφ˙sin(φωt)

L=m2(a2ω2+L2φ˙2+aLωφ˙sin(φωt))+mg(asin(ωt)+Lcos(φ)) b Daraus erhält man die Bewegungsgleichungen in dem man die Euler - Lagrangegleichung anwendet: ddtLq=Lqalso ddtLφ=mL2φ¨+m2aLω(φ˙ω)cos(φωt) Lφ=m2aLωφ˙cos(φωt)mgLsin(φ) m2aLωφ˙cos(φωt)mgLsin(φ)mL2φ¨+m2aLω(φ˙ω)cos(φωt)=0 φ¨mL2φ˙maLωcos(φωt)+mgLsin(φ)m2aLω2cos(φωt)=0 c Für kleine Auslenkungen gilt: sin(φ)φ,cos(φωt)cos(ωt)=cos(ωt) φ¨mL2φ˙maLωcos(ωt)+mL(φgaω2Lcos(ωt)2)=0 Mit ω2agfolgt: φ¨mL2φ˙maLωcos(ωt)+mLφg=0φ¨Lφ˙aωcos(ωt)+φg=0 Die (homogene) Lösung ist nun: φ¨φ˙aLωcos(ωt)+gφ=0 nach komplexem Ansatz φ(t)=ceλtφ˙=cλeλtφ¨=cλ2eλt Erhält man: λ2Ωλ+g=0λ1,2=Ω2±Ω24gmit Ω=aLωcos(ωt) Also ist die allgemeine Lösung φ(t)=c1eλ1t+c2eλ2t=ce(λ1+λ2)tmit c1=c2*=:c Der Realteil ist also φ(t)=acos(Ω2+iΩ24g)+bsin(Ω2iΩ24g) nun ist aber ω2agΩ2g also ist φ(t)=acos(a2Lωcos(ωt)+g)+bsin(a2Lωcos(ωt)g) a,bsind aus den Anfangsbedingungen zu wählen. Das Pendel zeigt also immer Richtung Boden d Mit ω2agfolgt: φ¨φ˙ma2ωLcos(φωt)aω22Lcos(φωt)=0 Zu schwer…

Kategorie:Mechanik, Aufgabe