Effektives Potential

Es bietet sich an die Orientierung so zu wählen, dass die z Achse auf der vom Relativabstandsvektor und Relativimpuls aufgespannten Ebene senkrecht steht.

$L=L_z{e}_z=r\times p,e_z\mathrm{\perp }A(r,\dot{r})$ (5.1) Daraus folgt aber, aufgrund der Definition der Kugelkoordinaten, dass $\vartheta =\pi /2$ist daraus folgt, dass $\sin \vartheta =1$uns $\dot{\vartheta }=0$somit vereinfacht sich die Relativgeschwindigkeit zu.

${\dot{\mathbf{r}}}^2={\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2$ (5.2) Die Drehimpulserhaltung ermöglicht es $\dot{\phi }$nach dem Drehimpuls umzuformen und so zu eliminieren:

$\dot{\phi }=\frac{L_z}{\mu r^2}$ (5.3) Würde man dies in die Beziehung für die relative kinetische Energie einsetzen so erhielte man einen Term der nicht von $\dot{q}$ sondern von $q$abhängt, was der Lagrang’schen Definition der kinetischen Energie widerspräche.

$T_R=\frac{1}{2}\mu {\dot{r}}^2+\underset{\dot{q}?}{\underbrace{\frac{L_z^2}{2\mu r^2}}}$ (5.4) Also muss dieser Term zur Potentiellen Energie hinzugefügt werden. Diese heißt nun das effektive Potential (U). Es darf allerdings kein Minuszeichen vor den neuen Term kommen da die Energieerhaltung E=T+U in jedem Fall gewahr werden muss.

$V_{eff}\equiv U=\frac{L_z^2}{2\mu r^2}-\frac{\alpha }{r}$ (5.5) Die Lagrangegleichung hat nun die korrekte Form und lautet.

$L(\dot{q},q,t)=T(\dot{q},t)+U(q,t)=\underset{T_S}{\underbrace{\frac{1}{2}M{\dot{\mathbf{R}}}^2}}+\underset{{{T^{\prime }}^{\prime }}_R}{\underbrace{\frac{1}{2}\mu {\dot{r}}^2}}-\underset{U}{\underbrace{\frac{L_z^2}{2\mu r^2}+\frac{\alpha }{r}}}$ (5.6)

Bahnkurve

Wir wechseln wählen jetzt ein Inertialsystem des Schwerpunkts. Nach dem ersten Newtonschen Gesetz ist dies immer Möglich. Da der Schwerpunkt nun aber ruht oder sich gleichmäßig gleichförmig Bewegt verschwinden alle Komponenten von $\ddot{\mathbf{R}}$. Somit lautet die Lagrangefunktion

$L(\dot{q},q,t)=\frac{1}{2}\mu {\dot{r}}^2-\frac{L_z^2}{2\mu r^2}+\frac{\alpha }{r}$ (6.1) Stellt man die Energieerhaltung nach

$T=E-U$ (6.2) um und setzt dann T ein so erhält man:

$\begin{array}{ll}& \Rightarrow \frac{1}{2}\mu {\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2=E-U\\ & \iff {\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2=\frac{2}{\mu }(E-U)\\ & \iff dt=\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu }(E-U)}}\\ \end{array}$

Die Methode die das Umformen physikalischer Differentialformeln auf diese Art und Weise rechtfertigt heißt: „Methode der Trennung der Variablen.“ Setzt man nun dieses Zeitdifferential in die Beziehung zwischen Drehimpuls und $\phi$(5.3)Koordinate ein so erhält man.

$d\phi =\frac{L^2}{\mu r^2}\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu }(E-U)}}=\frac{L^2}{r^2}\frac{dr}{\sqrt{2\mu (E-U)}}=\frac{L^2}{r^2}\frac{dr}{\sqrt{2\mu E-\frac{L_z^2}{r^2}+\frac{2\mu \alpha }{r}}}$ (6.3) Die Stammfunktion lautet bekannter maßen :

$\phi =\arccos \left(\frac{\frac{L_z}{r}-\frac{\mu \alpha }{L_Z}}{\sqrt{2\mu E+\frac{{\mu }^2{\alpha }^2}{L_z^2}}}\right)$ (6.4) Wir führen noch die Abkürzungen ein:

$p:=\frac{L_z^2}{\mu \alpha }\epsilon :=\sqrt{1+\frac{2E{L}_z^2}{\mu {\alpha }^2}}$ (6.5) Damit können wir die vorherige Beziehung für $\phi$umschreiben als:

$\frac{p}{r}=1+\epsilon \cos \phi$ (6.6) Es sollte keine zu großen Schwierigkeiten bereiten zu erkennen, dass es sich hierbei um die Gleichung für Kegelschnitte handelt:

$\epsilon <0$ Ellipse $\epsilon =0$ Parabel $\epsilon >0$ Hyperbel