Affinier Raum

Ein affiner Raum über einem vorgegebenen Körper $K:=(K_M,+,\cdot )$ ist ein Tripel, [A.1] $(X,T,\tau )$

wobei X sei eine Menge (die Menge der Raumpunkte) $T:=(T_M,+:T_M\times T_M\to T_M,\cdot :K_M\times T_M\to T_M)$sei ein K-Vektorraum

$\begin{array}{ll}& \tau :T_M\times X\to X\\ & (t,x)\to t+x\\ \end{array}$ eine einfach transitive Operation von der Gruppe $(T_M,+)$des Vektorraums T auf der Menge X

Beispiel:

$\begin{array}{c}K:=(K_M,+,\cdot )\\ X:={\text{ K}}_{\text{M}}^{\text{n}}\\ T:=(K_M^n,+,\cdot )\\ \tau :K_M^n\times K_M^n\to K_M^n\\ (t,x)\to t+x\text{ hier sei }+=+\\ (\left(\begin{array}{ll}& t_1\\ & ⋮\\ & t_n\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}& x_1\\ & ⋮\\ & x_n\\ \end{array}\right))\to \left(\begin{array}{ll}& t_1+x_1\\ & ⋮\\ & t_n+x_n\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$

1.1.3 Abkürzende Schreibweise In jedem affinen Raum $(X,T,\tau )$ existiert zu allen $x,y\in X$ein eindeutig bestimmtes $\overrightarrow{xy}\in T_M$für das gilt $\overrightarrow{xy}+x=y$. Beweis: $\tau$ist einfach transitiv. Diese Schreibweise gelte ab jetzt für alle Ausdrücke für x und y. Außerdem ist $\overrightarrow{xy}=-\overrightarrow{yx}$ wobei – in der Gruppe$(T_m,+)$ des Vektorraums T wie folgt definiert ist:

$\begin{array}{ll}& -:T_m\times T_m\to T_m\\ & (t,{t^{\prime }}^{\prime })\to t+(-{t^{\prime }}^{\prime })\\ \end{array}$

Dabei ist $(-t)+t=0\in T_M\mathrm{\forall }t\in T_M$ Beweis:

$\begin{array}{ll}& \overrightarrow{xy}+x=y\wedge \overrightarrow{yx}+y=x\\ & \iff \overrightarrow{xy}+(\overrightarrow{yx}+y)=y\\ & \stackrel{\left[\text{O}\text{.1}\right]}{\overbrace{\iff }}(\overrightarrow{xy}+\overrightarrow{yx})+y=y\\ & \stackrel{\left[\text{O}\text{.2}\right]}{\overbrace{\iff }}\overrightarrow{xy}+\overrightarrow{yx}=0\in T_M\\ \end{array}$

Dimension

[A.2] $\{\begin{array}{c}-1\text{ falls X=}\varnothing \\ Di{m}_{k}T\text{ sonst}\text{.}\\ \end{array}$

Die Dimension des affinen Raums ist gleich der des enthaltenden Vektorraums T. Falls die Menge leer ist, ist die Dimension -1.