Hamiltonsches Prinzip

auch Prinzip der kleinsten Wirkung genannt

• Variation der ganzen Bahn im Konfigurationsraum <> Gegensatz d'Ambertsches Prinzip
• Wirkung (S) wird extrenmal (minimal) $\delta S=0$
• Start und Zielpunkt $(q,t)$ sind fest vorgegeben (hier keine Variation)
• Zeit wird nicht mitvarieiert $\delta t=0$
• Vergleich ART Teilchen Bewegt sich auf Geodäten <> aber nicht im Ereignisraum
• ${\underline {q}}\left(t\right),{\underline {q'}}\left(t\right)\in {{C}^{2}}$ (2 fach stetig diffb. Funktionen)
• unabhängig von Koordinatenwahl
• Allgemein

$\delta S=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{\left(\delta T-\delta A\right)dt}=0$ mit $\delta A=\sum \limits _{i}{{{\underline {X}}_{i}}\delta {\underline {{r}_{i}}}}$

spezielle Form

• holonome Zwangsbedingungen --> generalisierte Koordinaten
• konservative Kräfte --> $L=T-V$

führt zur Wirkung $S\left[q\right]:=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{L\left(q,{\dot {q}},t\right)dt}$

Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen

${\begin{aligned}\delta S\left[q\right]&=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{\delta L\left(q,{\dot {q}},t\right)dt}\\&=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{\left({{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{\dot {q}}}L\delta {\dot {q}}\right)dt}\end{aligned}}$ oder ${\begin{aligned}\delta S\left[q\right]&=S\left[{{q}_{0}}\right]-\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{L\left(q+\delta q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t\right)dt}\\&=S\left[{{q}_{0}}\right]-\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{\left(\underbrace {L} _{=S\left[{{q}_{0}}\right]}+{{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{\dot {q}}}L\delta {\dot {q}}\right)dt}\\&=-\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{\left({{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{\dot {q}}}L\delta {\dot {q}}\right)dt}\end{aligned}}$

mit partieller Integration ($\int {u'v=uv-\int {v'u}}$) mit

$u=\delta q,v={{\partial }_{\dot {q}}}L$

${{\partial }_{\dot {q}}}L\delta {\dot {q}}={{d}_{t}}\left({{\partial }_{\dot {q}}}L\delta q\right)-{{d}_{t}}\left({{\partial }_{\dot {q}}}L\right)\delta q$

${\begin{aligned}\delta S\left[q\right]&=-{\cancel {\left[{{\partial }_{\dot {q}}}L\delta q\right]_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}}}-\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{\left({{\partial }_{q}}L\delta q-{{d}_{t}}\left({{\partial }_{\dot {q}}}L\right)\delta q\right)dt}\\&=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{\left({{d}_{t}}{{\partial }_{\dot {q}}}-{{\partial }_{q}}\right)L\delta qdt}\end{aligned}}$

$\left({{d}_{t}}{{\partial }_{\dot {q}}}-{{\partial }_{q}}\right)L=0$