Hamiltonsches Prinzip: Difference between revisions
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* unabhängig von Koordinatenwahl | * unabhängig von Koordinatenwahl | ||
* Allgemein | * Allgemein | ||
<math>\delta S=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( \delta T-\delta A \right)dt}=0</math> | <math>\delta S=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( \delta T-\delta A \right)dt}=0</math> mit <math>\delta A=\sum\limits_{i}{{{\underline{X}}_{i}}\delta \underline{{{r}_{i}}}}</math> | ||
<math>\delta A=\sum\limits_{i}{{{\underline{X}}_{i}}\delta \underline{{{r}_{i}}}}</math> | |||
== spezielle Form== | == spezielle Form== | ||
* holonome [[Zwangsbedingungen]] --> generalisierte Koordinaten | * holonome [[Zwangsbedingungen]] --> generalisierte Koordinaten | ||
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\delta S\left[ q \right] & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\delta L\left( q,\dot{q},t \right)dt} \\ | \delta S\left[ q \right] & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\delta L\left( q,\dot{q},t \right)dt} \\ | ||
& =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q} \right)dt} | & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q} \right)dt} | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> oder <math>\begin{align} | ||
oder | |||
<math>\begin{align} | |||
\delta S\left[ q \right] & =S\left[ {{q}_{0}} \right]-\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{L\left( q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t \right)dt} \\ | \delta S\left[ q \right] & =S\left[ {{q}_{0}} \right]-\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{L\left( q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t \right)dt} \\ | ||
& =S\left[ {{q}_{0}} \right]-\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( \underbrace{L}_{=S\left[ {{q}_{0}} \right]}+{{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q} \right)dt} \\ | & =S\left[ {{q}_{0}} \right]-\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( \underbrace{L}_{=S\left[ {{q}_{0}} \right]}+{{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q} \right)dt} \\ | ||
Revision as of 17:06, 12 September 2010
auch Prinzip der kleinsten Wirkung genannt
- Variation der ganzen Bahn im Konfigurationsraum <> Gegensatz d'Ambertsches Prinzip
- Wirkung (S) wird extrenmal (minimal)
- Start und Zielpunkt sind fest vorgegeben (hier keine Variation)
- Zeit wird nicht mitvarieiert
- Vergleich ART Teilchen Bewegt sich auf Geodäten <> aber nicht im Ereignisraum
- (2 fach stetig diffb. Funktionen)
- unabhängig von Koordinatenwahl
- Allgemein
mit
spezielle Form
- holonome Zwangsbedingungen --> generalisierte Koordinaten
- konservative Kräfte -->
führt zur Wirkung
![{\displaystyle S\left[q\right]:=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{L\left(q,{\dot {q}},t\right)dt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d865adce5e3f364c1ad12e060497fca36db05743)
Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen
oder
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta S\left[q\right]&=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{\delta L\left(q,{\dot {q}},t\right)dt}\\&=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{\left({{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{\dot {q}}}L\delta {\dot {q}}\right)dt}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f88604fff7467be071d79286faaa701a7de874f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta S\left[q\right]&=S\left[{{q}_{0}}\right]-\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{L\left(q+\delta q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t\right)dt}\\&=S\left[{{q}_{0}}\right]-\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{\left(\underbrace {L} _{=S\left[{{q}_{0}}\right]}+{{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{\dot {q}}}L\delta {\dot {q}}\right)dt}\\&=-\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{\left({{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{\dot {q}}}L\delta {\dot {q}}\right)dt}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33669a26cc4c75a555ceffd63580d80a63748ebf)
mit partieller Integration () mit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta S\left[q\right]&=-{\cancel {\left[{{\partial }_{\dot {q}}}L\delta q\right]_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}}}-\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{\left({{\partial }_{q}}L\delta q-{{d}_{t}}\left({{\partial }_{\dot {q}}}L\right)\delta q\right)dt}\\&=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{\left({{d}_{t}}{{\partial }_{\dot {q}}}-{{\partial }_{q}}\right)L\delta qdt}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8337f8b9ccf0e2916502364d9232deceab55d104)
