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| <references /> | | <references /> |
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| ==Prüfungsfragen== | | ==Prüfungsfragen== |
| *ß Übergänge: Prinzipielle Reaktionsgleichung + Bethe-Weizsäcker | | *ß Übergänge: Prinzipielle Reaktionsgleichung + Bethe-Weizsäcker |
Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann
65px|Kein GFDL
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Der Artikel Beta-Zerfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 12.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.
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|Kategorie:Kern- und StrahlungsphysikKapitel::12Abschnitt::!0Urheber::Prof. Dr. P. Zimmermann
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Kategorie:Kern- und Strahlungsphysik
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wobei
-Zerfall und
-Einfang sind konkurrierende Vorgänge
reduziert formuliert als
![{\displaystyle {\begin{aligned}&n&\to &p+{{e}^{-}}+{\bar {\nu }}&{{\beta }^{-}}-{\text{Zerfall}}\\&p&\to &n+{{e}^{+}}+\nu &{{\beta }^{+}}-{\text{Zerfall}}\\&{{e}^{-}}+p&\to &n+{{e}^{-}}+\nu &{{e}^{-}}-{\text{Einfang}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e958c715d5bc7158b3015123c8ba7c1a336f947)
Beta-Zerfall energetisch möglich --> siehe Isobarenregel{{#set:Fachbegriff=Isobarenregel|Index=Isobarenregel}} als Folgerung aus der Weizsäckerschen Massenformel
miniatur|hochkant=3|zentriert|Schema beta Strahlung
Beim ß-Zerfall ist neben der Halbwertzeit{{#set:Fachbegriff=Halbwertzeit|Index=Halbwertzeit}}
das Energie bzw. Impulsspektrum der Elektronen{{#set:Fachbegriff=Impulsspektrum der Elektronen|Index=Impulsspektrum der Elektronen}} (Positronen) meßbar. Ein theoretischer
Ansatz muß die Form des Impulsspektrums
, d. h. die Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons (Positrons)
mit dem Impuls
wiedergeben. Die Intergration über alle
ergibt
die Gesamtübergangswahrscheinlichkeit{{#set:Fachbegriff=Gesamtübergangswahrscheinlichkeit|Index=Gesamtübergangswahrscheinlichkeit}}
und damit
die Halbwertzeit
.
Fermi-Ansatz [1] in Analogie zu elektromagnetischen
Übergängen. Störungstheorie (Fermis Goldene Regel)
mit
- Wechselwirkungsoperatord(
: ![{\displaystyle <{{\mathcal {H}}_{if}}>=\int {{\psi }_{f}}{\mathcal {H}}{{\psi }_{i}}d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3666cb79d39dd2de419f289e647c90f5b61b72)
- Dichte der Endzustände dN/dE0
miniatur|Fermi-Ansatz
Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)
mit
-Leptonen- Wellenfunktion
-Nukleonen Wellenfunktion
- (Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen)
Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene Wellen
Bei der Integration kann man zunächst alle Anteile mit
vernachlässigen, da für
und für alle
gilt:
![{\displaystyle \hbar /p={\bar {\lambda }}K\approx 200\times 10^{-15}m/E[MeV]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e28c33f0740f2f74f49ad808bb498d2abba00f)
und damit
. Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen
also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist
gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der Leptonenemission{{#set:Fachbegriff=Leptonenemission|Index=Leptonenemission}} kein
{{FB|Bahndrehimpuls} weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge.
).
miniatur|"klassische" Deutung
Bei
ist nur n = 0 maßgebend
Den Wechselwirkungsoperator ersetzt man durch die Kopplungskonstante g, so daß
insgesamt unabhängig von pe wird und die Abhängigkeit
des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor
(der Dichte der Endzustände) steckt.
Allgemein bei freien Teilchen
, somit bei gleichzeitiger
Emission beider Leptonen
mit
(Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das
Impulsspektrum
:
wegen
und
miniatur|zentriert|hochkant=4
Durch Extrapolation bei der Fermi-Darstellung{{#set:Fachbegriff=Fermi-Darstellung|Index=Fermi-Darstellung}} Bestimmung von
.
Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse,
deren Existenz einen großen Einfluß auf Struktur und Entwicklung
des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung E0 möglichst
klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall
mit
[
zur Zeit
].
Integration über Impulsspektrum:
mit f ( Z, E0) über Coulomb-Korrekturfaktor
Die f-Werte sind tabelliert [2]. Sie enthalten die gesamte Energieabhängigkeit.
Grobe Abschätzung:
- nichtrelat. Bereich
- (Eo « 1 MeV) :
![{\displaystyle E_{e}~p_{e}^{2}\to }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac2374500cc4fca32e550cce7b7439e81d07e95)
- relat. Bereich (EO > 1 MeV)
![{\displaystyle E_{e}~p_{e}^{2}\to }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac2374500cc4fca32e550cce7b7439e81d07e95)
Bei genauerer Betrachtung muß man berücksichtigen, daß die Spins
der beiden Leptonen parallel (Gamow-Teller-Übergänge{{#set:Fachbegriff=Gamow-Teller-Übergänge|Index=Gamow-Teller-Übergänge}}) oder antiparallel
(Fermi-Übergänge{{#set:Fachbegriff=Fermi-Übergänge|Index=Fermi-Übergänge}}) stehen können. Für erlaubte Übergänge
(
) gelten somit die Auswahlregeln:
- Fermi-Ü
![{\displaystyle {{I}_{i}}={{I}_{f}}\to \Delta I=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae6cd8c295db50d2fa30e5346b6c89d5a7d9880)
- Gamow-Teller-Ü
![{\displaystyle {{I}_{i}}={{I}_{f}}+1\to \Delta I=0,\pm 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58e7a68c56307081602d2067574cc87f06f2f497)
anschaulich:
Verbotene Übergänge:
Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere ft1/ 2-Werte
Beiträge für diese Übergänge aus:
a) Reihenentwicklung der Leptonenwellenfunktionen
b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit vN/c-Beiträge
Beispiele für erlaubte und verbotene Übergänge:
miniatur|hochkant=4|zentriert
Einzelnachweise
- ↑ Z. Physik 88, 161 (1934)
- ↑ Feenburg, Trigg, Rev. Mod.
Phys. 22, 399
Weitere Informationen
(gehört nicht zum Skript)
Prüfungsfragen
- ß Übergänge: Prinzipielle Reaktionsgleichung + Bethe-Weizsäcker
- Neutrinos: Was ist das wozu braucht man die (beim ß Zerfall)
- Besonderheit beim ß Zerfall? (siehe Kapitel Paritätsverletzung)
- Übergangsraten aus Fermis goldener Regel ("grobe" Herleitung)