Beta-Zerfall

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

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Der Artikel Beta-Zerfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 12.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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$\begin{array}{rlrlr}& (A,Z)& \to & (A,Z+1)+e^{-}+\overline{\nu }& {\beta }^{-}-\text{Zerfall}\\ & (A,Z)& \to & (A,Z-1)+e^{+}+\nu & {\beta }^{+}-\text{Zerfall}\\ & e^{-}+(A,Z)& \to & (A,Z-1)+e^{-}+\nu & e^{-}-\text{Einfang}\\ \end{array}$

${\beta }^{+}$-Zerfall und $e^{-}$-Einfang sind konkurrierende Vorgänge

reduziert formuliert als

$\begin{array}{rlrlr}& n& \to & p+e^{-}+\overline{\nu }& {\beta }^{-}-\text{Zerfall}\\ & p& \to & n+e^{+}+\nu & {\beta }^{+}-\text{Zerfall}\\ & e^{-}+p& \to & n+e^{-}+\nu & e^{-}-\text{Einfang}\\ \end{array}$

Beta-Zerfall energetisch möglich --> siehe Isobarenregel als Folgerung aus der Weizsäckerschen Massenformel S. 8

miniatur|hochkant=2|zentriert

Beim ß-Zerfall ist neben der Halbwertzeit $t_{1/2}=\frac{0,69}{\lambda }$ das Energie bzw. Impulsspektrum der Elektronen (Positronen) meßbar. Ein theoretischer Ansatz muß die Form des Impulsspektrums $\lambda (p_e)$, d. h. die Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons (Positrons) mit dem Impuls $p_e$ wiedergeben. Die Intergration über alle $\lambda (p_e)$ ergibt die Gesamtübergangswahrscheinlichkeit $\lambda =\int \lambda (p_e)d{p}_e$ und damit die Halbwertzeit $t_{1/2}$.

Fermi-Ansatz [Z. Physik 88, 161 (1934)] in Analogie zu elektromagnetischen Übergängen. Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)

miniatur|Fermi-Ansatz $\lambda =\frac{2\pi }{h}{\left|{\mathcal{\mathscr{H}}}_{if}\right|}^2\frac{dN}{d{E}_0}$ Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)

Wechselwirkungsoperatord($\mathcal{\mathscr{H}}$: $<{\mathcal{\mathscr{H}}}_{if}>=\int {\psi }_f\mathcal{\mathscr{H}}{\psi }_{i}d\tau$

Dichte der Endzustände dN/dEo

$<{\mathcal{\mathscr{H}}}_{if}>=\int {\mathrm{\Phi }}_{\nu }^{*}\left(P_{\nu }\right){\mathrm{\Phi }}_e^{*}\left(P_e\right){\mathrm{\Phi }}_f^{}(A,Z+1)\mathcal{\mathscr{H}}{\mathrm{\Phi }}_i^{}(A,Z)d\tau$

${\mathrm{\Phi }}_{\nu }^{*}\left(P_{\nu }\right){\mathrm{\Phi }}_e^{*}\left(P_e\right)$-Leptonen- Wellenfunktion

${\mathrm{\Phi }}_f^{}(A,Z+1){\mathrm{\Phi }}_i^{}(A,Z)$-Nukleonen Wellenfunktion

(Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen)

Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene Wellen $\mathrm{\Phi }\left(\overrightarrow{p}\right)\stackrel{~}{}{e}^{i\left(\overrightarrow{p}\overrightarrow{r}\right)/\hslash }=1+i\left(\overrightarrow{p}\overrightarrow{r}\right)/\hslash -\frac{1}{2}{(\left(\overrightarrow{p}\overrightarrow{r}\right)/\hslash )}^2+\dots$

Bei der Integration

kann man zunächst alle Anteile mit $\left(\overrightarrow{p}\overrightarrow{r}\right)/\hslash$

vernachlässigen,

da für $E_e\succsim 1MeV$

und für alle $E_{\nu }$ gilt: $\hslash /p=\overline{\lambda }K\approx 200\times 10^{-15}m/E[MeV]$

und damit $pR/\hslash \approx 10^{-2}$. Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der Leptonenemission kein Bahndrehimpuls weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge. $\mathrm{\Delta }l=0$).

Den Wechselwirkungs operator ersetzt man durch die Kopplungskonstante miniatur|"klassische" Deutung Failed to parse (syntax error): {\displaystyle L = p R \overset{\text{QM}}{\mathop{=}}\,n\bar} Bei $pR/\hslash \ll 1$ ist nur n = 0 maßgebend

Den Wechselwirkungsoperator ersetzt man durch die Kopplungskonstante g, so daß $⟨{\mathcal{\mathscr{H}}}_{if}⟩$ insgesamt unabhängig von p_e wird und die Abhängigkeit des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor $dN/d{E}_0$ (der Dichte der Endzustände) steckt.

Allgemein bei freien Teilchen $dN{p}^{2}dp$, somit bei gleichzeitiger Emission beider Leptonen $dNdN(p_e)dN(p_{\nu })$ mit $E_0=E_l+E_{\nu }=\sqrt{(m_0{c}^2{)}^2+(p_{e}c{)}^2}+p_{\nu }c$ (Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das Impulsspektrum $\lambda (p_e)d{p}_e$:

miniatur|zentriert|hochkant=4 Durch Extrapolation bei der Fermi-Darstellung Bestimmung von Eo ' Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse, deren Existenz einen großen Einfluß auf Struktur und Entwicklung des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung EO möglichst klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall 3H ~ 3He + e- + v mit EO = 18 keV (t1 /2 ~ 12a) [mv c 2 zur Zeit :SreVj. Integration über Impulsspektrum: Po \ = ~ =JA(P )dp = const. 1\ tee 1/2 o f ( Z, Eo) i über Coulomb-Korrekturfaktor Die f-Werte sind tabelliert (z. B. Feenburg, Trigg, Rev. Mod. Phys. 22, 399). Sie enthalten die gesamte Energieabhängigkeit. Grobe Abschätzung: ~ JP;dPe 2 pci ~ E 3,5 nichtrelat. Bereich (Eo « 1 MeV) : Ee ~ Pe~f ~ 0 > Pe~f ~ Jp!dPe 5 E 5 relat. Bereich (EO ~ 1 MeV) :Ee ~ ~ Po ~ 0 Bei genauerer Betrachtung muß man berücksichtigen, daß die Spins der beiden Leptonen parallel (Gamow-Teller-übergänge) oder antiparallel (Fermi-Übergänge) stehen können. Für erlaubte Übergänge (.6.1 = 0) gelten somit die Auswahlregeln: ~ ~ Fermi-Ü: I i ;:: I f nv.6..1 = 0 Gamow-Teller-Ü: I i = I f + 1 ~.6.I = 0, ±l (0 <-I~ 0)

anschaulich: 1'r ~ 1'r + 1'r + ~ Fermi ~ n p e 1/ 1'r ~ ~ + 1'r + 11 Gamow-Teller Verbotene Übergänge: Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere ft1/ 2-Werte Beiträge für diese Übergänge aus: a) Reihenentwicklung der Leptonenwellenfunktionen e ipr /ll = 1 + li (pr/-tl) - ~(pr/1'l')2J +- ... v bisher vernachlässigt b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit vN/c-Beiträge Beispiele für erlaubte und verbotene Übergänge:

miniatur|hochkant=4|zentriert