Kernkräfte

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

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Der Artikel Kernkräfte basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 8.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Wegen $B/A\approx const\to$ Kräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste Modellsysteme:

• a) das Deuteron und
• b) n-p Streuung

Deuteron

das Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften

1) Bindungsenergie $n+p\to d+2,2MeV$

2) Kernspin $I=1$, magn. Kerndipolmoment ${\mu }_I=0,857...{\mu }_K$ (${\mu }_I\approx {\mu }_p+{\mu }_n=0,879...{\mu }_K\to I=\frac{1}{2}+\frac{1}{2},{}^3{S}_l$-Zustand) el. Quadrupolmoment $Q=+2,8610^{-31}{m}^2=2,7$mb, d.h. sehr klein

3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es kein Diproton oder Dineutron.

Reduktion des Zweikörperproblem{{#set:Fachbegriff=Zweikörperproblem|Index=Zweikörperproblem}}s durch Relativkoordinate $r=r-r_n$ und red. Masse $\mu =\frac{m_p{m}_n}{m_p+m_n}\approx \frac{1}{2}{m}_p$

Schrödingergleichung $[\frac{-{\hslash }^2}{2\mu }{\mathrm{\nabla }}^2+V]\mathrm{\Psi }=E\mathrm{\Psi }$

Problem $E=-2,2MeV$ bekannt, V unbekannt.

Annahme: $V=V(r)$ Zentralpotential. Separationsansatz von Radial- und Winkelteil ${\mathrm{\Psi }}_{nlm}=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi )$

Radialteil $[-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }\frac{d^2}{d{r}^2}+V(r)+\frac{l(l+1){\hslash }^2}{2\mu r^2}]\left(r{R}_{nl}\right)=E_{nl}(r{R}_{nl})$ mit $\frac{l(l+1){\hslash }^2}{2\mu r^2}$ Zentrifugalpotential

Zentrifugalpotential abstoßend --> Grundzustand 1 = 0 (wird durch I = 1 und ${\mu }_I\approx {\mu }_n+{\mu }_p$ unterstützt). $(r{R}_{nl})=(r{R}_{l0})=u$

Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential ($V_0,r_0$ ) miniatur|Trennung der Radialgleichung in Innen(I)- und Außen (II)-Bereich

Innen (I): $r\le r_0\frac{d^{2}u}{d{r}^2}+\frac{2\mu }{{\hslash }^2}(E-V_0)u=0$ , $K=\sqrt{\frac{2\mu (E-V_0)}{{\hslash }^2}}$

Lösung $u=A\sin Kr+C\cos KrRB:u=A\sin Kr$ RB: $u=0$ für $r\to 0$ wegen u/r endlich C = 0

---

Außen (II): $r\ge r_0\frac{d^{2}u}{d{r}^2}+\frac{2\mu }{{\hslash }^2}(E)u=0$ , $k=\sqrt{\frac{2\mu E}{{\hslash }^2}}=[4,310^{-15}m{]}^{-1}$

Lösung $u=B^{\prime }{e}^{-kr}+D{e}^{kr}=B{e}^{-k(r-r_0)}$ RB: u = A \sin Kr</math> RB: $u\to 0$ für $r\to \mathrm{\infty }\to$ D=0

Stetiger Anlschluß von u und $\frac{du}{dr}$ bei $r=r_0$:

$\begin{array}{ll}A\sin K{r}_0& =B\\ KA\cos K{r}_0& =B(-k)\\ \to K\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}K{r}_0& =-k\end{array}$

Damit werden die beiden Parameter ($V_0,r_0$) des Kastenpotentials miteinander verknüpft, z.B. mögliche Wertepaare

$\begin{array}{lll}{r}_0& =1,4\times 10^{-15}m,& 2\times 10^{-15}m\\ V_0& =50MeV,& 30MeV\end{array}$

miniatur

Da für $I=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$ nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte spinabhängig, wobei nur das Triplettpotential bindend ist. Erklärt auch die Nichtexistenz von $p^2$ und $n^2$ durch das Pauli-Prinzip.

• Ansatz $V=V_1(r)+V_2(r)({\overrightarrow{s}}_1{\overrightarrow{s}}_2)({\overrightarrow{s}}_1{\overrightarrow{s}}_2)\Rightarrow \frac{1}{2}[S(S+1)-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}]$
• Triplett{{#set:Fachbegriff=Triplett|Index=Triplett}} $V_T=V_1(r)+\frac{1}{4}{V}_2(r),S=1$
• Singulett{{#set:Fachbegriff=Singulett|Index=Singulett}} $V_S=V_1(r)-\frac{3}{4}{V}_2(r),S=0$

Grobe Abschätzung für Singulett-Potential:

Falls V_s gerade nicht mehr bindend $\to \sin K{r}_0\approx 1$ senkrecht auf Potentialwand, so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im Außenraum anfügen kann.

$K{r}_0\le \frac{\pi }{2}$ bedeutet in Zahlenwerten $\left|V_0\right|r_0^2\lesssim 100,V_0[MeV],r_0[10^{-15}m]$

Die Existenz des (sehr kleinen) Quadrupolmoments bedeutet einen sehr kleinen Beitrag einer nichtzentralen Kraft, die eine $3^{}{D}_1$-Zumischung ermöglicht.

n-p Streuung

Wirkungsquerschnitt $\sigma [m^2]$

$\sigma$ als "Trefferfläche" , z.B. $\sigma (geom.)=\pi R^2\approx 10^{-29}-10^{-28}{m}^2(10^{-28}{m}^2=1b)$. Festkörpertarget $N\approx 10^{22}$ Kerne/cm³, $\sigma \approx 10^{28}{m}^{-3}$, Targetlänge z.B. $1=10^{-2}m\to \sigma Nl\approx 10^{-3}-10^{-2}$ , d.h. "dünnes" Target mit $I=I_0(l-\sigma Nl)$.

Kinematik: $m_p\approx m_n$, "Billardproblem"

$2\to 1$ Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System ist äquivalent dem Stoß eines Teilchens mit reduzierter Masse $\mu =m/2$ und $E=E_{LAB}/2$ an einem festen Streuzentrum bei $r=r_p-r_p\approx 0$.

Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems

differentieller Wirkungsquerschnitt{{#set:Fachbegriff=differentieller Wirkungsquerschnitt|Index=differentieller Wirkungsquerschnitt}} $d\sigma /dn$ in Raumwinkel $d\mathrm{\Omega }$:

$\frac{d\sigma }{dn}=\frac{\text{ Fluss der gestreuten Teilchen in Raumwinkel d}\mathrm{\Omega }\text{(Detektor)}}{\text{Fluss der einlaufenden Teilchen pro Einheitsflaeche}}$

Fluß der einfallenden Teilchen

$|e^{ikz}{|}^{2}v$, $|e^{ikz}{|}^2$ 1 Teilchen pro Raumeinheit

Fluß der gestreuten Teilchen in $d\mathrm{\Omega }:|e^{ikr}f(\theta ){|}^2{r}^{2}v\to$

$\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}=|f(\theta ){|}^2$ Quadrat der Streuamplitude $f(\theta )$

Speziell für isotrope Streuung $(f(\sigma )=const.)$ ist dann der (Gesamt)-Wirkungsquerschnitt $\sigma =4\pi |f{|}^2$ .

Berechnung des Wirkungsquerschnitts:

Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen.

$e^{ikz}=e^{ikr\cos \theta }={\sum }_1{i}^l(2l+1)j_l(kr)P_1(cos\theta )$

$j_l(kr)$ sphärische Besselfunktionen

Sinn: Bei niedrigen Energien ($E_n\le 10MeV$) kann wegen der kurzen Reichweite der Kernkräfte nur der $1=O$-Anteil (S-Wellen) gestreut werden. Teilchen mit $1\ne 0$ kommen bei diesen Energien nicht nahe genug heran. Quantitativ:

miniatur|zentriert|hochkant=3

Wegen $k=\sqrt{\frac{2\mu E}{{\hslash }^2}}=0,15\sqrt{\frac{1}{2}{E}_{LAB}[MeV]}10^{15}{m}^{-l}$ und $r_0=10^{-15}$m ist für $E_{LAB}\le MeV$ die Bedingung $k{r}_0\le 1$ erfüllt.

Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit $j_0(kr)$:

(S-Wellenanteil) $=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}$ $e^{ikr}$ auslaufende Kugelwelle $e^{-ikr}$ einlaufende Kugelwelle

Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials $V=V(r)$ bleiben der S-Wellencharakter, der Wellenvektor k und die Teilchenzahl erhalten. Deshalb kann es nur eine Phasenänderung in der auslaufenden Kugelwelle geben.

S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials:

$\frac{e^{i(kr+2{\delta }_0)}-e^{ikr}}{2ikr}\equiv e^{i{\delta }_0}\frac{\sin (kr+{\delta }_0)}{kr}$

Die Differenz des S-Wellenanteils vor und nach der Streuung charakterisiert die qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende Kugelwelle $\frac{e^{ikr}}{r}f(\theta )$:

$\frac{e^{i(kr+2{\delta }_0}-e^{ikr}}{2ikr}\equiv \frac{e^{i(kr+{\delta }_0})}{r}\frac{\sin {\delta }_0}{k}$

Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von der Streuphase ${\delta }_0$

$\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}=|f(\theta ){|}^2=\frac{{\sin }^2{\delta }_0}{k^2}$

Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential ($V_0,r_0$) über die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch $E>O$.

Innenbereich I	Außenbereich 11
$[\frac{h^2}{2\mu }\frac{d^2}{d{r}^2}+V_0]u=Eu$	$[\frac{h^2}{2\mu }\frac{d^2}{d{r}^2}+0]u=Eu$
$u=A_1\sin Kr$	$u=A_1\sin (kr+{\delta }_0)$
$K=\sqrt{\frac{2\mu (E-V_0)}{{\hslash }^2}}$	$k=\sqrt{\frac{2\mu (E)}{{\hslash }^2}}$ (siehe $e^{i{\delta }_0}\frac{\sin (kr+{\delta }_0)}{kr}$ und $\mathrm{\Psi }\sim \frac{u}{r}$

Stetige Anpassung für u und du/dr bei $r=r_0$ ergibt

$\begin{array}{lll}{A}_1\sin K{r}_0& =A_2\sin (k{r}_0+{\delta }_0)& =A_{2}k(r_0-a)\\ K{A}_1\cos K{r}_0& =k{A}_2\cos (k{r}_0+{\delta }_0)& =A_{2}k\\ K\cot K{r}_0& =\cot (k{r}_0+{\delta }_0)& =\underset{k\ll K}{\underbrace{(r_0-a{)}^{-1}}}\\ \end{array}$

Im niederenergetischen Bereich mit $k\le K$ kann man die Sinusfunktion im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen

$u\approx A_2(kr+{\delta }_0)=A_{2}k(r-a)$ mit ${\delta }_0=-ka$.

Die sogenannte Streulänge a ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der r-Achse. Je nachdem ($V_0,r_0$) für $E\approx 0$ bindend oder nichtbindend ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch ($V_T$) oder gerade nicht mehr bindend ($V_s$) ist.

Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png

Wirkungsquerschnitt $\sigma =4\pi |f(\theta ){|}^2=4\pi \frac{{\sin }^2{\delta }_0}{k^2}=4\pi a^2$ unabhängig von E für den Bereich $k\le K$ mit ${\delta }_0=-ka$ und $a=r_0-\frac{1}{K}tgK{r}_0$. In der Streu1änge a sind wieder die beiden Parameter des Kastenpotentials ($V_0,r_0$) miteinander verknüpft.

Experimentell:

Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential $a_T=5,7\times 10^{-15}m$ und damit ${\sigma }_T\approx 4,5\times 10^{-28}{m}^2$ . Damit erhält man aus $\sigma \approx 20\times 10^{-28}{m}^2$ für ${\sigma }_s\approx 68\times 10^{-28}{m}^2$ und $\left|a_s\right|=23\times 10^{-28}{m}^2$. Das negative Vorzeichen $a_s<0$ folgt aus Messungen der kohärenten Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül.

Während der Bereich bis ca. $10^4$ eV vom Sinulett-Potential beherrscht wird, tritt für den Bereich $10^4-10^7$ eV immer mehr das Triplett-Potential in den Vordergrund. Ab $10^7$ eV müssen verstärkt höhere Bahndrehimpulsanteile berücksichtigt werden.

Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik versucht man die Kernkräfte durch Mesonen-Austauschprozesse zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige" Teil durch Ein-Pion-Austauschprozesse (Yukawa-Ansatz 1935) und der Bereich mittlerer Reichweite durch Zwei-Pion-Austauschprozesse beschrieben. Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden Anteil (hard core) muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt werden. Dabei spielen nicht nur die $\omega$-Mesonen, sondern schwere Mesonen (z.B. das $\omega$-Meson mit $m{c}^2=783MeV$) wegen ihrer kleinen Compton-Wellenlänge eine besondere Rolle. Da Nukleonen und Mesonen ihrerseits aus Quarks zusammengesetzt sind, die von Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.