Das Schalenmodell des Kerns: Difference between revisions

Revision as of 14:33, 27 May 2011

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Das Schalenmodell des Kerns basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 7.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Asgangspunkt: Das Auftreten besonders stabiler Nukleonenkonfiguration mit charakteristischen Sprüngen in der Separationsenergie bei den Sogenannten $m a g i s c h e n Z a h l e n$ N, Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 (N) in großer Ähnlichkeit mit den Edelgaskonfigurationen der Atomhülle. Deshalb als Wiederholung:

Datei:AtomhuelleNieveau24.png

Aufhebung der l-Entartung, d-Elektronen (Übergangsmetalle) und f-Elektronen (Lanthaniden, Aktiniden) werden "zu spät" eingebaut. Schalenabschlüsse bei den Edelgasen z = 2, 10, 18, 36, 54, 86 als den "magischen" Zahlen der Atomhülle.

Aufgabe für die Kernphysik: Ein Zentralpotential so zu wählen, daß bei den Schalenabschlüssen die magischen Zahlen erscheinen. Wegen rechnerischer Einfachheit werden oft das Kastenpotential oder das 05zillatorpotential benutzt.

Datei:KastenOszillatropotential25.png

Da es zunächst nur auf die relative Reihenfolge der Energiertiveaus ankommt, kann man die Potentiale nach $\infty$ fortsetzen.

Ergebnis z.B. für das Oszillatorpotential:

äquidistante Abstände der Energieniveaus mit l-Entartung, die bei dem "abgeschnittenen" Potential aufgehoben wird

Datei:Aufhebung_l-entartung26.png

Ebenso wie hier werden auch beim Kastenpotential und selbst für realistische Potentialformen wie das Wood-Saxon-Potential nur die ersten drei magischen Zahlen als Schalenabschlüsse erreicht.

Lösung: Zusätzliche (starke) Spin-Bahn-Kopplung

Goeppert-Mayer: Phys. Rev. 75, 1969 (49)
Haxe1 , Jensen, Suess: Phys. Rev. 75, 1966 (49)

V = V (r) + V_{S B} (l s)

,

| V_{S B} | \approx 1 - 2 M e V, V_{S B} < 0

attraktiv

Dub1ettaufspa1tung: $\begin{aligned} l s = & \frac{1}{2} (j^{2} - l^{2} - S^{2}) \\ \Rightarrow & \frac{1}{2} (j (j - 1) - l (l + 1) - \frac{3}{4}) \\ = & \frac{1}{2} l fuer j = l + \frac{1}{2} \\ = & - \frac{1}{2} (l + 1) fuer j = l + \frac{1}{2} \end{aligned}$

miniatur|Die Aufspaltung wächst mit 1, solange $V_{S B}$ keine große Abhängigkeit von l zeigt.

Datei:Feinstruktur29.png

Datei:KernSchalenModell50-30.png

Verbesserungen des reinen Schalenmodells

Hinzunahme der Paarungskraft (bei Weizsäckerformel phänomenologisch als Paarungsterm $δ \approx 1 - 2 M e V$ eingeführt) als (kurzreich weitige) Teil der "Restwechselwirkung", die das Bestreben hat, einen möglichst guten Überlapp der Nukleonenwellenfunktionen zu erzielen. Dies gelingt besonders gut durch "Antiparallelstellung" der Einzeldrehimpulse und bewirkt den verschwindenden Kerndrehimpuls I = 0 aller (g, g)-Kerne im Grundzustand.

Datei:UeberlagerungKerndrehimpulse-31.png

Damit wird für (u, g)- und (g, u)-Kerne der Kerndrehimpuls I = j des letzten ungepaarten Nukleons. Diese Regel stimmt für (fast) alle (u, g)- und (g, u)-Kerne, wobei allerdings zu berücksichtigen ist, daß die Paarungskraft die Reihenfolge innerhalb einer Schale verändern kann, indern sie besonders große Einzeldrehimpulse j möglichst paarweise absättigt, so daß hohe Gesamtdrehimpulse I nicht so häufig vorkommen.

Eine weitere Verbesserung ist für Kerne zwischen den magischen zahlen mit großen Quadrupolmomenten (z.B. im Bereich der Seltenen Erden) die Verwendung eines 'deformierten' Potentials $V = V (r, θ)$ [Nilsson-Modell].

[[Datei:DeformiertesPotential32.png|miniatur] Für das deformierte Potential ist der Bahndrehimpuls l und damit auch $j = 1 + 1$ keine Konstante der Bewegung mehr. Nur die Projektion m auf die Symmetrie achse bleibt konstant, wobei es zu einer Energieaufspaltung bezüglich der verschiedenen m kommt, je nachdem j die "Bahn" 1 mehr oder weniger lang m im Bereich des anziehenden Potentials verläuft.

Für angeregte Kernzustände ist die Einteilchenvorstellung eines "Valenznukleons" nur sehr bedingt verwendbar. Am besten geht es noch ganz in der Nähe der magischen Zahlen,

z.B. bei Failed to parse (syntax error): {\displaystyle ^{209}_{82}Pb \hat = "^{208}_{82}Pb" + (2g_{9/2})-} Valenzneutronen mit $82208 P b$ doppelmagischer Rumpf

Besonders zwischen den magischen Zahlen treten Anregungsspektren auf, die sehr viel besser durch kollektive Nukleonenbewegungen, z.B. durch Rotations- und Vibrationszustände - ähnlich wie bei Mole külspektren - beschrieben werden können. Im Gegensatz zu den Mole külspektren sind die Verhältnisse jedoch weitaus komplizierter, da die Trennung in Einteilchenzustände, Vibrationen und Rotationen keine gute Näherung darstellt, da die Bedingung E (Einteilchen) )) E (Vibration) )) E (Rotation) im Kern nur sehr schlecht erfüllt ist.

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 Asgangspunkt: Das Auftreten besonders stabiler Nukleonenkonfiguration
-mit charakteristischen Sprüngen in der Separationsenergie bei den Sogenannten magischen Zahlen N, Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126  (N) in großer Ähnlichkeit mit den Edelgaskonfigurationen der
+mit charakteristischen Sprüngen in der Separationsenergie bei den Sogenannten <math>magischen Zahlen</math> N, Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126  (N) in großer Ähnlichkeit mit den Edelgaskonfigurationen der
 Atomhülle. Deshalb als Wiederholung:
 [[Datei:AtomhuelleNieveau24.png]]
 Aufhebung der l-Entartung, d-Elektronen (Übergangsmetalle) und f-Elektronen (Lanthaniden, Aktiniden) werden "zu spät" eingebaut.
 Schalenabschlüsse bei den Edelgasen z = 2, 10, 18, 36, 54, 86 als den "magischen" Zahlen der Atomhülle.
-Aufgabe für die Kernphysik: Ein Zentralpotential 50 zu wählen, daß
+Aufgabe für die Kernphysik: Ein Zentralpotential so zu wählen, daß
 bei den Schalenabschlüssen die magischen Zahlen erscheinen. Wegen
 rechnerischer Einfachheit werden oft das Kastenpotential oder das
 zillatorpotential benutzt.
 [[Datei:KastenOszillatropotential25.png]]
 Da es zunächst nur auf die relative Reihenfolge der Energiertiveaus
-ankommt, kann man die Potentiale nach 00 fortsetzen.
+ankommt, kann man die Potentiale nach <math>\infty</math> fortsetzen.
-Ergebnis z.B. für das Oszillatorpotential:
-äquidistante Abstände der Energieniveaus mit I-Entartung, die bei
+Ergebnis z.B. für das Oszillatorpotential:
+äquidistante Abstände der Energieniveaus mit l-Entartung, die bei
 dem "abgeschnittenen" Potential aufgehoben wird
 [[Datei:Aufhebung_l-entartung26.png]]
-Lösung: Zusätzliche (starke) Spin-Bahn-Kopplung
+Ebenso wie hier werden auch beim Kastenpotential und selbst für
-Goeppert-Mayer
+realistische Potentialformen wie das Wood-Saxon-Potential nur die
-Phys. Rev. ]2, 1969 (49)
+ersten drei magischen Zahlen als Schalenabschlüsse erreicht.
-!laxe1 , Jensen, Suess
-Phys. Rev. JE, 1966 (49)
-V = V(r) + VSB • (1.5')
+Lösung: Zusätzliche (starke) Spin-Bahn-Kopplung
-IVSBI
-RJ 1 -
+;Goeppert-Mayer: Phys. Rev. 75, 1969 (49)
-MeV
+;Haxe1 , Jensen, Suess: Phys. Rev. 75, 1966 (49)
-VSB <
+: <math>V = V(r) + V_{SB}  (ls)</math>, <math>|V_{SB}|\approx 1-2 MeV, V_{SB}<0 </math> attraktiv
 Dub1ettaufspa1tung:
--> -+
+<math>\begin{align}
-(j2 _"12 _ 82)
+ls= & \frac{1}{2}\left(j^{2}-l^{2}-S^{2}\right)\\
-(1. s) = "Z
+\Rightarrow & \frac{1}{2}\left(j(j-1)-l(l+1)-\frac{3}{4}\right)\\
-=>1
+= & \frac{1}{2}l\quad\text{fuer}\quad j=l+{\frac{1}{2}}\\
-"Z (j(j+1) - 1(1+1)
+= & -\frac{1}{2}(l+1)\quad\text{fuer}\quad j=l+{\frac{1}{2}}\end{align}</math>
-- 4")
-= 1 1 für j = 1 + 1
-"Z
-"Z
-= -i (1+1) für j = 1
-"Z
----
-d-----(
-Igl--.....,,
-o attraktiv
-L....______ IP3/2
-Die Aufspaltung wächst mit
-, solange VSB keine große
-Abhängigkeit von 1 zeigt.
-[[Datei:Doublettaufspaltung28.png]]
+[[Datei:Doublettaufspaltung28.png|miniatur|Die Aufspaltung wächst mit 1, solange <math>V_{SB}</math> keine große Abhängigkeit von l zeigt. ]]
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 [[Datei:KernSchalenModell50-30.png]]
-R,a wegen endlicher Reichweite etwas
-MeV
-größer als die entsprechenden Para
-meter bei der Dichteverteilung
 === Verbesserungen des reinen Schalenmodells  ===
-Hinzunahme der Paarungskraft (bei Weizsäckerformel phänomenolo
+Hinzunahme der Paarungskraft (bei Weizsäckerformel phänomenologisch als Paarungsterm <math>\delta \approx   1 -2 MeV</math> eingeführt) als (kurzreich
-gisch als Paarungsterm 0 ~
--
-MeV eingeführt) als (kurzreich
 weitige) Teil der "Restwechselwirkung", die das Bestreben hat,
 einen möglichst guten Überlapp der Nukleonenwellenfunktionen zu
 erzielen. Dies gelingt besonders gut durch "Antiparallelstellung"
-der Einzeldrehimpulse und bewirkt den verschwindenden Kerndrehim
+der Einzeldrehimpulse und bewirkt den verschwindenden Kerndrehimpuls I = 0 aller (g, g)-Kerne im Grundzustand.
-puls I = 0 aller (g, g)-Kerne im Grundzustand.
 [[Datei:UeberlagerungKerndrehimpulse-31.png]]
 Damit wird für (u, g)- und (g, u)-Kerne der Kerndrehimpuls I = j
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 verändern kann, indern sie besonders große Einzeldrehimpulse j
 möglichst paarweise absättigt, so daß hohe Gesamtdrehimpulse I
 nicht so häufig vorkommen.
 Eine weitere Verbesserung ist für Kerne zwischen den magischen
 zahlen mit großen Quadrupolmomenten (z.B. im Bereich der Seltenen
-Erden) die Verwendung eines 'deformierten' Potentials V = V(r, 8)
+Erden) die Verwendung eines 'deformierten' Potentials <math>V = V(r, \theta)</math>
 [Nilsson-Modell].
 [[Datei:DeformiertesPotential32.png|miniatur]
 Für das deformierte Potential ist der
-Bahndrehimpuls I und damit auch j=1+1
+Bahndrehimpuls l und damit auch <math>j=1+1</math>
 keine Konstante der Bewegung mehr. Nur
 die Projektion m auf die Symmetrie
 achse bleibt konstant, wobei es zu
 einer Energieaufspaltung bezüglich
-der verschiedenen m kommt, je nachdem
+der verschiedenen m kommt, je nachdem j die "Bahn" 1 mehr oder weniger lang m
-j
+im Bereich des anziehenden Potentials verläuft.
-die "Bahn" 1 mehr oder weniger lang
-m
+Für '''angeregte''' Kernzustände ist die Einteilchenvorstellung eines
-im Bereich des anziehenden Potentials
-verläuft.
-Für angeregte Kernzustände ist die Einteilchenvorstellung eines
 "Valenznukleons" nur sehr bedingt verwendbar. Am besten geht es
 noch ganz in der Nähe der magischen Zahlen,
-.
-h
+z.B. bei <math>^{209}_{82}Pb \hat =  "^{208}_{82}Pb" + (2g_{9/2})-</math>Valenzneutronen mit <math>^{208}_{82}Pb</math> doppelmagischer Rumpf
-B
-b
-pb
-,,208pb"
-(2)
-z. .
-e
-~
-+
-g9/2 - Va enzneutron.
-doppeltmagischer
-Rumpf
 Besonders zwischen den magischen Zahlen treten Anregungsspektren
-auf, die sehr viel besser durch kollektive Nukleonenbewegungen, z.B.
+auf, die sehr viel besser durch '''kollektive''' Nukleonenbewegungen, z.B.
 durch Rotations- und Vibrationszustände - ähnlich wie bei Mole
 külspektren - beschrieben werden können. Im Gegensatz zu den Mole
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 die Trennung in Einteilchenzustände, Vibrationen und Rotationen
 keine gute Näherung darstellt, da die Bedingung E (Einteilchen) ))
-E (Vibration) )) E (Rotation) im Kern nur sehr schlecht erfüllt
+E (Vibration) )) E (Rotation) im Kern nur '''sehr schlecht''' erfüllt
 ist.

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Verbesserungen des reinen Schalenmodells

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