Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

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Der Artikel Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 4.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Die nahezu konstante Nukleonendichte{{#set:Fachbegriff=Nukleonendichte|Index=Nukleonendichte}} $\rho \approx 10^{17}kg/m^3$ und der nahezu konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme{{#set:Fachbegriff=Kondensationswärme|Index=Kondensationswärme}}") legt die Analogie zum Flüssigkeitstropfen nahe. Massenformel

Bindungsenergie{{#set:Fachbegriff=Bindungsenergie|Index=Bindungsenergie}} setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:

$B=\sum _{i=1}^5{B}_i$

1. Volumenenergie{{#set

Fachbegriff=Volumenenergie|Index=Volumenenergie}}: $B_1=a_{1}A$ Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um

2. Oberflächenenergie{{#set

Fachbegriff=Oberflächenenergie|Index=Oberflächenenergie}}: $B_2=-a_2{A}^{2/3}$ ~ Anzahl der Nukleonen an der

Oberfläche, die weniger stark gebunden sind.

3. Coulombenergie{{#set

Fachbegriff=Coulombenergie|Index=Coulombenergie}}: $B_3=-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{5}{3}\frac{Z(Z-1)e^2}{R}=-a_3\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}$ einer homogen geladenen Kugel

Durch die Coulombenergie $B_3$ würden für Isobare{{#set:Fachbegriff=Isobare|Index=Isobare}} (A = const) zu stark Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch $Z\approx N$.

Genauer: Nuklidkarte miniatur|zentriert|hochkant=3|Nuklidkarte

Als Gegengewicht genüber dem Coulombterm deshalb:

4. Asymmetrie-Energie{{#set

Fachbegriff=Asymmetrie-Energie|Index=Asymmetrie-Energie}}: $B_4=-a_4\frac{(N-Z{)}^2}{A}$

Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet:

$\begin{array}{lllll}& (g,g)\to & (u,g),& (g,u)\to & (u,u)\to \text{Abnahme der Stabilitaet}\\ \text{stab}\text{. Kerne}& 158& 50,& 53& 6\\ \end{array}$

5. Parität{{#set

Fachbegriff=Parität|Index=Parität}}: Deshalb $B_5=\delta =a_5{A}^{-1/2}$

mit $\begin{array}{rl}& \text{(g}\text{, g) : }\text{+}\delta \\ & \text{(u}\text{, g) }\text{, (g}\text{, u) : }\text{0}\\ & \text{(u}\text{, u) : }\text{-}\delta \\ \end{array}$

Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter $a_i:a_1=16MeV,a_2=18MeV,a_3=0,7MeV,a_4=23MeV$ und mit $a_5=12MeV$ ). Genauigkeit $\approx 1\%ab\approx 40$.

Folgerungen aus der Weizsäckerschen Massenformel

I. Isobarenregeln

Für Isobare{{#set:Fachbegriff=Isobare|Index=Isobare}} (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z, deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)-Kerne eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand $2\delta$ der Paarungsenergie{{#set:Fachbegriff=Paarungsenergie|Index=Paarungsenergie}} $\delta$ getrennt sind.

[[Datei:IsobarenRegel13.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Isobarenparabeln

ANMERKUNG Schubotz: Siehe auch

]]

Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte{{#set:Fachbegriff=Nuklidkarte|Index=Nuklidkarte}} auf der N-Z-Ebene nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der "Talsohle des Massetals".

Umwandlung durch Beta-Zerfall:

$\begin{array}{rl}{\beta }^{+}:n& \to p+e^{-}+\tilde{\nu }\\ {\beta }^{-}:n& \to p+e^{+}+\nu \\ e^{-}+p& \to n+\tilde{\nu }\\ \end{array}$ Konkurrenzprozeß: Kerneinfang{{#set:Fachbegriff=Kerneinfang|Index=Kerneinfang}}

II. Kernspaltung und Fusion

Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion{{#set:Fachbegriff=Fusion|Index=Fusion}}, für schwerere Kerne durch Spaltung{{#set:Fachbegriff=Spaltung|Index=Spaltung}} möglich. Spontane Fusion durch Coulombabstoßung, spontane Spaltung durch Spaltschwelle{{#set:Fachbegriff=Spaltschwelle|Index=Spaltschwelle}} behindert.

Spaltung

miniatur|hochkant=3|zentriert|Stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung

Coulombenergie

$B_3\to B_3(1-\frac{1}{5}ϵ{)}^2$ nimmt ab.

Oberflächenenergie

$B_2\to B_2(1+\frac{2}{5}ϵ{)}^2$ nimmt zu.

Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie.

Rechnung: $Z^2/A\lesssim 51$

Für $Z^2/A\lesssim 51$ Spaltschwelle:

miniatur|hochkant=3|zentriert|Spaltschwelle

Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende Bindungsenergie{{#set:Fachbegriff=Bindungsenergie|Index=Bindungsenergie}} bei Neutroneneinfang{{#set:Fachbegriff=Neutroneneinfang|Index=Neutroneneinfang}}. Für thermische Neutronen{{#set:Fachbegriff=thermische Neutronen|Index=thermische Neutronen}} ist diese Bindungsenergie

bei ${235}^{}U+n{\to }^{236}U+6,4MeV(g,u)\underset{n}{\to }(g,g)$

bei ${238}^{}U+n{\to }^{239}U+4,8MeV(g,g)\underset{n}{\to }(g,u)$

Die fehlende Paarungsenergie{{#set:Fachbegriff=Paarungsenergie|Index=Paarungsenergie}} bei ${239}^{}U$ bedingt die niedrigere Bindungsenergie, so daß bei ${238}^{}U$ der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht.

Allgemein Spaltprozeß: ${235}^{}U+n\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo>thermisch<mo stretchy="false">)</mo></mrow>}{\to }^{236}U\to X+Y+kn$

Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, ${\beta }^{-}$-Zerfall, z.B.

miniatur|hochkant=3|zentriert|instabile Spaltbruchstücke

Grobe Abschätzung für ${235}^{}U$-Verbrauch:

$\begin{array}{rl}1kg{}^{235}U:E=N\mathrm{\Delta }E& \backsimeq \frac{1000}{235}6\cdot 10^{23}\cdot 2\cdot 10^8\cdot 1,6\cdot 10^{-19}Ws\\ & \backsimeq 8\cdot 10^{13}Ws\\ & \backsimeq 10^{3}MWd\end{array}$

Fusion

Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des Coulombwalls{{#set:Fachbegriff=Coulombwalls|Index=Coulombwalls}} oberhalb von $1keV\approx 1,210^{7}K$ möglich (z.B. Sonneninnere mit $T\approx 1,510^{7}K$ und $\rho \approx 10^{5}kg/m^3$).

Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium

$d{+}^{3}H\to \underset{3MeV}{{}^{4}He}+\underset{14MeV}{n}+17,6MeV$

$n{+}^{7}Li{\to }^{4}He+\underset{t_{1/2}\approx 12a}{\underbrace{{}^{3}H}}+n-2,5MeV$

Weitere Informationen

(gehört nicht zum Skript) Wikipedia-Artikel miniatur miniatur miniatur miniatur

Prüfungsfragen

• Äußere Eigenschaften eines Kerns
  • Dichte (Größenordnungen)
• Bethe-Weizäcker Formel
  • Tröpfcherunodell (B/A Graph, Weizsäckerformel)
  • Erklärung der verschiedenen Terme. Wieso proportional zu V?
    • Oberflächenterm: -> weniger Bindungspartner
    • Coulombterm: -> Protonenabstoßung (Vergleich mit Ladungsverteilung aus Streuexperimenten)
    • Asymmetrieterm:-> Fermiegasherleitung angesprochen
    • Paarungsterm:->Isobarenregel
• Spaltung/Fusion wo möglich?
• Warum keine spontane Fusion/Spaltung? (Bei Fusion wegen Coulombwall, bei Spaltung wegen Oberflächenenergieterm aus Tröpfchenmodell (Potential als Funktion der Deformation aufmalen)