Nakajima-Zwanzig-Gleichung: Difference between revisions
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Beginnend mit der {{FB|Liouville von Neumann Gleichung }} | Beginnend mit der {{FB|Liouville von Neumann Gleichung }} | ||
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wobei der {{FB|Dichteoperator}} durch den {{FB|Projektionsoperator}} | wobei der {{FB|Dichteoperator}} durch den {{FB|Projektionsoperator}} | ||
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Die zweite Zeile wird formal durch | Die zweite Zeile wird formal durch | ||
:<math>\mathcal{Q}\chi ={{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)+\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')|}</math> | :<math>\mathcal{Q}\chi ={{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)+\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')|}</math> gelöst. | ||
Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die | Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die | ||
Nakajima-Zwanzig-Gleichung: | Nakajima-Zwanzig-Gleichung: | ||
::<math>{{\text{d}}_{t}}\mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')|}</math> | ::<math>{{\text{d}}_{t}}\mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')|}</math> | ||
Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung | Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung | ||
:<math>\mathcal{K}\left( t \right)=\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}</math> | :<math>\mathcal{K}\left( t \right)=\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}\mathcal{Q}L\mathcal{P} </math> | ||
sowie der Ausnutzung von | sowie der Ausnutzung von | ||
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erhält man die endgültige Form | erhält man die endgültige Form | ||
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<math>{{\text{d}}_{t}}\mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}')\mathcal{P}\chi (t-{t}')|}</math> | <math>{{\text{d}}_{t}}\mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}')\mathcal{P}\chi (t-{t}')|}</math> | ||
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Revision as of 16:05, 9 December 2010
Die Nakajima-Zwangzig Gleichung{{#set:Fachbegriff=Nakajima-Zwangzig Gleichung|Index=Nakajima-Zwangzig Gleichung}} ist eine Integrodifferentialgleichung{{#set:Fachbegriff=Integrodifferentialgleichung|Index=Integrodifferentialgleichung}} die die Zeitentwicklung des relevanten Anteils eine quantenmechanischen Systems beschreibt. Sie wird im Dichteopertorformalismus formuliert und kann als Verallgemeinerung der Mastergleichung{{#set:Fachbegriff=Mastergleichung|Index=Mastergleichung}} angesehen werden.
Herleitung
Beginnend mit der Liouville von Neumann Gleichung {{#set:Fachbegriff=Liouville von Neumann Gleichung |Index=Liouville von Neumann Gleichung }}
wobei der Dichteoperator{{#set:Fachbegriff=Dichteoperator|Index=Dichteoperator}} durch den Projektionsoperator{{#set:Fachbegriff=Projektionsoperator|Index=Projektionsoperator}} in zwei Anteile zerlegt wird. Wobei Q folglich durch definiert ist.
Die Liouville von Neumann Gleichung kann also durch
dargestellt werden.
Die zweite Zeile wird formal durch
Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die Nakajima-Zwanzig-Gleichung:
Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung
sowie der Ausnutzung von erhält man die endgültige Form
{{#set:Gleichung=Nakajima-Zwanzig-Gleichung|Index=Nakajima-Zwanzig-Gleichung}}