Schallausbreitung im Festkörper: Difference between revisions
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Bei der Ausbreitung von Schall in einem Festkörper hängt die Schwingfrequenz \omega der Atome vom Betrag des {{FB|Wellenvektor}}s k ab. Der Zusammenhang wird durch die {{FB|Gruppengeschwindigkeit}} der {{FB|Dispersionsbeziehung}} | Bei der Ausbreitung von Schall in einem Festkörper hängt die Schwingfrequenz <math>\omega</math> der Atome vom Betrag des {{FB|Wellenvektor}}s k ab. Der Zusammenhang wird durch die {{FB|Gruppengeschwindigkeit}} der {{FB|Dispersionsbeziehung}} | ||
:<math>\omega (k) =2\sqrt{\frac{K}{M}} \left| \sin\left(\frac{1}{2} k a\right) \right| </math> | :<math>\omega (k) =2\sqrt{\frac{K}{M}} \left| \sin\left(\frac{1}{2} k a\right) \right| </math> | ||
beschrieben, wobei K die effektive Federkonstante der Bindung zwischen den Atomen, M ihre Masse und a ihr Abstand sind. | beschrieben, wobei K die effektive Federkonstante der Bindung zwischen den Atomen, M ihre Masse und a ihr Abstand sind. | ||
a) Welchen Wert hat die Schallgeschwindigkeit in einem Festkörper mit K = 7 kg/ | a) Welchen Wert hat die Schallgeschwindigkeit in einem Festkörper mit <math>K = 7 kg/s^2, M = 4*10^{-26} kg und a = 5*10^{-10} m</math>, wenn die Wellenlänge sehr viel größer als der Atomabstand a ist? | ||
{{Lösung|Code=N@K = 7; N@M = 4*10^-26; N@a = 5*10^-10; | {{Lösung|Nach {{Seite73}} ist die Gruppengeschwindigkeit die Ableitung von <math>\omega(k)</math> an der Stelle k=Mittelwert(k). Da k<<a ist k*a klein und so wird <math>\cos(k a)\approx 1</math>. Damit folgt dann |Code=N@K = 7; N@M = 4*10^-26; N@a = 5*10^-10; | ||
\[Omega][k_] = 2 Sqrt[K/M]*Sin[1/2 k a] | \[Omega][k_] = 2 Sqrt[K/M]*Sin[1/2 k a] | ||
vGR[k_] = D[\[Omega][k], k] | vGR[k_] = D[\[Omega][k], k] | ||
Revision as of 14:16, 30 November 2010
Bei der Ausbreitung von Schall in einem Festkörper hängt die Schwingfrequenz der Atome vom Betrag des Wellenvektor{{#set:Fachbegriff=Wellenvektor|Index=Wellenvektor}}s k ab. Der Zusammenhang wird durch die Gruppengeschwindigkeit{{#set:Fachbegriff=Gruppengeschwindigkeit|Index=Gruppengeschwindigkeit}} der Dispersionsbeziehung{{#set:Fachbegriff=Dispersionsbeziehung|Index=Dispersionsbeziehung}}
beschrieben, wobei K die effektive Federkonstante der Bindung zwischen den Atomen, M ihre Masse und a ihr Abstand sind. a) Welchen Wert hat die Schallgeschwindigkeit in einem Festkörper mit , wenn die Wellenlänge sehr viel größer als der Atomabstand a ist?
Mathematica Rechnung:
N@K = 7; N@M = 4*10^-26; N@a = 5*10^-10;
\[Omega][k_] = 2 Sqrt[K/M]*Sin[1/2 k a]
vGR[k_] = D[\[Omega][k], k]
vGR[0]
N@%
Zahlenwert:Zahlenwert::6614 in Einheit::m/s
b) Nähert sich die Wellenlänge des Schalls dem Wert 2a, kann dieser sich nicht mehr ausbreiten. Berechnen Sie die Frequenz, mit der die Atome in dem Festkörper in diesem Fall schwingen.
Fakten zur Klausuraufgabe Schallausbreitung im Festkörper
- Datum: {{#arraymap:SS07|,|x|KADatum::x}}
- Aufgabe: {{#arraymap:4|,|x|KAAufgabe::x}}
- Abschnitt: {{#arraymap:MSW|,|x|KAAbschnitt::x}}
- Punkte: KAPunkte::6
- Tutorium: KATut::
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