Fermis Goldene Regel: Difference between revisions

Revision as of 23:47, 7 September 2010

Sei $H (t) = H_{0} + V (t)$ und es gelte die Schödingergleichung mit $ℏ = 1$

\frac{d}{d t} | Ψ (t) ⟩ = - i \hat{H} (t) | Ψ (t) ⟩

Definiert man ein Wechselwirkungsbild bezüglich $H_{0}$ mit $U_{0}^{+} = U_{0}^{+} (t) = e^{i H_{0} t}$ also

{| Ψ (t) ⟩}_{I} = U_{0}^{+} | Ψ (t) ⟩ = e^{i H_{0} t} | Ψ (t) ⟩

,

so folgt für die Entwicklung des Zustands im Wechselwirkungsbild (mit Produktregel)

\frac{d}{d t} {| Ψ (t) ⟩}_{I} = i H_{0} {| Ψ (t) ⟩}_{I} + U_{0}^{+} \frac{d}{d t} | Ψ (t) ⟩ .

Setzt man dies in die Schrödingergleichung ein so erhält man

\begin{array}{l} \frac{d}{d t} {| Ψ (t) ⟩}_{I} = i H_{0} {| Ψ (t) ⟩}_{I} - i U_{0}^{+} (H_{0} + V (t)) | Ψ (t) ⟩ \\ = i (H_{0} - U_{0}^{+} (H_{0} + V (t)) U_{0}) {| Ψ (t) ⟩}_{I} \end{array}

mit

| Ψ (t) ⟩ = U_{0} U_{0}^{+} | Ψ (t) ⟩ = U_{0} (t) {| Ψ (t) ⟩}_{I} = e^{- i H_{0} t} {| Ψ (t) ⟩}_{I}

.

Unter Verwendung von $[H_{0}, U_{0} (t)] = 0$ erhält man

\frac{d}{d t} {| Ψ (t) ⟩}_{I} = - i \underset{: = V_{I} (t)}{\underset{⏟}{(U_{0}^{+} V (t) U_{0})}} {| Ψ (t) ⟩}_{I} .

Nun kann man mit der Abkürzung $V_{I} (t) : = U_{0}^{+} V (t) U_{0}$ und $| Ψ_{0} ⟩ = {| Ψ (t = 0) ⟩}_{I}$ die Zeitentwicklung im Wechselwirkungsbild hinschreiben:

\begin{array}{l} {| Ψ (t) ⟩}_{I} = | Ψ_{0} ⟩ - i \int_{0}^{t} d t^{'} V_{I} (t^{'}) {| Ψ (t^{'}) ⟩}_{I} \\ = | Ψ_{0} ⟩ - i \int_{0}^{t} d t^{'} V_{I} (t^{'}) | Ψ_{0} ⟩ + O {(V_{I})}^{2} \end{array}

Nimmt man die Eigenwerte der ungestörten Schrödingergleichung $H_{0} | n ⟩ = E_{n} | n ⟩$ als bekannt an so erhält man mit der Festlegung $| Ψ_{0} ⟩ = | i ⟩$

\begin{array}{l} {| Ψ (t) ⟩}_{I} = | i ⟩ - i \int_{0}^{t} d t^{'} V_{I} (t^{'}) | i ⟩ + O {(V_{I})}^{2} \\ {⟨ f | Ψ (t) ⟩}_{I} = δ_{i, f} - i \int_{0}^{t} d t^{'} ⟨ f | V_{I} (t^{'}) | i ⟩ + O {(V_{I})}^{2} \end{array}

Für $i \neq f$ folgt in erster Ordnung (also unter Vernachlässigung von $O {(V_{I})}^{2}$ )

P_{i \to f} (t) : = {| ⟨ f | Ψ (t) ⟩ |}^{2} = \underset{1}{\underset{⏟}{{| e^{i (E_{f} - E_{f}) t} |}^{2}}} {| {⟨ f | Ψ (t) ⟩}_{I} |}^{2} = {| \int_{0}^{t} d t^{'} ⟨ f | V_{I} (t^{'}) | i ⟩ |}^{2}

(das –i verschwindet durch den Betrag).

Für $V (t) = V θ (t)$ folgt nun,

⟨ f | V_{I} (t) | i ⟩ = ⟨ f | U_{0}^{+} V U_{0} | i ⟩ = e^{i (E_{f} - E_{i}) t} ⟨ f | V | i ⟩

$P_{i \to f} (t) : = {| ⟨ f | V | i ⟩ |}^{2} {| \int_{0}^{t} d t^{'} e^{i (E_{f} - E_{i}) t^{'}} |}^{2}$

Unter Verwendung der Definition der [1] ergibt das Integral

{| \int_{0}^{t} d t^{'} e^{i (E_{f} - E_{i}) t^{'}} |}^{2} = {| \frac{e^{i (E_{f} - E_{i}) t} - 1}{i (E_{f} - E_{i})} |}^{2} = \frac{\sin^{2} (\frac{E_{f} - E_{i}}{2} t)}{{(\frac{E_{f} - E_{i}}{2})}^{2}} = t^{2} {s i n c}^{2} (\frac{E_{f} - E_{i}}{2} t)

Um die Rate, die durch

Γ_{i \to f} : = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} P_{i \to f} (t) = {| ⟨ f | V | i ⟩ |}^{2} \lim_{t \to \infty} t {s i n c}^{2} (\frac{E_{f} - E_{i}}{2} t)

definiert ist, zu berechnen kann man den "Trick", Umschreiben der Sinc-Funktion als [2], verwenden.

Γ_{i \to f} = {| ⟨ f | V | i ⟩ |}^{2} π \lim_{t \to \infty} \frac{t}{π} {s i n c}^{2} (\frac{E_{f} - E_{i}}{2} t) = 2 π {| ⟨ f | V | i ⟩ |}^{2} δ (E_{f} - E_{i})

Nach NOLTING macht jedoch Sinn, ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten und Übergänge in ein Energieintervall zu betrachten. Also muss ersetzt man (grob gesagt) die Deltafunktion durch die Zustandsdichte $ρ (E)$ . $Γ_{i \to f} = \frac{2 π}{(ℏ)} ρ (E_{f}) {| ⟨ f | V | i ⟩ |}^{2}$

Zu bemerken ist noch, dass

$ρ (E_{f}) \approx ρ (E_{i})$ .
die http://de.wikipedia.org/wiki/Energie-Zeit-Unschärferelation für $t < \infty$ folgt.

Dabei wurde bei ... $δ_{ϵ} (x) = \frac{1}{π x} \sin (\frac{x}{ϵ})$

mit  $\int_{- \infty}^{\infty} d x s i n c (x) = \int_{- \infty}^{\infty} d x {s i n c}^{2} (x) = π$  folgt dass

$\begin{array}{l} \lim_{E \to 0} \frac{1}{E} f (\frac{x}{E}) = δ (x) \\ \lim_{t \to \infty} t f (t x) = δ (x) \\ \lim_{t \to \infty} t \frac{1}{π} {s i n c}^{2} (t x) = δ (x) \end{array}$ Mit $x = \frac{E_{f} - E_{i}}{2}$ und $δ (k x) = \frac{1}{k} δ (x)$ folgt

verwendet

@@ Line 3: / Line 3: @@
 :<math>\frac{d}{dt}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =-\text{i}\hat{H}\left( t \right)\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math>
-Definiert man ein Wechselwirkungsbild bezüglich <math>{{H}_{0}}</math>mit <math>U_{0}^{+}=U_{0}^{+}\left( t \right)={{e}^{i{{H}_{0}}t}}</math>also
+Definiert man ein Wechselwirkungsbild bezüglich <math>{{H}_{0}}</math>mit <math>U_{0}^{+}=U_{0}^{+}\left( t \right)={{e}^{i{{H}_{0}}t}}</math> also
-:<math>{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=U_{0}^{+}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{e}^{\text{i}{{H}_{0}}t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math>
+:<math>{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=U_{0}^{+}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{e}^{\text{i}{{H}_{0}}t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math>,
-so folgt für die Entwicklung des Zustands im Wechselwirkungsbild (mit Produktregel)<math>\frac{d}{dt}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\text{i}{{H}_{0}}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}+U_{0}^{+}\frac{d}{dt}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math>. Setzt man dies in die Schrödingergleichung ein so erhält man
+so folgt für die Entwicklung des Zustands im Wechselwirkungsbild (mit Produktregel)
+:<math>\frac{d}{dt}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\text{i}{{H}_{0}}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}+U_{0}^{+}\frac{d}{dt}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle .</math>
+Setzt man dies in die Schrödingergleichung ein so erhält man
 :<math>\begin{align}
    & \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\text{i}{{H}_{0}}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}-\text{i}U_{0}^{+}\left( {{H}_{0}}+V\left( t \right) \right)\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle  \\
   & =\text{i}\left( {{H}_{0}}-U_{0}^{+}\left( {{H}_{0}}+V\left( t \right) \right){{U}_{0}} \right){{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}
 \end{align}</math>
+:mit <math>\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{U}_{0}}U_{0}^{+}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{U}_{0}}\left( t \right){{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}={{e}^{-\text{i}{{H}_{0}}t}}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}</math>.
-Mit <math>\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{U}_{0}}U_{0}^{+}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{U}_{0}}\left( t \right){{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}={{e}^{-\text{i}{{H}_{0}}t}}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}</math>. Unter Verwendung von <math>\left[ {{H}_{0}},{{U}_{0}}\left( t \right) \right]=0</math> erhält man
+Unter Verwendung von <math>\left[ {{H}_{0}},{{U}_{0}}\left( t \right) \right]=0</math> erhält man
 :<math>\frac{d}{dt}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=-\text{i}\underbrace{\left( U_{0}^{+}V\left( t \right){{U}_{0}} \right)}_{:={{V}_{I}}\left( t \right)}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}.</math>
@@ Line 25: / Line 28: @@
 \end{align}</math>
-Nimmt man die Eigenwerte der ungestörten Schrödingergleichung <math>{{H}_{0}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math>als bekannt an so erhält man mit der Festlegung <math>\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle =\left| i \right\rangle </math>
+Nimmt man die Eigenwerte der ungestörten Schrödingergleichung <math>{{H}_{0}}\left| n \right\rangle ={{E }_{n}}\left| n \right\rangle </math>als bekannt an so erhält man mit der Festlegung <math>\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle =\left| i \right\rangle </math>
 :<math>\begin{align}
@@ Line 32: / Line 35: @@
 \end{align}</math>
-Für <math>i\ne f</math>folgt in erster Ordnung (also unter Vernachlässigung von <math>O{{\left( {{V}_{I}} \right)}^{2}}</math>)
+Für <math>i\ne f</math> folgt in erster Ordnung (also unter Vernachlässigung von <math>O{{\left( {{V}_{I}} \right)}^{2}}</math>)
-:<math>{{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left| \left\langle  f | \Psi \left( t \right) \right\rangle  \right|}^{2}}=\underbrace{{{\left| {{e}^{\text{i}\left( {{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{f}} \right)t}} \right|}^{2}}}_{1}{{\left| {{\left\langle  f | \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}} \right|}^{2}}={{\left| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\left\langle  f \right|{{V}_{I}}\left( t' \right)\left| i \right\rangle } \right|}^{2}}</math> (das –i verschwindet durch den Betrag).
+:<math>{{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left| \left\langle  f | \Psi \left( t \right) \right\rangle  \right|}^{2}}=\underbrace{{{\left| {{e}^{\text{i}\left( {{E }_{f}}-{{E }_{f}} \right)t}} \right|}^{2}}}_{1}{{\left| {{\left\langle  f | \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}} \right|}^{2}}={{\left| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\left\langle  f \right|{{V}_{I}}\left( t' \right)\left| i \right\rangle } \right|}^{2}}</math> (das –i verschwindet durch den Betrag).
-Für <math>V\left( t \right)=V\theta \left( t \right)</math>folgt nun,
+Für <math>V\left( t \right)=V\theta \left( t \right)</math> folgt nun,
-:<math>\,\left\langle  f \right|{{V}_{I}}\left( t \right)\left| i \right\rangle =\,\left\langle  f \right|U_{0}^{+}V{{U}_{0}}\left| i \right\rangle =\,{{e}^{i\left( {{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}} \right)t}}\left\langle  f \right|V\left| i \right\rangle </math>
+:<math>\,\left\langle  f \right|{{V}_{I}}\left( t \right)\left| i \right\rangle =\,\left\langle  f \right|U_{0}^{+}V{{U}_{0}}\left| i \right\rangle =\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t}}\left\langle  f \right|V\left| i \right\rangle </math>
-<math>{{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left| \left\langle  f \right|V\left| i \right\rangle  \right|}^{2}}{{\left| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{i\left( {{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}} \right)t'}}} \right|}^{2}}</math>
+<math>{{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left| \left\langle  f \right|V\left| i \right\rangle  \right|}^{2}}{{\left| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t'}}} \right|}^{2}}</math>
 Unter Verwendung der Definition der [http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Analytische_Definition|Sinusfunktion] ergibt das Integral
-:<math>{{\left| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{\text{i}\left( {{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}} \right)t'}}} \right|}^{2}}={{\left| \frac{{{e}^{\text{i}\left( {{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}} \right)t}}-1}{\text{i}\left( {{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}} \right)} \right|}^{2}}=\frac{{{\sin }^{2}}\left( \frac{{{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}}}{2}t \right)}{{{\left( \frac{{{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}}}{2} \right)}^{2}}}={{t}^{2}}{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}}}{2}t \right)</math>
+:<math>{{\left| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{\text{i}\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t'}}} \right|}^{2}}={{\left| \frac{{{e}^{\text{i}\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t}}-1}{\text{i}\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)} \right|}^{2}}=\frac{{{\sin }^{2}}\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}t \right)}{{{\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2} \right)}^{2}}}={{t}^{2}}{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}t \right)</math>
 Um die Rate, die durch
-:<math>{{\Gamma }_{i\to f}}:=\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{t}{{P}_{i\to f}}\left( t \right)={{\left| \left\langle  f \right|V\left| i \right\rangle  \right|}^{2}}\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,t{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}}}{2}t \right)</math>
+:<math>{{\Gamma }_{i\to f}}:=\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{t}{{P}_{i\to f}}\left( t \right)={{\left| \left\langle  f \right|V\left| i \right\rangle  \right|}^{2}}\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,t{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}t \right)</math>
-:definiert ist zu berechnen kann man den "Trick", umschreiben der [[Sinc-Funktion]] als [http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution#Beispiele_f.C3.BCr_Dirac-Folgen|Dirac-Folge ] verwenden.
+:definiert ist, zu berechnen kann man den "Trick", Umschreiben der [[Sinc-Funktion]] als [http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution#Beispiele_f.C3.BCr_Dirac-Folgen|Dirac-Folge ], verwenden.
-<math>{{\Gamma }_{i\to f}}={{\left| \left\langle  f \right|V\left| i \right\rangle  \right|}^{2}}\pi \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{\pi }{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}}}{2}t \right)=2\pi {{\left| \left\langle  f \right|V\left| i \right\rangle  \right|}^{2}}\delta \left( {{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}} \right)</math>
+:<math>{{\Gamma }_{i\to f}}={{\left| \left\langle  f \right|V\left| i \right\rangle  \right|}^{2}}\pi \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{\pi }{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}t \right)=2\pi {{\left| \left\langle  f \right|V\left| i \right\rangle  \right|}^{2}}\delta \left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)</math>
-Es macht jedoch Sinn ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten da in der Realität <math>t<\infty </math> gilt und man daher keine exakte Deltafunktion erhält. Zu bemerken ist noch, dass<math>\rho \left( {{E}_{f}} \right)\approx \rho \left( {{E}_{i}} \right)</math>
+Nach NOLTING macht jedoch Sinn, ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten und Übergänge in ein Energieintervall zu betrachten. Also muss ersetzt man (grob gesagt) die Deltafunktion durch die Zustandsdichte <math>\rho(E)</math>.
 <math>{{\Gamma }_{i\to f}}=\frac{2\pi }{\left( \hbar  \right)}\rho \left( {{E}_{f}} \right){{\left| \left\langle  f \right|V\left| i \right\rangle  \right|}^{2}}</math>
+Zu bemerken ist noch, dass
+* <math>\rho \left( {{E}_{f}} \right)\approx \rho \left( {{E}_{i}} \right)</math>.
+* die http://de.wikipedia.org/wiki/Energie-Zeit-Unschärferelation für <math>t<\infty</math> folgt.
@@ Line 57: / Line 66: @@
   mit <math>\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx\operatorname{sinc}\left( x \right)}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( x \right)}=\pi </math> folgt dass
 <math>\begin{align}
-   & \underset{\varepsilon \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\varepsilon }f\left( \frac{x}{\varepsilon } \right)=\delta \left( x \right) \\
+   & \underset{E \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{E }f\left( \frac{x}{E } \right)=\delta \left( x \right) \\
   & \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,tf\left( tx \right)=\delta \left( x \right) \\
   & \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,t\frac{1}{\pi }{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( tx \right)=\delta \left( x \right)
 \end{align}</math>
-Mit <math>x=\frac{{{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}}}{2}</math>und <math>\delta \left( kx \right)=\frac{1}{k}\delta \left( x \right)</math> folgt
+Mit <math>x=\frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}</math>und <math>\delta \left( kx \right)=\frac{1}{k}\delta \left( x \right)</math> folgt
 verwendet

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