Helizität und Spin

Quantenmechanikvorlesung von Brandes

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Der Artikel Helizität und Spin basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 8) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes.

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{{#set:Urheber=Brandes|Inhaltstyp=Script|Kapitel=1|Abschnitt=8}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__

Erinnerung $\underset{\_}{\sigma }=\underset{\text{Vektor der Pauli-Matrizen}}{\underbrace{({\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_1,{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_2,{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_3)}},$ Produkte $\underset{\_}{k}\underset{\_}{\sigma }$in Dirac Spinoren ${{\varphi }_{\pm }}^{\left(i\right)}$ (1.72).

Definiere:

$\hat{k}:=\frac{\underset{\_}{k}}{\left|\underset{\_}{k}\right|}=(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta )$

(1.73)

als Einheitsvektor in $\underset{\_}{k}$-Richtung in Polarkoordinaten bezüglich der z-Achse. Dann gilt

$\hat{k}.\underset{\_}{\sigma }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \left(\theta \right)e^{i\phi }\\ \sin \left(\theta \right)e^{i\phi }& -\cos \theta \\ \end{array}\right)$

(1.74)

Eigenvektoren $|\uparrow ,\hat{k}⟩,|\downarrow ,\hat{k}⟩$von $\underset{\_}{k}\underset{\_}{\sigma }$ bestimmen! Die Eigenwerte sind $\pm 1$. Die Spinoren (1.72) als Eigenvektoren des Helizitätsoperator{{#set:Fachbegriff=Helizitätsoperator|Index=Helizitätsoperator}}s (4x4 Matrix)

$\hat{k}\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}\hat{k}\underset{\_}{\sigma }& 0\\ 0& \hat{k}\underset{\_}{\sigma }\\ \end{array}\right)$

(1.75)

wählen: Hierzu (1.72) ${\underset{\_}{u}}^{\left(1\right)}:=|\uparrow ,\hat{k}⟩,{\underset{\_}{u}}^{\left(2\right)}:=|\downarrow ,\hat{k}⟩$ damit haben wir die Basis

${{\varphi }_{+}}^{\left(\sigma \right)}\left(\underset{\_}{k}\right):=N\left(\begin{array}{rl}& (E+m)|\sigma ,\hat{k}⟩\\ & (\underset{\_}{k}.\underset{\_}{\sigma })|\sigma ,\hat{k}⟩\\ \end{array}\right){{\varphi }_{-}}^{\left(\sigma \right)}\left(\underset{\_}{k}\right):=N\left(\begin{array}{rl}& (\underset{\_}{k}.\underset{\_}{\sigma })|\sigma ,\hat{k}⟩\\ & (E+m)|\sigma ,\hat{k}⟩\\ \end{array}\right)$

(1.76)

mit $\begin{array}{rl}& \sigma =\uparrow \text{negative Helizit }\ddot{\mathrm{a}}t\\ & \sigma =\downarrow \text{negative Helizit }\ddot{\mathrm{a}}t\\ \end{array}.$

• Der HamiltonoperatorHamiltonoperator{{#set:Fachbegriff=Hamiltonoperator|Index=Hamiltonoperator}} des freien Dirac-Teilchens, $\hat{H}=\underset{\_}{a}\underset{\_}{\hat{p}}+\beta m$(1.31), kommutiert mit dem Helizitätsoperator $\hat{k}\mathrm{\Sigma }$(1.75), (AUFGABE) aber nicht mit dem Spin-Operator{{#set:Fachbegriff=Spin-Operator|Index=Spin-Operator}} $\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}\underset{\_}{\sigma }& 0\\ 0& \underset{\_}{\sigma }\\ \end{array}\right)$. Deshalb kann man die Lösungen der freien Dirac-Gleichungen als Eigenvektoren von $\hat{k}\mathrm{\Sigma }$ zählen.