Paramagnetismus

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Paramagnetismus basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 7) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Paramagnetismus: vorhandene magnetische Momente werden durch ein äußeres Magnetfeld ausgerichtet ! Keine WW der Elementarmagnete untereinander

Ferromagnetismus: Korrelation der permanenten Elementarmagnete untereinander ! -> spontane Magnetisierung !

Diamagnetismus: die magnetischen Momente werden erst durch ein äußeres Magnetfeld induziert -> Abstoßung ( Lenzsche Regel) !

Modell eines Paramagneten

N ortsfeste ( und somit unterscheidbare Teilchen !) mit Drehimpuls $\overline{L}$

im Magnetfeld der Induktion $\overline{B}$

Drehimpulsquantisierung:

Energie:

$\begin{array}{rl}& E=-\mu B{m}_l\\ & m_l=-l,-l+1,-l+2,...,l-1,l\\ & \mu =g\frac{e\hslash }{2m}=g{\mu }_{Bohr}\\ \end{array}$

mit ${\mu }_{Bohr}$

= Bohrsches Magneton !

z.B. Spin: $l=\frac{1}{2},g=2,m_l=\pm 1$

Bahn: $l=1,g=1,m_l=-1,0,1$

Einteilchen- Zustandssumme

$\begin{array}{rl}& Z=\sum _{m_l=-l}^l\exp \left(\beta \mu B{m}_l\right)\\ & \nu :=m_l+l\\ & \Rightarrow Z=\exp (-\beta \mu Bl)\sum _{\nu =0}^{2l}{(\exp \left(\beta \mu B\right))}^{\nu }=\exp (-\beta \mu Bl)\frac{\exp \left(\beta \mu B(2l+1)\right)-1}{\exp \left(\beta \mu B\right)-1}=\frac{\sinh \left(\beta \mu B(l+\frac{1}{2})\right)}{\sinh \left(\frac{1}{2}\beta \mu B\right)}\\ \end{array}$

Beispiel: l = 1/2:

$\Rightarrow Z=\frac{\sinh \left(\beta \mu B\right)}{\sinh \left(\frac{1}{2}\beta \mu B\right)}=2\cosh \left(\frac{1}{2}\beta \mu B\right)$

Als Einteilchenzustandssumme

Magnetisierung M ( = mittleres magnetisches Moment pro Volumen )

$\begin{array}{rl}& M=\frac{N}{V}\sum _{m_l=-l}^l\mu m_l{Z}^{-1}\exp \left(\beta \mu B{m}_l\right)=\frac{N}{V}\frac{1}{Z}\sum _{m_l=-l}^l\mu m_l\exp \left(\beta \mu B{m}_l\right)\\ & =\frac{N}{V}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\ln Z\\ & =\frac{N}{V}\mu [(l+\frac{1}{2})\coth \left[\beta \mu B(l+\frac{1}{2})\right]-\frac{1}{2}\coth \left[\frac{1}{2}\beta \mu B\right]]\\ \end{array}$

Brillouin- Funktion

z.B. l= 1/2:

$M=\frac{N}{V}\mu \frac{1}{2}\tanh \left(\frac{1}{2}\beta \mu B\right)$

( Lorgevin- Funktion )

Dies entspricht einer thermischen Zustandsgleichung

$M(T,V,B)$

Hohe Temperaturen

$kT>>\mu B$

Beispiel: B= 1 Tesla -> T >> 1K

Entwicklung

$\begin{array}{rl}& \coth x\approx \frac{1}{x}+\frac{x}{3}+...\\ & x<<1\\ \end{array}$

$\Rightarrow M=\frac{N}{V}\frac{l(l+1)}{3}\beta {\mu }^{2}B$

linear in B !

speziell: l= 1/2:

$\Rightarrow M(T,V,B)=\frac{N}{V}\frac{{\mu }^{2}B}{4kT}$

Curie- Gesetz !!

magnetische Suszeptibilität ${\chi }_m$

definiert durch

$M={\chi }_{m}H$

$B={\mu }_0(H+M)={\mu }_0(1+{\chi }_m)H$

mit dem Magnetfeld $H$

und ${\mu }_0$

als absolute Permeabilität

$\Rightarrow M=\frac{1}{{\mu }_0}\frac{{\chi }_m}{1+{\chi }_m}B\approx \frac{1}{{\mu }_0}{\chi }_{m}B$

Vergleich mit der thermischen Zustandsgleichung:

${\chi }_m={\mu }_0\frac{N}{V}\frac{l(l+1)}{3}\frac{{\mu }^2}{kT}=\frac{C}{T}$

Mit der Curie- Konstanten C !

( Mit zunehmender Temperatur wird die Ausrichtung der Momente in Feldrichtung durch die Wärmebewegung der Momente gestört ! )

Tiefe Temperaturen, hohe Magnetfelder:

$\begin{array}{rl}& kT<<\mu B\\ & \coth x\approx 1\\ \end{array}$

für $x\to \mathrm{\infty }$

$\Rightarrow M=\frac{N}{V}\mu ((l+\frac{1}{2})-\frac{1}{2})=\frac{N}{V}\mu l$

Also:

Vollständige Ausrichtung aller Momente

---

$\overline{\mu }\uparrow \uparrow \overline{B}$

Vergleich mit der klassischen rechnung

$\overline{E}=-\overline{m}\overline{B}=-mB\cos \alpha$

mit $\left|\overline{m}\right|$

fest ( magnetisches Moment !) und $\alpha$

Phasenraumvariable !, Winkel zwischen dem B- Feld und den magnetischen Momenten !

Klassische Zustandssumme:

$Z\stackrel{~}{}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}d(\cos \alpha )\exp \left(\beta mB(\cos \alpha )\right)\stackrel{~}{}\frac{\sinh \left(\beta mB\right)}{B}$

$\begin{array}{rl}& M=\frac{N}{V}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\ln Z=\frac{N}{V}\frac{B}{\sinh \left(\beta mB\right)}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\left(\frac{\sinh \left(\beta mB\right)}{B}\right)\\ & =\frac{N}{V}m(\coth \left(\beta mB\right)-\frac{1}{\beta mB})\\ \end{array}$

Vergleich für l=1/2, g=2 ( Spin)

$\begin{array}{rl}& \frac{MV}{Nm}=(\coth \left(\beta mB\right)-\frac{1}{\beta mB})=(\coth x-\frac{1}{x})\\ & x=\frac{mB}{kT}\\ \end{array}$

klassisch

im Gegensatz zu quantentheoretisch: $\frac{MV}{Nm}=\tanh x$

Also für x-> 0 ( hohe Temperaturen):

$\frac{MV}{Nm}\to \frac{x}{3}$

( klassisch)

$\frac{MV}{Nm}\to x$

( quantentheoretisch !)

und für x -> $\mathrm{\infty }$

( tiefe Temperaturen):

$\frac{MV}{Nm}\to 1-\frac{1}{x}$

( klassisch)

$\frac{MV}{Nm}\to 1-e^{-2x}$

( quantentheoretisch)

Somit folgt ( die obere Kurve ist die quantentheoretisch ermittelte):

Abszisse: x = mB/(kT)

Ordinate: MV/Nm

Wie man sieht, weichen die beiden Rechnungen stark voneinander ab !

Vergleich für l>>1

quantentheoretisch: $l+\frac{1}{2}\approx l$

und $\mu l=m$

$M=\frac{N}{V}m(\coth \left(\beta mB\right)-\frac{1}{2l}\coth \frac{\beta mB}{2l})$

Klassisch dann mit der Näherung

$\coth \frac{\beta mB}{2l}\approx \frac{2l}{\beta mB}$

für

$kT>mB$

klassisch:

$M=\frac{N}{V}m(\coth \left(\beta mB\right)-\frac{1}{\beta mB})$

( klassische Brillouin- Funktion )

Für l=2 folgt:

Dabei ist die klassische Kurve nun steiler ! Die Abweichung ist immer noch immens, da die quantentheoretische Kurve nun genähert ist !

Für l=5:

und schließlich l=10:

Dabei wurde wieder

Abszisse: x = mB/(kT)

Ordinate: MV/Nm

Energie und Entropie

Entropie S für $l=\frac{1}{2}$

N- Teilchen- Zustandssumme $Z^N$

$S=k(\ln Z^N+\beta U)$

Statistischer Operator für kanonische Verteilung:

$Z^{-1}{e}^{-\beta H}$

$\begin{array}{rl}& U=-\frac{\partial }{\partial \beta }\ln Z^N=-N\frac{\partial }{\partial \beta }\ln [2\cosh \left(\frac{\beta \mu B}{2}\right)]=-\frac{N\mu B}{2}\frac{\sinh \left(\frac{\beta \mu B}{2}\right)}{\cosh \left(\frac{\beta \mu B}{2}\right)}\\ & U\left(T\right)=-\frac{N\mu B}{2}\tanh \left(\frac{\beta \mu B}{2}\right)\\ \end{array}$

( kalorische Zustandsgleichung $U(T,B)$

)

$\begin{array}{rl}& S\left(T\right)=kN(\ln Z-\beta \frac{\partial }{\partial \beta }\ln Z)\\ & S\left(T\right)=kN[\ln 2+\ln \cosh \left(\frac{\beta \mu B}{2}\right)-\frac{\beta \mu B}{2}\tanh \left(\frac{\beta \mu B}{2}\right)]\\ \end{array}$

Limes

$\begin{array}{rl}& T\to \mathrm{\infty }\\ & \Rightarrow S\left(T\right)=kN\ln 2\\ & \\ & T->0\\ & \Rightarrow S(T)\to kN[\ln 2+\ln \frac{e^x}{2}-x(1-2e^{-2x})]=2kNx{e}^{-2x}\to 0\\ & x:=\frac{\mu B}{2kT}\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}$

Im Folgenden ist die Entropie (kN=1) gegen die Temperatur ( arbitrary units) geplottet:

Dabei sind die Flacheren Kurven für größere Magnetfelder. Bei jeder Kurve wurde das Magnetfeld ( a.u.) verdoppelt !

Adiabatische Entmagnetisierung

Bei paramagnetischen Salzen sind bei tiefen Temperaturen die Gitterschwingungen schon eingefroren. Noch tiefere Temperaturen erreicht man dann durch die adiabatische Entmagnetisierung ( insbesondere mit Kernspin)