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| <noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|5|7}}</noinclude> | | <noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|5|8}}</noinclude> |
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| Paramagnetismus: vorhandene magnetische Momente werden durch ein äußeres Magnetfeld ausgerichtet ! Keine WW der Elementarmagnete untereinander
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| Ferromagnetismus: Korrelation der permanenten Elementarmagnete untereinander ! -> spontane Magnetisierung !
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| '''Diamagnetismus: '''die magnetischen Momente werden erst durch ein äußeres Magnetfeld induziert -> Abstoßung ( Lenzsche Regel) !
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| ====Modell eines Paramagneten====
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| N ortsfeste ( und somit unterscheidbare Teilchen !) mit Drehimpuls <math>\bar{L}</math>
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| im Magnetfeld der Induktion <math>\bar{B}</math>
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| :
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| '''Drehimpulsquantisierung:'''
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| Energie:
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| <math>\begin{align}
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| & E=-\mu B{{m}_{l}} \\
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| & {{m}_{l}}=-l,-l+1,-l+2,...,l-1,l \\
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| & \mu =g\frac{e\hbar }{2m}=g{{\mu }_{Bohr}} \\
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| \end{align}</math>
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| mit <math>{{\mu }_{Bohr}}</math>
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| = Bohrsches Magneton !
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| z.B. Spin: <math>l=\frac{1}{2},g=2,{{m}_{l}}=\pm 1</math>
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| Bahn: <math>l=1,g=1,{{m}_{l}}=-1,0,1</math>
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| <u>'''Einteilchen- Zustandssumme'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & Z=\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right) \\
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| & \nu :={{m}_{l}}+l \\
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| & \Rightarrow Z=\exp \left( -\beta \mu Bl \right)\sum\limits_{\nu =0}^{2l}{{}}{{\left( \exp \left( \beta \mu B \right) \right)}^{\nu }}=\exp \left( -\beta \mu Bl \right)\frac{\exp \left( \beta \mu B\left( 2l+1 \right) \right)-1}{\exp \left( \beta \mu B \right)-1}=\frac{\sinh \left( \beta \mu B\left( l+\frac{1}{2} \right) \right)}{\sinh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)} \\
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| \end{align}</math>
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| Beispiel: l = 1/2:
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| <math>\Rightarrow Z=\frac{\sinh \left( \beta \mu B \right)}{\sinh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)}=2\cosh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)</math>
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| Als '''Einteilchenzustandssumme'''
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| <u>'''Magnetisierung M '''</u> ( = mittleres magnetisches Moment pro Volumen )
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| <math>\begin{align}
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| & M=\frac{N}{V}\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\mu {{m}_{l}}{{Z}^{-1}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right)=\frac{N}{V}\frac{1}{Z}\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\mu {{m}_{l}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right) \\
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| & =\frac{N}{V}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\ln Z \\
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| & =\frac{N}{V}\mu \left[ \left( l+\frac{1}{2} \right)\coth \left[ \beta \mu B\left( l+\frac{1}{2} \right) \right]-\frac{1}{2}\coth \left[ \frac{1}{2}\beta \mu B \right] \right] \\
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| \end{align}</math>
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| Brillouin- Funktion
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| z.B. l= 1/2:
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| <math>M=\frac{N}{V}\mu \frac{1}{2}\tanh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)</math>
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| ( Lorgevin- Funktion )
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| Dies entspricht einer thermischen Zustandsgleichung
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| <math>M\left( T,V,B \right)</math>
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| ====Hohe Temperaturen====
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| <math>kT>>\mu B</math>
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| Beispiel: B= 1 Tesla -> T >> 1K
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| Entwicklung
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| <math>\begin{align}
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| & \coth x\approx \frac{1}{x}+\frac{x}{3}+... \\
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| & x<<1 \\
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| \end{align}</math>
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| <math>\Rightarrow M=\frac{N}{V}\frac{l\left( l+1 \right)}{3}\beta {{\mu }^{2}}B</math>
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| '''linear '''in B !
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| speziell: l= 1/2:
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| <math>\Rightarrow M\left( T,V,B \right)=\frac{N}{V}\frac{{{\mu }^{2}}B}{4kT}</math>
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| Curie- Gesetz !!
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| '''magnetische Suszeptibilität '''<math>{{\chi }_{m}}</math>
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| definiert durch
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| <math>M={{\chi }_{m}}H</math>
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| <math>B={{\mu }_{0}}\left( H+M \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{m}} \right)H</math>
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| mit dem Magnetfeld <math>H</math>
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| und <math>{{\mu }_{0}}</math>
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| als absolute Permeabilität
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| <math>\Rightarrow M=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{m}}}{1+{{\chi }_{m}}}B\approx \frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{\chi }_{m}}B</math>
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| '''Vergleich mit der thermischen Zustandsgleichung:'''
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| <math>{{\chi }_{m}}={{\mu }_{0}}\frac{N}{V}\frac{l\left( l+1 \right)}{3}\frac{{{\mu }^{2}}}{kT}=\frac{C}{T}</math>
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| Mit der Curie- Konstanten C !
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| ( Mit zunehmender Temperatur wird die Ausrichtung der Momente in Feldrichtung durch die Wärmebewegung der Momente gestört ! )
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| '''Tiefe Temperaturen, hohe Magnetfelder:'''
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| <math>\begin{align}
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| & kT<<\mu B \\
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| & \coth x\approx 1 \\
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| \end{align}</math>
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| für <math>x\to \infty </math>
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| <math>\Rightarrow M=\frac{N}{V}\mu \left( \left( l+\frac{1}{2} \right)-\frac{1}{2} \right)=\frac{N}{V}\mu l</math>
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| Also:
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| Vollständige Ausrichtung aller Momente
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| ----
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| <math>\bar{\mu }\uparrow \uparrow \bar{B}</math>
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| ====Vergleich mit der klassischen rechnung====
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| <math>\bar{E}=-\bar{m}\bar{B}=-mB\cos \alpha </math>
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| mit <math>\left| {\bar{m}} \right|</math>
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| fest ( magnetisches Moment !) und <math>\alpha </math>
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| Phasenraumvariable !, Winkel zwischen dem B- Feld und den magnetischen Momenten !
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| '''Klassische Zustandssumme:'''
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| <math>Z\tilde{\ }\int_{-1}^{1}{{}}d\left( \cos \alpha \right)\exp \left( \beta mB\left( \cos \alpha \right) \right)\tilde{\ }\frac{\sinh \left( \beta mB \right)}{B}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & M=\frac{N}{V}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\ln Z=\frac{N}{V}\frac{B}{\sinh \left( \beta mB \right)}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\left( \frac{\sinh \left( \beta mB \right)}{B} \right) \\
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| | |
| & =\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| <u>'''Vergleich für l=1/2, g=2 ( Spin)'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{MV}{Nm}=\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right)=\left( \coth x-\frac{1}{x} \right) \\
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| & x=\frac{mB}{kT} \\
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| \end{align}</math>
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| klassisch
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| im Gegensatz zu quantentheoretisch: <math>\frac{MV}{Nm}=\tanh x</math>
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| Also für x-> 0 ( hohe Temperaturen):
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| <math>\frac{MV}{Nm}\to \frac{x}{3}</math>
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| ( klassisch)
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| <math>\frac{MV}{Nm}\to x</math>
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| ( quantentheoretisch !)
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| und für x -> <math>\infty </math>
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| ( tiefe Temperaturen):
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| <math>\frac{MV}{Nm}\to 1-\frac{1}{x}</math>
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| ( klassisch)
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| <math>\frac{MV}{Nm}\to 1-{{e}^{-2x}}</math>
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| ( quantentheoretisch)
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| Somit folgt ( die obere Kurve ist die quantentheoretisch ermittelte):
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| Abszisse: x = mB/(kT)
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| Ordinate: MV/Nm
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| Wie man sieht, weichen die beiden Rechnungen stark voneinander ab !
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| <u>'''Vergleich für l>>1'''</u>
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| quantentheoretisch: <math>l+\frac{1}{2}\approx l</math>
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| und <math>\mu l=m</math>
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| <math>M=\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{2l}\coth \frac{\beta mB}{2l} \right)</math>
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| Klassisch dann mit der Näherung
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| <math>\coth \frac{\beta mB}{2l}\approx \frac{2l}{\beta mB}</math>
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| für
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| <math>kT>mB</math>
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| klassisch:
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| <math>M=\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right)</math>
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| ( klassische Brillouin- Funktion )
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| <u>'''Für l=2 folgt:'''</u>
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| <u>'''Dabei ist die klassische '''</u>Kurve nun steiler ! Die Abweichung ist immer noch immens, da die quantentheoretische Kurve nun genähert ist !
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| Für l=5:
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| und schließlich l=10:
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| Dabei wurde wieder
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| Abszisse: x = mB/(kT)
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| Ordinate: MV/Nm
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| ====Energie und Entropie====
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| Entropie S für <math>l=\frac{1}{2}</math>
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| N- Teilchen- Zustandssumme <math>{{Z}^{N}}</math>
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| <math>S=k\left( \ln {{Z}^{N}}+\beta U \right)</math>
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| Statistischer Operator für kanonische Verteilung:
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| <math>{{Z}^{-1}}{{e}^{-\beta H}}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & U=-\frac{\partial }{\partial \beta }\ln {{Z}^{N}}=-N\frac{\partial }{\partial \beta }\ln \left[ 2\cosh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right) \right]=-\frac{N\mu B}{2}\frac{\sinh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right)}{\cosh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right)} \\
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| & U\left( T \right)=-\frac{N\mu B}{2}\tanh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| ( kalorische Zustandsgleichung <math>U\left( T,B \right)</math>
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| )
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| <math>\begin{align}
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| & S\left( T \right)=kN\left( \ln Z-\beta \frac{\partial }{\partial \beta }\ln Z \right) \\
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| & S\left( T \right)=kN\left[ \ln 2+\ln \cosh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right)-\frac{\beta \mu B}{2}\tanh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right) \right] \\
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| \end{align}</math>
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| '''Limes'''
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| <math>\begin{align}
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| & T\to \infty \\
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| & \Rightarrow S\left( T \right)=kN\ln 2 \\
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| & \\
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| & T->0 \\
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| & \Rightarrow S(T)\to kN\left[ \ln 2+\ln \frac{{{e}^{x}}}{2}-x\left( 1-2{{e}^{-2x}} \right) \right]=2kNx{{e}^{-2x}}\to 0 \\
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| & x:=\frac{\mu B}{2kT}\to \infty \\
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| \end{align}</math>
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| '''Im Folgenden ist die Entropie (kN=1) gegen die Temperatur ( arbitrary units) geplottet:'''
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| Dabei sind die Flacheren Kurven für größere Magnetfelder. Bei jeder Kurve wurde das Magnetfeld ( a.u.) verdoppelt !
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| ====Adiabatische Entmagnetisierung====
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| Bei paramagnetischen Salzen sind bei tiefen Temperaturen die Gitterschwingungen schon eingefroren. Noch tiefere Temperaturen erreicht man dann durch die adiabatische Entmagnetisierung ( insbesondere mit Kernspin)
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