Das ideale Fermigas

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Das ideale Fermigas basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 2) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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1. Teilchen- Zustände sind die Eigenzustände zur 1- Teilchen- Energie Ei

Großkanonischer Statistischer Operator:

$\hat{\rho }=Y^{-1}\exp (-\beta (\hat{H}-\mu \hat{N}))$

Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden ist gleich dem Erwartungswert des statistischen Operators in diesem Zustand:

Also für den Vielteilchenzustand $|\alpha ⟩$

${E_{\alpha }}^{ges.}=\sum _{j=1}^l{E}_j{N}_j$

mit der Einteilchenenergie Ej und den Besetzungszahlen Nj

Diese Wahrscheinlichkeit ist:

$P_{\alpha }=⟨\alpha |\hat{\rho }|\alpha ⟩=Y^{-1}⟨\alpha |\exp (-\beta (\hat{H}-\mu \hat{N}))|\alpha ⟩=Y^{-1}\exp (-\beta \sum _{j=1}^l(N_j{E}_j-\mu N_j))$

Dies ist ein Ergebnis für einen Zustand !

Die Großkanonsiche Zustandsumme Y gewinnt man, indem man über alle möglichen Vielteilchenzustände noch summiert, also:

$Y=\sum _{N_1...N_l}^{}\exp (-\beta \sum _{j=1}^l(N_j{E}_j-\mu N_j))=\prod _{j=1}^l(\sum _{N_j}^{}\exp (-\beta (N_j{E}_j-\mu N_j)))$

Jetzt muss bei der Auswertung die unterschiedliche Teilchenart berücksichtigt werden, nämlich in der Summation über Nj. Handelt es sich um Fermionen, so wird nur bis 1 summiert. Handelt es sich um Bosonen, so wird bis unendlich summiert !

Fermionen

$\begin{array}{ll}& Y=\sum _{N_1...N_l=0}^1\exp (-\beta \sum _{j=1}^l(N_j{E}_j-\mu N_j))=\prod _{j=1}^l(\sum _{N_j=0}^1\exp (-\beta (N_j{E}_j-\mu N_j)))\\ & =\prod _{j=1}^l\left(\sum _{N_j=0}^1{t_j}^{N_j}\right)\\ & t_j:=\exp (-\beta (E_j-\mu ))\\ & Y=\prod _{j=1}^l(1+t_j)=\prod _{j=1}^l{Y}_j\\ \end{array}$

Also folgt:

$P(N_1,...,N_l)=\prod _{j=1}^l\frac{{t_j}^{N_j}}{(1+t_j)}=\prod _{j=1}^{l}P\left(N_j\right)$

separiert !!

Dies als Gesamtwahrscheinlichkeit, das System mit der Besetzung $(N_1,...,N_l)$

zu finden !

Mittlere Besetzungszahl im Einteilchenzustand $E_j$

Aus $P\left(N_j\right)=\exp ({\mathrm{\Psi }}_j-\beta E_j-\alpha N_j)$

mit

$\begin{array}{ll}& {\mathrm{\Psi }}_j=-\ln Y_j=-\ln (1+t_j)\\ & \alpha =-\beta \mu \\ \end{array}$

folgt:

$⟨N_j⟩=\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_j}{\partial \alpha }=\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial \mu }\ln Y_j=\frac{t_j}{1+t_j}=\frac{1}{{t_j}^{-1}+1}$

Also:

$\Rightarrow ⟨N_j⟩=\frac{1}{\exp \left(\frac{E_j-\mu }{kT}\right)+1}$

Die Fermi- Verteilung !

Dies folgt auch explizit aus

$⟨N_j⟩=\sum _{N_1=0}^1\sum _{N_2=0}^1...\{N_j\frac{{t_1}^{N_1}}{1+t_1}...\frac{{t_j}^{N_j}}{1+t_j}....\}=\sum _{N_j=0}^1{N}_j.\frac{{t_j}^{N_j}}{1+t_j}=\frac{0{t_j}^0+1t_j}{1+t_j}=\frac{t_j}{1+t_j}$

speziell folgt dies auch aus

$⟨N_j⟩=p(N_j=1)=\frac{t_j}{1+t_j}$

aber nur wegen Nj = 0,1

• 2 Möglichkeiten ! -> Mittelwert liegt in der Mitte

Für T -> 0:

$⟨N_j⟩\to \mathrm{\Theta }(\mu -E_j)$

( Stufenfunktion), sogenannter Quantenlimes !

T>0:

Aufweichungszone bei $E_j\stackrel{~}{}\mu$

der Breite $\approx kT$

$E_j-\mu >>kT$

( sehr hohe Energien)

->

$⟨N_j⟩\stackrel{~}{}\exp (-\frac{E_j-\mu }{kT})$

• die Fermiverteilung nähert sich der Boltzmann- Verteilung an ( klassischer Grenzfall !!)
• keine Berücksichtigung des Pauli- Prinzips mehr !

Nj:=1/(1+exp((Ej-mue)/Boltz));

1

Nj := ---------------------

1 + exp(1/5 Ej - 1/5)

> Boltz:=5;

Boltz := 5

> mue:=1;

mue := 1

• plot(Nj,Ej=0..50);

Beispiel einer Maxwell- Boltzmann- Verteilung sehr hoher Energien !

Gesamte mittlere Teilchenzahl

$\overline{N}=\sum _{j=1}^l⟨N_j⟩$

thermische Zustandsgleichung

$pV=kT\ln Y=kT\sum _{j=1}^l\ln Y_i=kT\sum _{j=1}^l\ln (1+\exp \left(\beta (\mu -E_j)\right))$

Energie und Zustandsdichte freier Teilchen

Energie- Eigenwerte:

$E_j=\frac{{\overline{k}}^2{\hslash }^2}{2m}$

Das System sei in einem Würfel V = L³ eingeschlossen !

Zyklische Randbedingungen ( Born - v. Karman):

$\begin{array}{ll}& {\mathrm{\Psi }}_j\left(\overline{r}\right)=\frac{1}{\sqrt{V}}{e}^{i\overline{k}\overline{r}}\\ & k_{a}L=2\pi n_a\\ & n_a=\pm 1,\pm 2,\pm 3....\\ & a=1,2,3\\ \end{array}$

Ein Zustand im k- Raum beansprucht also das Volumen:

${\left(\mathrm{\Delta }k\right)}^3={\left(\frac{2\pi }{L}\right)}^3\mathrm{\Delta }{n}_1\mathrm{\Delta }{n}_2\mathrm{\Delta }{n}_3={\left(\frac{2\pi }{L}\right)}^3=\left(\frac{8{\pi }^3}{V}\right)$

Dabei wurde jedoch kein Spin berücksichtigt !

Thermodynamischer limes ( großes Volumen V):

Übergang zum Quasikontinuum:

$\begin{array}{ll}& \sum _j\to \left(\frac{V}{8{\pi }^3}\right)\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}k\\ & \overline{p}=\hslash \overline{k}\\ & \to \sum _j\to \left(\frac{V}{8{\pi }^3{\hslash }^3}\right)\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}p=\left(\frac{V}{h^3}\right)\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}p\\ \end{array}$

In Übereinstimmung mit Kapitel 4.1, Seite 100

Spinentartung:

(2s+1)- fache Entartung !

Kugelsymmetrisches Integral:

$\to \sum _j\to \left(\frac{V}{8{\pi }^3{\hslash }^3}\right)\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}p=\left(\frac{V}{h^3}\right)\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}p=(2s+1)\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi \underset{}{\overset{}{\int }}{p}^{2}dp$

Großkanonische Zustandssumme:

$\begin{array}{ll}& \ln Y=\sum _j\ln (1+\xi e^{-\beta E_j})\\ & \xi :=e^{\beta \mu }\\ \end{array}$

sogenannte Fugizität !

$\begin{array}{ll}& \ln Y=\sum _j\ln (1+\xi e^{-\beta E_j})\\ & \approx (2s+1)\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{p}^{2}dp\ln (1+\xi e^{-\beta E_j})=(2s+1)\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{p}^{2}dp\ln (1+\xi e^{-\beta \frac{p^2}{2m}})\\ \end{array}$

Partielle Integration:

$\begin{array}{ll}& \ln Y\approx (2s+1)\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{p}^{2}dp\ln (1+\xi e^{-\beta \frac{p^2}{2m}})\\ & =(2s+1)\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi [{(\frac{p^3}{3}\ln (1+\xi e^{-\beta \frac{p^2}{2m}}))|}_0^{\mathrm{\infty }}-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\frac{p}{3}}^3\frac{-\beta \frac{p}{m}\xi e^{-\beta \frac{p^2}{2m}}}{(1+\xi e^{-\beta \frac{p^2}{2m}})}dp]\\ & {(\frac{p^3}{3}\ln (1+\xi e^{-\beta \frac{p^2}{2m}}))|}_0^{\mathrm{\infty }}=0\\ & \Rightarrow \ln Y=-(2s+1)\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\frac{p}{3}}^3\frac{-\beta \frac{p}{m}\xi e^{-\beta \frac{p^2}{2m}}}{(1+\xi e^{-\beta \frac{p^2}{2m}})}dp=\frac{2}{3}(2s+1)\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dp{p}^2\frac{\beta \frac{p^2}{2m}}{(\frac{1}{\xi }{e}^{\beta \frac{p^2}{2m}}+1)}\\ & =\frac{2}{3}\beta (2s+1)\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dp{p}^2⟨N(p)⟩\frac{p^2}{2m}\\ \end{array}$

Mit der Fermi- Verteilung $⟨N(p)⟩$

, also:

$\ln Y=\frac{2}{3}\beta (2s+1)\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dp{p}^2⟨N(p)⟩E(p)$

Diskret:

$\begin{array}{ll}& \ln Y=\frac{2}{3}\beta \sum _{j=1}^l⟨N_j⟩E_j=\frac{2}{3}\beta U\\ & U=⟨E^{ges.}⟩\\ \end{array}$

Somit haben wir die thermische Zustands-Gleichung

$pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U=\frac{2}{3}⟨E^{ges.}⟩$

Bemerkungen

Dies gilt auch für ein klassisches ideales Gas !

Klassisch:

$\begin{array}{ll}& pV=\overline{N}kT\\ & U=\frac{3}{2}\overline{N}kT\\ & \Rightarrow pV=\frac{2}{3}U\\ \end{array}$

Später werden wir sehen: Das gilt auch für Bose- Verteilung !!

Also unabhängig von der speziellen Statistik !

Entartetes Fermi- Gas

Klassischer Grenzfall der Fermi- Verteilung:

$⟨N\left(p\right)⟩=\frac{1}{(\frac{1}{\xi }{e}^{\beta \frac{p^2}{2m}}+1)}\approx \xi e^{-\beta \frac{p^2}{2m}}$

( Maxwell- Boltzmann- Verteilung)

für $\xi =e^{\frac{\mu }{kT}}<<1\Rightarrow \mu <0$

( stark verdünnt)

• klassischer Limes !
• Merke positives chemisches Potenzial ist ein QM- Grenzfall !!

Nichtklassischer Grenzfall ( "Fermi- Entartung ")

Für $\xi >>1$

( Grenzfall hoher Dichte !)

Gesamte Teilchenzahl:

$\overline{N}=(2s+1)\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dp{p}^2\frac{1}{(e^{\beta (\frac{p^2}{2m}-\mu )}+1)}$

Innere Energie:

$U=(2s+1)\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dp{p}^2\frac{\frac{p^2}{2m}}{(e^{\beta (\frac{p^2}{2m}-\mu )}+1)}$

Substitution

$\begin{array}{ll}& \frac{p^2}{2mkT}=y\\ & pdp=mkTdy\\ & \frac{\mu }{kT}=\eta =-\alpha \\ & \overline{N}=\frac{(2s+1)}{2}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi {\left(2mkT\right)}^{\frac{3}{2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy\frac{y^{\frac{1}{2}}}{(e^{y-\eta }+1)}\\ & U=\frac{(2s+1)}{2}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi {\left(2mkT\right)}^{\frac{3}{2}}kT\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy\frac{y^{\frac{3}{2}}}{(e^{y-\eta }+1)}\\ \end{array}$

Definition: Fermi- Dirac- Integral der Ordnung s:

$\begin{array}{ll}& F_s\left(\eta \right):=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s+1)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy\frac{y^s}{(e^{y-\eta }+1)}\\ & s>0\\ \end{array}$

Entwicklung für

$\eta >>1\Rightarrow \xi >>1$

, also Entartung:

$\begin{array}{ll}& \mathrm{\Gamma }(s+1)F_s\left(\eta \right):=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy\frac{y^s}{(e^{y-\eta }+1)}=\frac{1}{s+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy\frac{d}{dy}\left(y^{s+1}\right)\frac{1}{(e^{y-\eta }+1)}\\ & =\frac{1}{s+1}{\left[\left(y^{s+1}\right)\frac{1}{(e^{y-\eta }+1)}\right]|}_0^{\mathrm{\infty }}+\frac{1}{s+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^{s+1}\frac{e^{y-\eta }}{{(e^{y-\eta }+1)}^2}\\ & \frac{1}{s+1}{\left[\left(y^{s+1}\right)\frac{1}{(e^{y-\eta }+1)}\right]|}_0^{\mathrm{\infty }}=0\\ \end{array}$

weitere Substitution:

$\begin{array}{ll}& x=y-\eta \\ & \Rightarrow \mathrm{\Gamma }(s+1)F_s\left(\eta \right)=\frac{1}{s+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^{s+1}\frac{e^{y-\eta }}{{(e^{y-\eta }+1)}^2}=\frac{1}{s+1}\underset{-\eta }{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{(x+\eta )}^{s+1}\frac{e^x}{{(e^x+1)}^2}\\ & \eta >>1\\ \end{array}$

Somit kann man die Grenzen erweitern, da $\eta >>1$

$\begin{array}{ll}& x=y-\eta \\ & \Rightarrow \mathrm{\Gamma }(s+1)F_s\left(\eta \right)=\frac{1}{s+1}\underset{-\eta }{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{(x+\eta )}^{s+1}\frac{e^x}{{(e^x+1)}^2}\approx \frac{1}{s+1}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{(x+\eta )}^{s+1}\frac{e^x}{{(e^x+1)}^2}+O\left(e^{-\eta }\right)\\ & O\left(e^{-\eta }\right)<<1\\ \end{array}$

Dies kann man durch Entwicklung von

${(x+\eta )}^{s+1}$

lösen:

${(x+\eta )}^{s+1}\approx {\left(\eta \right)}^{s+1}+(s+1){\left(\eta \right)}^{s}x+\frac{s(s+1)}{2}{\left(\eta \right)}^{s-1}{x}^2+....$

Somit:

$\begin{array}{ll}& \mathrm{\Gamma }(s+1)F_s\left(\eta \right)=\frac{1}{s+1}\underset{-\eta }{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{(x+\eta )}^{s+1}\frac{e^x}{{(e^x+1)}^2}\approx \frac{1}{s+1}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{(x+\eta )}^{s+1}\frac{e^x}{{(e^x+1)}^2}+O\left(e^{-\eta }\right)\\ & \approx \frac{1}{s+1}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{\left(\eta \right)}^{s+1}\frac{e^x}{{(e^x+1)}^2}+\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{\left(\eta \right)}^{s}x\frac{e^x}{{(e^x+1)}^2}+\frac{s}{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{\left(\eta \right)}^{s-1}{x}^2\frac{e^x}{{(e^x+1)}^2}\\ & =\frac{{\left(\eta \right)}^{s+1}}{s+1}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\frac{e^x}{{(e^x+1)}^2}+{\left(\eta \right)}^s\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\frac{x{e}^x}{{(e^x+1)}^2}+\frac{s}{2}{\left(\eta \right)}^{s-1}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{x}^2\frac{e^x}{{(e^x+1)}^2}\\ \end{array}$

Für die Terme gilt im Einzelnen:

$\begin{array}{ll}& \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\frac{e^x}{{(e^x+1)}^2}={\left[\frac{-1}{(e^x+1)}\right]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}=1\\ & \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\frac{x{e}^x}{{(e^x+1)}^2}=0daIntegrandungerade\\ & \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{x}^2\frac{e^x}{{(e^x+1)}^2}:=I\\ \end{array}$

Bleibt Integral I zu lösen:

$\begin{array}{ll}& I=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{x}^2\frac{e^x}{{(e^x+1)}^2}=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{x}^2\frac{e^x}{{(e^x+1)}^2}=-2{\left[x^2\frac{1}{(e^x+1)}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}+4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\frac{x}{(e^x+1)}\\ & {\left[x^2\frac{1}{(e^x+1)}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}=0\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\frac{x}{(e^x+1)}=\frac{{\pi }^2}{12}\\ & \Rightarrow I=\frac{{\pi }^2}{3}\\ \end{array}$

Somit ergibt sich das Fermi- Dirac- Integral gemäß

$\begin{array}{ll}& \mathrm{\Gamma }(s+1)F_s\left(\eta \right)\approx \frac{{\left(\eta \right)}^{s+1}}{s+1}+\frac{s}{2}{\left(\eta \right)}^{s-1}\frac{{\pi }^2}{3}\\ & \mathrm{\Gamma }(s+1)F_s\left(\eta \right)=\frac{{\left(\eta \right)}^{s+1}}{s+1}+\frac{s}{2}{\left(\eta \right)}^{s-1}\frac{{\pi }^2}{3}+O\left({\left(\eta \right)}^{s-3}\right)\\ & \Rightarrow F_s\left(\eta \right)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s+1)}[\frac{{\left(\eta \right)}^{s+1}}{s+1}+\frac{s{\pi }^2}{6}{\left(\eta \right)}^{s-1}+O\left({\left(\eta \right)}^{s-3}\right)]\\ \end{array}$

Speziell:

$\begin{array}{ll}& F_{\frac{1}{2}}\left(\eta \right)\approx \frac{2}{\sqrt{\pi }}[\frac{{\left(\eta \right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{{\pi }^2}{12}{\left(\eta \right)}^{-\frac{1}{2}}]\\ & F_{\frac{3}{2}}\left(\eta \right)\approx \frac{4}{3\sqrt{\pi }}[\frac{{\left(\eta \right)}^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+\frac{{\pi }^2}{4}{\left(\eta \right)}^{\frac{1}{2}}]\\ \end{array}$

Also:

$\begin{array}{ll}& \overline{N}=\frac{(2s+1)}{2}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi {\left(2mkT\right)}^{\frac{3}{2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy\frac{y^{\frac{1}{2}}}{(e^{y-\eta }+1)}=\frac{(2s+1)}{2}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi {\left(2mkT\right)}^{\frac{3}{2}}[\frac{2}{3}{\left(\frac{\mu }{kT}\right)}^{\frac{3}{2}}+\frac{{\pi }^2}{12}{\left(\frac{\mu }{kT}\right)}^{-\frac{1}{2}}]\\ & \Rightarrow \overline{N}=\frac{2}{3}\frac{(2s+1)}{2}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi {\left(2m\mu \right)}^{\frac{3}{2}}[1+\frac{{\pi }^2}{8}{\left(\frac{kT}{\mu }\right)}^2]\\ \end{array}$

Definition: Fermi- Energie:

$E_F:=\mu (T=0,\overline{N},V)$

Bei T= 0 Kelvin sind die Zustände mit $E<E_F$

voll besetzt, die anderen leer !

Wir können dann $\mu (T=0,\overline{N},V)$

durch $E_F$

und $\overline{N}$

eliminieren:

T->0

$\begin{array}{ll}& \overline{N}=\frac{2}{3}\frac{(2s+1)}{2}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi {\left(2m\mu \right)}^{\frac{3}{2}}[1+\frac{{\pi }^2}{8}{\left(\frac{kT}{\mu }\right)}^2]=\frac{2}{3}\frac{(2s+1)}{2}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi {\left(2m{E}_F\right)}^{\frac{3}{2}}\\ & \\ \end{array}$

Für größere Temperaturen T>0 wird nun

$\begin{array}{ll}& \overline{N}=\frac{2}{3}\frac{(2s+1)}{2}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi {\left(2m{E}_F\right)}^{\frac{3}{2}}\\ & \\ \end{array}$

in niedrigster Ordnung in $\frac{kT}{E_F}$

entwickelt und diese Entwicklung dann eingesetzt in die Formel

$\begin{array}{ll}& \overline{N}=\frac{2}{3}\frac{(2s+1)}{2}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi {\left(2m\mu \right)}^{\frac{3}{2}}[1+\frac{{\pi }^2}{8}{\left(\frac{kT}{\mu }\right)}^2]=\frac{2}{3}\frac{(2s+1)}{2}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi {\left(2m{E}_F\right)}^{\frac{3}{2}}\\ & \Rightarrow {\left(\mu \right)}^{\frac{3}{2}}[1+\frac{{\pi }^2}{8}{\left(\frac{kT}{\mu }\right)}^2]\approx {\left(E_F\right)}^{\frac{3}{2}}\\ & \Rightarrow \mu \approx E_F{[1+\frac{{\pi }^2}{8}{\left(\frac{kT}{\mu }\right)}^2]}^{-\frac{2}{3}}\\ \end{array}$

Jetzt wird in niedrigster Ordnung in $\frac{kT}{E_F}$

entwickelt:

Das heißt, für kT=1 zeigt µ über Ef etwa folgenden verlauf:

die Kurve wird für höhere Temperaturen immer weiter auseinandergedehnt !

Innere Energie

$\begin{array}{ll}& U=\frac{(2s+1)}{2}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi {\left(2mkT\right)}^{\frac{3}{2}}kT\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy\frac{y^{\frac{3}{2}}}{(e^{y-\eta }+1)}\\ & F_{\frac{3}{2}}\left(\eta \right)\approx \frac{4}{3\sqrt{\pi }}[\frac{{\left(\eta \right)}^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+\frac{{\pi }^2}{4}{\left(\eta \right)}^{\frac{1}{2}}]\\ \end{array}$

Also:

$\begin{array}{ll}& U=\frac{(2s+1)}{2}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi {\left(2m\right)}^{\frac{3}{2}}{\left(kT\right)}^{\frac{5}{2}}[\frac{2}{5}{\left(\frac{\mu }{kT}\right)}^{\frac{5}{2}}+\frac{{\pi }^2}{4}{\left(\frac{\mu }{kT}\right)}^{\frac{1}{2}}]\\ & =\frac{2}{5}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi \frac{(2s+1)}{2}{\left(2m\right)}^{\frac{3}{2}}{\left(\mu \right)}^{\frac{5}{2}}[1+\frac{5}{2}\frac{{\pi }^2}{4}{\left(\frac{kT}{\mu }\right)}^2]\\ \end{array}$

Verwende:

So dass:

$\begin{array}{ll}& U=\frac{2}{5}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi \frac{(2s+1)}{2}{\left(2m\right)}^{\frac{3}{2}}{\left(\mu \right)}^{\frac{5}{2}}[1+\frac{5}{2}\frac{{\pi }^2}{4}{\left(\frac{kT}{\mu }\right)}^2]\\ & \approx \frac{2}{5}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi \frac{(2s+1)}{2}{\left(2m\right)}^{\frac{3}{2}}{\left(E_F\right)}^{\frac{5}{2}}{[1-\frac{{\pi }^2}{12}{\left(\frac{kT}{E_F}\right)}^2]}^{\frac{5}{2}}[1+\frac{5}{2}\frac{{\pi }^2}{4}{\left(\frac{kT}{E_F}\right)}^2]\\ \end{array}$

Mit

$\overline{N}=\frac{2}{3}\frac{(2s+1)}{2}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi {\left(2m{E}_F\right)}^{\frac{3}{2}}$

folgt:

$\begin{array}{ll}& U\approx \frac{2}{5}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi \frac{(2s+1)}{2}{\left(2m\right)}^{\frac{3}{2}}{\left(E_F\right)}^{\frac{5}{2}}{[1-\frac{{\pi }^2}{12}{\left(\frac{kT}{E_F}\right)}^2]}^{\frac{5}{2}}[1+\frac{5}{2}\frac{{\pi }^2}{4}{\left(\frac{kT}{E_F}\right)}^2]\\ & \frac{2}{5}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi \frac{(2s+1)}{2}{\left(2m\right)}^{\frac{3}{2}}{\left(E_F\right)}^{\frac{5}{2}}\approx \frac{3}{5}\overline{N}{E}_F\\ & {[1-\frac{{\pi }^2}{12}{\left(\frac{kT}{E_F}\right)}^2]}^{\frac{5}{2}}[1+\frac{5}{2}\frac{{\pi }^2}{4}{\left(\frac{kT}{E_F}\right)}^2]\approx 1+5\frac{{\pi }^2}{12}{\left(\frac{kT}{E_F}\right)}^2\\ & \Rightarrow U\approx \frac{3}{5}\overline{N}{E}_F[1+5\frac{{\pi }^2}{12}{\left(\frac{kT}{E_F}\right)}^2]\\ \end{array}$

Somit haben wir die kalorische Zustandsgleichung

$U\approx \frac{3}{5}\overline{N}{E}_F[1+5\frac{{\pi }^2}{12}{\left(\frac{kT}{E_F}\right)}^2]$

und die thermische Zustandsgleichung

$pV=\frac{2}{3}U\approx \frac{2}{5}\overline{N}{E}_F[1+5\frac{{\pi }^2}{12}{\left(\frac{kT}{E_F}\right)}^2]$

Das bedeutet:

Der Druck des fermigases ist um einen Faktor $\frac{E_F}{kT}$

größer als in klassischen idealen Gasen

Beispiel:

$E_F\approx 1eV\Rightarrow T\stackrel{~}{}{10}^{4}K$

1 eV entspricht 10.000 K !!

Grund ist das Pauli- Prinzip !!

Also eine effektive Abstoßung der Teilchen ! Dies bewirkt für niedrige Temperaturen den enormen Faktor

$\frac{E_F}{kT}$

, mit dem der Druck gegenüber dem idealen Gas zu multiplizieren ist.

Für sehr hohe Temperaturen überwiegt dann der hintere teil, und es gilt:

Der Fermidruck ist etwa

$pV=\frac{2}{3}U\approx \frac{2}{5}\overline{N}{E}_{F}5\frac{{\pi }^2}{12}{\left(\frac{kT}{E_F}\right)}^2=\frac{{\pi }^2}{6}\overline{N}kT\left(\frac{kT}{E_F}\right)$

Also auch größer als beim klassischen idealen Gas, nämlich um den Faktor $\left(\frac{kT}{E_F}\right)$

!

Spezifische Wärme

$\begin{array}{ll}& C_V={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V=\frac{{\pi }^2}{2}\overline{N}k\left(\frac{kT}{E_F}\right)\\ & c_V=\frac{{\pi }^2}{2}R\left(\frac{kT}{E_F}\right)\stackrel{~}{}T\\ \end{array}$

Die Wärmekapazität ist sage und schreibe um den Faktor $\left(\frac{kT}{E_F}\right)$

kleiner als bei idealen gasen.

Bei T ~ 300 K ist dies 1/ 40 !

ideales Gas:

$c_V=\frac{3}{2}R$

Physikalsicher Grund:

Nur die Teilchen in der " Aufweichungszone"

$E_F-kT<E<E_F+kT$

tragen zur spezifischen Wärme bei , da nur sie in freie Zustände thermisch angeregt werden könen :

Zahl:

$\mathrm{\Delta }N\stackrel{~}{}\overline{N}\frac{kT}{E_F}$

jedes hat Energie ~ kT

$\begin{array}{ll}& \Rightarrow \mathrm{\Delta }U\stackrel{~}{}\overline{N}\frac{{\left(kT\right)}^2}{E_F}\\ & \Rightarrow C_v\stackrel{~}{}\overline{N}k\frac{\left(kT\right)}{E_F}\\ \end{array}$

Beispiele für entartete Fermigase

• Elektronen in Metallen -> hohe Dichten !
• Elektronen in Halbleitern, bei sehr tiefen Temperaturen oder hoher Dotierung!

Nichtenatartetes fermigas

verdünntes, nichtrelativistisches Quantengas !

z.B. Elektronen in Halbleitern im Normalbereich !

Voraussetzung:

$\xi =e^{\frac{\mu }{kT}}<<1$

das heißt:

$\begin{array}{ll}& \mu <0\\ & \eta =\frac{\mu }{kT}<0\\ \end{array}$

Entwicklung der Fermi- Dirac- Integrale nach Potenzen von $\xi =e^{\frac{\mu }{kT}}<<1$

$\begin{array}{ll}& F_s\left(\eta \right)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s+1)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy\frac{y^s}{e^{y-\eta }+1}\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s+1)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^s\frac{\xi e^{-y}}{1+\xi e^{-y}}\approx \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s+1)}[\xi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^s{e}^{-y}-{\xi }^2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^s{e}^{-2y}+....]\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^s{e}^{-y}=\mathrm{\Gamma }(s+1)\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^s{e}^{-2y}=\frac{1}{2^{s+1}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dz{z}^s{e}^{-z}=\frac{1}{2^{s+1}}\mathrm{\Gamma }(s+1)\\ & \Rightarrow F_s\left(\eta \right)\approx [\xi -{\xi }^2\frac{1}{2^{s+1}}+....]\approx [\xi -{\xi }^2\frac{1}{2^{s+1}}]=e^{\frac{\mu }{kT}}[1-e^{\frac{\mu }{kT}}\frac{1}{2^{s+1}}]\\ \end{array}$

Dabei ist

$F_s\left(\eta \right)=e^{\frac{\mu }{kT}}$

das Boltzman- Limit mit der Quantenkorrektur $-e^{2\frac{\mu }{kT}}\frac{1}{2^{s+1}}$

Also:

$\overline{N}=\frac{(2s+1)}{2}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi {\left(2mkT\right)}^{\frac{3}{2}}\frac{\sqrt{\pi }}{2}{F}_{\frac{1}{2}}\left(\eta \right)=V{N}_C{F}_{\frac{1}{2}}\left(\frac{\mu }{kT}\right)$

mit der Entartungskonzentration

$N_C:=(2s+1){\left(\frac{2\pi mkT}{h^2}\right)}^{\frac{3}{2}}$

Also genähert:

$\overline{N}=V{N}_C{F}_{\frac{1}{2}}\left(\frac{\mu }{kT}\right)\approx V{N}_C{e}^{\frac{\mu }{kT}}[1-e^{\frac{\mu }{kT}}\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}]$

Bei vollständiger Nichtentartung:

$\begin{array}{ll}& \frac{\overline{N}}{V}\approx N_C{e}^{\frac{\mu }{kT}}\\ & e^{\frac{\mu }{kT}}<<1\\ & \frac{\overline{N}}{V}<<N_C\\ \end{array}$

Die klassische Maxwell- Boltzmann- Verteilung ( vergl. S. 101)

$\begin{array}{ll}& U=\frac{(2s+1)}{2}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi {\left(2mkT\right)}^{\frac{3}{2}}kT\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy\frac{y^{\frac{3}{2}}}{(e^{y-\eta }+1)}=\frac{(2s+1)}{2}\left(\frac{V}{h^3}\right)4\pi {\left(2mkT\right)}^{\frac{3}{2}}kT\frac{3\sqrt{\pi }}{4}{F}_{\frac{3}{2}}\left(\frac{\mu }{kT}\right)\\ & U=V{N}_C\frac{3}{2}kT{F}_{\frac{3}{2}}\left(\frac{\mu }{kT}\right)\\ & U\approx V{N}_C\frac{3}{2}kT{e}^{\frac{\mu }{kT}}[1-e^{\frac{\mu }{kT}}\frac{1}{2^{\frac{5}{2}}}]\\ \end{array}$

Elimination von $\mu$

durch $\overline{N}=V{N}_C{F}_{\frac{1}{2}}\left(\frac{\mu }{kT}\right)\approx V{N}_C\xi [1-\xi 2^{-\frac{3}{2}}]$

1. Näherung:

$\overline{N}=V{N}_C\xi$

1. Näherung

$\begin{array}{ll}& \overline{N}=V{N}_C\xi [1-2^{-\frac{3}{2}}\frac{\overline{N}}{V{N}_C}]\\ & \Rightarrow \xi =e^{\frac{\mu }{kT}}\approx \frac{\overline{N}}{V{N}_C}[1+2^{-\frac{3}{2}}\frac{\overline{N}}{V{N}_C}]\\ & \Rightarrow U\approx V{N}_C\frac{3}{2}kT{e}^{\frac{\mu }{kT}}[1-e^{\frac{\mu }{kT}}\frac{1}{2^{\frac{5}{2}}}]\approx \frac{3}{2}kT\overline{N}[1+2^{-\frac{3}{2}}\frac{\overline{N}}{V{N}_C}][1-\frac{1}{2^{\frac{5}{2}}}\frac{\overline{N}}{V{N}_C}]\\ \end{array}$

$U\approx \frac{3}{2}kT\overline{N}[1+2^{-\frac{5}{2}}\frac{\overline{N}}{V{N}_C(T)}]$

Dabei wurden alle Terme der Ordnung ${\left(\frac{\overline{N}}{V{N}_C(T)}\right)}^2$

weggenähert !

Also:

kalorische Zustandsgleichung

$U\approx \frac{3}{2}kT\overline{N}[1+2^{-\frac{5}{2}}\frac{\overline{N}}{V{N}_C(T)}]$

mit der Quantenkorrektur $O\left(\frac{\overline{N}}{V{N}_C(T)}\right)$

$\frac{3}{2}kT\overline{N}{2}^{-\frac{5}{2}}\frac{\overline{N}}{V{N}_C(T)}$

thermische Zustandsgleichung

$pV=\frac{2}{3}U\approx kT\overline{N}[1+2^{-\frac{5}{2}}\frac{\overline{N}}{V{N}_C(T)}]$

Also:

$pv\approx RT[1+2^{-\frac{5}{2}}\frac{N_A}{v{N}_C(T)}]$

Dabei ist

$pv\approx RT$

die Zustandsgleichung des klassischen idealen Gases und $RT{2}^{-\frac{5}{2}}\frac{N_A}{v{N}_C(T)}$

eine Erhöhung des klassischen Drucks durch die Fermi- Abstoßung !

Nebenbemerkung:

Mit der thermischen Wellenlänge $\lambda :={\left(\frac{h^2}{2\pi mkT}\right)}^{\frac{1}{2}}$

entsprechend der de Broglie- Wellenlänge für $\frac{k^2{\hslash }^2}{2m}\stackrel{~}{}kT\Rightarrow \lambda ={\left(\frac{h^2}{2mkT}\right)}^{\frac{1}{2}}$

E= kT also, schreibt man:

$N_C=\frac{2s+1}{{\lambda }^3}$