Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Betrachte N ununterscheidbare / identische Teilchen:

N- Teilchenzustand:

$|a_1,a_2,...,a_i,...,a_N⟩$

dabei ist ai der Satz der 1- Teilchen - Quantenzahlen

Die Teilchennummer ist lediglich ein Platzhalter für die Stellung im Ket:

Führe ein: Permutationsoperator:

${\hat{P}}_{ij}\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2,...,{\overline{x}}_i,...,{\overline{x}}_j,....):=\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2,...,{\overline{x}}_j,...,{\overline{x}}_i,....)$

Ununterscheidbarkeit verlangt:

$\begin{array}{rl}& {\hat{P}}_{ij}\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2,...,{\overline{x}}_i,...,{\overline{x}}_j,....):=\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2,...,{\overline{x}}_j,...,{\overline{x}}_i,....)=e^{i\nu }\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2,...,{\overline{x}}_i,...,{\overline{x}}_j,....)\\ & {{\hat{P}}_{ij}}^2=\overline{\overline{1}}\\ \end{array}$

Wegen der Ununterscheidbarkeit müssen alle Observablen mit ${\hat{P}}_{ij}$

vertauschen, insbesondere

$[\hat{H},{\hat{P}}_{ij}]=0\Rightarrow {\hat{P}}_{ij}$

ist Erhaltungsgröße !

Es gilt:

${{\hat{P}}_{ij}}^2=\overline{\overline{1}}$

Somit folgt:

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow {\hat{P}}_{ij}\mathrm{\Psi }={\lambda }_{ij}\mathrm{\Psi }\\ & {{\lambda }_{ij}}^2=1\\ \end{array}$

Wichtig:

${\left|\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2)\right|}^2={\left|\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_2,{\overline{x}}_1)\right|}^2$

Ansonsten wären die Teilchen unterscheidbar ! Also: $\begin{array}{rl}& {\left|{\hat{P}}_{ij}\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2)\right|}^2={\left|\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_2,{\overline{x}}_1)\right|}^2={\left|\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2)\right|}^2\Rightarrow {\left|{\lambda }_{ij}\right|}^2=1\\ & \Rightarrow {\lambda }_{ij}=\pm 1\\ \end{array}$

Charakteristikum des Zustandes, bzw. der Teilchensorte !

Betrachte speziell: 2- Teilchen- System: Sei $|a,b⟩={|a⟩}_1{|b⟩}_2\in H\times H$

Dann ist ${|a,b⟩}_s=\frac{1}{2}(1+{\hat{P}}_{12})|a,b⟩$

ein Eigenzustand von ${\hat{P}}_{12}$ zum Eigenwert +1, der symmetrische Zustand !

denn:

${\hat{P}}_{12}{|a,b⟩}_s={\hat{P}}_{12}\frac{1}{2}(1+{\hat{P}}_{12})|a,b⟩=\frac{1}{2}({\hat{P}}_{12}+{{\hat{P}}_{12}}^2)|a,b⟩=\frac{1}{2}({\hat{P}}_{12}+1)|a,b⟩={|a,b⟩}_s$

und

${|a,b⟩}_a=\frac{1}{2}(1-{\hat{P}}_{12})|a,b⟩$

ist der antisymmetrische Zustand von ${\hat{P}}_{12}$ zum Eigenwert -1, denn: ${\hat{P}}_{12}{|a,b⟩}_a=\frac{1}{2}({\hat{P}}_{12}-1)|a,b⟩=-{|a,b⟩}_a$

N- Teilchensystem

Alle ${\hat{P}}_{\left(ij\right)}$ kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch nicht untereinander !. Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind scheinbar nur die Zustände realisiert, die bei Vertauschung beliebiger ununterscheidbarer Teilchen symmetrisch ${\lambda }_{ij}=+1$ oder antisymmetrisch ${\lambda }_{ij}=-1$

sind !

• Reduktion des Hilbertraumes $H\times H\times ...\times H$
• ( N- mal) auf einen symmetrischen, also ${H_N}^{+}$
• und einen antisymmetrischen , also ${H_N}^{-}$
• Teilraum erlaubter Zustände !

Bosonen ( Teilchen mit symmetrischem Zustand), sind alle Teilchen mit ganzzahligem Spin: s=0,1,2,...., wie Photonen, Phononen oder $4^{}{H}_e$

• Bose- Einstein- Statistik

Fermionen = Teilchen mit antisymmetrischem Zustand sind alle Teilchen mit halbzahligem Spin: s= 1/2, 3/2, etc..., wie Elektronen, Proton, Neutron, $3^{}{H}_e$

• Fermi - Dirac- Statistik

Erfahrungstatsache ! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie !

Bosonen- Hilbertraum: ${H_N}^{+}=\hat{S}{H}_N=\frac{1}{N!}\sum _{\rho =1}^{N!}{\hat{P}}_{\left(\rho \right)}{H}_N$

Dabei charakterisiert der Index $\rho$ die $\rho$ - te Permutation von (123...N)

$\hat{S}$ ist der sogenannte Symmetrisierungsoperator ${\hat{S}}^2=\hat{S}$ ->$\hat{S}$ ist ein Projektor

• er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !

Fermionen- Hilbertraum: ${H_N}^{-}=\hat{A}{H}_N=\frac{1}{N!}\sum _{\rho =1}^{N!}{(-1)}^{\rho }{\hat{P}}_{\left(\rho \right)}{H}_N$

Dabei charakterisiert der Index $\rho$ die $\rho$ - te Permutation von (123...N)

$\hat{A}$ ist der sogenannte Antisymmetrisierungsoperator ${\hat{A}}^2=\hat{A}$ ->$\hat{A}$ ist ein Projektor

• er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !

Pauli- Prinzip

Wellenfunktionen total antisymmetrisch -> 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden !

Hilbertraum variabler Teilchenzahl ( großkanonisches Ensemble)

$H=\sum _{N=0}^{\mathrm{\infty }}{H_N}^{+}$

• Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum !

$H=\sum _{N=0}^{\mathrm{\infty }}{H_N}^{+}$ ist der sogenannte Fock- Raum !

Ideales Gas ( WW- freie, identische Teilchen):

Übergang zur Besetzungszahldarstellung: $|a_1,...,a_N⟩\to |N_1,...,N_j,...,N_l⟩$

links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand ai

rechts: Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes $|j⟩$ durch $|N_j⟩$ charakterisiert ( inkl. Spin!)

Bosonen: $N_j=0,1,2,...$

Fermionen $N_j=0,1$

dabei sind die Nj die Eigenwerte des Besetzungszahloperators ${\hat{N}}_j={a_j}^{+}{a}_j$