Klassisch- mechanische Gleichgewichtsverteilungen: Difference between revisions
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'''Hamiltonfunktion''' | '''Hamiltonfunktion''' | ||
<math>H\left( \xi \right)=H\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)</math> | :<math>H\left( \xi \right)=H\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)</math> | ||
'''Hamiltonsche Gleichungen''': | '''Hamiltonsche Gleichungen''': | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{{\dot{q}}}_{k}}=\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \\ | & {{{\dot{q}}}_{k}}=\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \\ | ||
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Lösung: | Lösung: | ||
<math>\xi (t)</math> | :<math>\xi (t)</math> | ||
als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math>( bei euklidischer metrik) gegeben durch das 6N- dimensionale Vektorfeld | als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math>( bei euklidischer metrik) gegeben durch das 6N- dimensionale Vektorfeld | ||
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als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz ({{FB|Kontinuitätsgleichung}}): | als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz ({{FB|Kontinuitätsgleichung}}): | ||
<math>\frac{\partial \rho \left( \xi \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=0</math> | :<math>\frac{\partial \rho \left( \xi \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=0</math> | ||
Interpretation: | Interpretation: | ||
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Die Änderung der Dichte in dem mit dem Fluss mitbewegten lokalen Koordinatensystem ist: | Die Änderung der Dichte in dem mit dem Fluss mitbewegten lokalen Koordinatensystem ist: | ||
<math>\frac{d\rho \left( \xi ,t \right)}{dt}=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)</math> | :<math>\frac{d\rho \left( \xi ,t \right)}{dt}=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)</math> | ||
Wegen <math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math> | Wegen <math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math> | ||
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folgt aus der Kontinuitätsgleichung | folgt aus der Kontinuitätsgleichung | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\rho div\dot{\xi } \\ | & \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\rho div\dot{\xi } \\ | ||
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Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen: | Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}d\xi \rho \left( \xi \right){{M}^{n}}\left( \xi \right) \\ | & \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}d\xi \rho \left( \xi \right){{M}^{n}}\left( \xi \right) \\ | ||
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m=1: | m=1: | ||
<math>{{M}^{1}}\left( \xi \right)=H\left( \xi \right)</math> | :<math>{{M}^{1}}\left( \xi \right)=H\left( \xi \right)</math> | ||
Hamiltonfunktion als eine Art " Zufallsfunktion" | Hamiltonfunktion als eine Art " Zufallsfunktion" | ||
<math>{{\lambda }_{1}}=\beta </math> | :<math>{{\lambda }_{1}}=\beta </math> | ||
thermodynamisch konjugierter intensiver Parameter | thermodynamisch konjugierter intensiver Parameter | ||
<math>\left\langle {{M}^{1}} \right\rangle =U</math> | :<math>\left\langle {{M}^{1}} \right\rangle =U</math> | ||
innere Energie <- enthält nicht die makroskopische Bewegung des Systems als Ganzes ! | innere Energie <- enthält nicht die makroskopische Bewegung des Systems als Ganzes ! | ||
<math>Z=\exp \left( -\Psi \right)=\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d\xi \exp \left( -\beta H\left( \xi \right) \right)</math> | :<math>Z=\exp \left( -\Psi \right)=\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d\xi \exp \left( -\beta H\left( \xi \right) \right)</math> | ||
kanonische Zustandssumme ( Partition function) | kanonische Zustandssumme ( Partition function) | ||
<math>\rho \left( \xi \right)={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H\left( \xi \right) \right)</math> | :<math>\rho \left( \xi \right)={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H\left( \xi \right) \right)</math> | ||
als Dichteverteilung | als Dichteverteilung | ||
Line 154: | Line 154: | ||
m=2: | m=2: | ||
<math>{{M}^{2}}\left( \xi \right)=N</math> | :<math>{{M}^{2}}\left( \xi \right)=N</math> | ||
Variable Teilchenzahl als Zufallsgröße | Variable Teilchenzahl als Zufallsgröße | ||
<math>{{\lambda }_{2}}=-\beta \mu </math> | :<math>{{\lambda }_{2}}=-\beta \mu </math> | ||
Konvention | Konvention | ||
<math>\left\langle {{M}^{2}} \right\rangle =\bar{N}</math> | :<math>\left\langle {{M}^{2}} \right\rangle =\bar{N}</math> | ||
mittlere Teilchenzahl | mittlere Teilchenzahl | ||
<math>Y=\exp \left( -\Psi \right)=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}\exp \left[ -\beta \left( H\left( {{\xi }_{N}} \right)-\mu N \right) \right]</math> | :<math>Y=\exp \left( -\Psi \right)=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}\exp \left[ -\beta \left( H\left( {{\xi }_{N}} \right)-\mu N \right) \right]</math> | ||
grokanonische Zustandssumme | grokanonische Zustandssumme | ||
Line 172: | Line 172: | ||
Phasenraum: | Phasenraum: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \xi \in \Gamma =\bigcup\limits_{N=1}^{\infty }{{}}{{R}^{6N}} \\ | & \xi \in \Gamma =\bigcup\limits_{N=1}^{\infty }{{}}{{R}^{6N}} \\ | ||
Line 180: | Line 180: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>\rho \left( \xi \right)={{Y}^{-1}}\exp -\beta \left[ H\left( \xi \right)-\mu N \right]</math> | :<math>\rho \left( \xi \right)={{Y}^{-1}}\exp -\beta \left[ H\left( \xi \right)-\mu N \right]</math> | ||
'''Mittelwertfindung:''' | '''Mittelwertfindung:''' | ||
<math>\left\langle M \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}M\left( {{\xi }_{N}} \right)\rho \left( {{\xi }_{N}} \right)=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}M\left( {{\xi }_{N}} \right){{Y}^{-1}}\exp -\beta \left[ H\left( \xi \right)-\mu N \right]</math> | :<math>\left\langle M \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}M\left( {{\xi }_{N}} \right)\rho \left( {{\xi }_{N}} \right)=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}M\left( {{\xi }_{N}} \right){{Y}^{-1}}\exp -\beta \left[ H\left( \xi \right)-\mu N \right]</math> | ||
Mittlere Teilchenzahl: | Mittlere Teilchenzahl: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left\langle N \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}N\rho \left( {{\xi }_{N}} \right) \\ | & \left\langle N \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}N\rho \left( {{\xi }_{N}} \right) \\ | ||
Line 200: | Line 200: | ||
= Marginalverteilung von | = Marginalverteilung von | ||
<math>\rho \left( {{\xi }_{N}} \right)</math> | :<math>\rho \left( {{\xi }_{N}} \right)</math> | ||
bezüglich N | bezüglich N | ||
Line 206: | Line 206: | ||
Also: | Also: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left\langle N \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{P}_{N}}N \\ | & \left\langle N \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{P}_{N}}N \\ | ||
Line 216: | Line 216: | ||
Normierung: | Normierung: | ||
<math>1=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{P}_{N}}</math>}} | :<math>1=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{P}_{N}}</math>}} | ||
{{Beispiel|<u>'''Beispiel'''</u> | {{Beispiel|<u>'''Beispiel'''</u> | ||
Klassisches ideales Gas ( ohne Wechselwirkung): | Klassisches ideales Gas ( ohne Wechselwirkung): | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& H\left( {{\xi }_{N}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m} \\ | & H\left( {{\xi }_{N}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m} \\ |
Revision as of 17:33, 12 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Klassisch- mechanische Gleichgewichtsverteilungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 2) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=2}} Kategorie:Thermodynamik __SHOWFACTBOX__
Anwendung des Prinzips der vorurteilsfreien Schätzung auf ein klassisch- mechanisches System von N Teilchen ( z.B. Moleküle eines Gases, 3N freiheitsgrade)
Voraussetzung
gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit der Mirkozustände Dabei bezeichnet den Phasenraum der kanonisch konjugierten Orte und Impulse
Begründung
Liouville- Theorem{{#set:Fachbegriff=Liouville- Theorem|Index=Liouville- Theorem}}
- notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung !
Hamiltonfunktion
Hamiltonsche Gleichungen:
Lösung:
als Trajektorie im Phasneraum ( bei euklidischer metrik) gegeben durch das 6N- dimensionale Vektorfeld
Es gilt:
als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz (Kontinuitätsgleichung{{#set:Fachbegriff=Kontinuitätsgleichung|Index=Kontinuitätsgleichung}}):
Interpretation:
Die Änderung der Dichte in dem mit dem Fluss mitbewegten lokalen Koordinatensystem ist:
folgt aus der Kontinuitätsgleichung
Theorem von Liouville:
Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System ! Phasenfluss -> inkompressible Flüssigkeit - Raum sind invariant ! |
{{#set:Definition=Theorem von Liouville|Index=Theorem von Liouville}}
Aber: Verformung ist natürlich zulässig !!
Ergänzung
kann so gewählt werden, dass gleiche Phasenvolumina gleiche a-priori Wahrscheinlichkeiten haben und für alle Zeiten behalten .
Nebenbemerkung: Gilt nur für kanonische Variablen p,q
Konstruktion der Gleichgewichtsverteilung
Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen:
bei m unabhängigen Observablen !
Ensemble- Mittelwerte ! sind gegeben als Info über den Zustand !
Das Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung{{#set:Fachbegriff=Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung|Index=Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung}} ergibt:
Beispiele
Annahme: unterscheidbare Teilchen. Ansonsten kommt noch ein Faktor rein !
1. Kanonische Verteilung
m=1: Hamiltonfunktion als eine Art " Zufallsfunktion" thermodynamisch konjugierter intensiver Parameter innere Energie <- enthält nicht die makroskopische Bewegung des Systems als Ganzes ! kanonische Zustandssumme ( Partition function) als Dichteverteilung
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2. Großkanonische Verteilung
m=2: Variable Teilchenzahl als Zufallsgröße Konvention mittlere Teilchenzahl grokanonische Zustandssumme Phasenraum: Mittelwertfindung: Mittlere Teilchenzahl: Als Wahrscheinlichkeit dafür, dass n Teilchen vorhanden sind ! = Marginalverteilung von bezüglich N Also: Normierung: |
Beispiel
Klassisches ideales Gas ( ohne Wechselwirkung): sind übungshalber zu berechnen! |