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| Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen | | Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen |
| <math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math> | | :<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math> |
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| Voraussetzung: Die reinen Zustände <math>{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> | | Voraussetzung: Die reinen Zustände <math>{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit <math>\left| \alpha \right\rangle </math> ist durch Maximalmessung gegeben ! |
| haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit | |
| <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | |
| ist durch Maximalmessung gegeben ! | |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & \hat{\rho }=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{{\hat{M}}}^{n}} \right) \\ | | & \hat{\rho }=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{{\hat{M}}}^{n}} \right) \\ |
| & \Psi =-\ln tr\left( \exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{{\hat{M}}}^{n}} \right) \right) \\ | | & \Psi =-\ln tr\left( \exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{{\hat{M}}}^{n}} \right) \right) \\ |
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| '''Nebenbemerkung:''' | | '''Nebenbemerkung:''' |
| Die <math>{{\hat{M}}^{n}}</math> | | Die <math>{{\hat{M}}^{n}}</math> müssen nicht miteinander kommutieren, aber <math>\begin{align} |
| müssen nicht miteinander kommutieren, | |
| | |
| aber | |
| <math>\begin{align} | |
| & \left[ {{{\hat{M}}}^{n}},H \right]=0 \\ | | & \left[ {{{\hat{M}}}^{n}},H \right]=0 \\ |
| & n=1,...,m \\ | | & n=1,...,m \\ |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht) |
| | |
| damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht) | |
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| | {{Def| |
| '''Kanonischer Statistischer Operator:''' | | '''Kanonischer Statistischer Operator:''' |
| <math>\begin{align} | | <math>\begin{align} |
| & \hat{\rho }={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H \right) \\ | | & \hat{\rho }={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H \right) \\ |
| & Z=tr\left( \exp \left( -\beta H \right) \right) \\ | | & Z=tr\left( \exp \left( -\beta H \right) \right) \\ |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math>|Kanonischer Statistischer Operator}} |
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| '''Übung:''' | | '''Übung:''' |
Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=3}}
Kategorie:Thermodynamik
__SHOWFACTBOX__
Mikrozustände:
Klassischer Zustandsraum
mit
-> quantenmechanischer Zustandsraum
( Hilbertraum)
![{\displaystyle \left|\Psi \right\rangle \in H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a4f92c6eefa1da9d7cd291944c49b8196382d7)
Basis (vollständiges ONS):
mit
Orthonormierung und Vollständigkeit
Entwicklung
Ortsdarstellung der Wellenfunktion
Mikroobservable
Klassische Phasenraumfunktion M:
( Ms kommutieren):
--> quantenmechanische Observablen ( Hermitesch):
kommutieren im Allgemeinen nicht !
Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen !
{{#set:Definition=Maximalmessung|Index=Maximalmessung}}
Klassische Messwerte:
Spektraldarstellung{{#set:Fachbegriff=Spektraldarstellung|Index=Spektraldarstellung}}:
![{\displaystyle {\hat {M}}\left|\alpha \right\rangle =\sum \limits _{}^{}{\left|\alpha {\acute {\ }}\right\rangle {{M}_{\alpha }}\left\langle \alpha {\acute {\ }}\right|}\left|\alpha \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f472f88d1942658c816024484eb0ab51e9ddae7)
denn:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {M}}=\sum \limits _{\alpha }^{}{{\hat {M}}\left|\alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|}=\sum \limits _{\alpha }^{}{\left|\alpha \right\rangle {{M}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|}\\&\left|\alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|:={{\hat {P}}_{\alpha }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a647410e756330f5d52959e3e60c7b49f938588)
Projektionsoperator auf den Zustand Alpha:
Observable: Ist das System im Zustand
Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung
reine Zustände
heißt reiner Zustand{{#set:Fachbegriff=reiner Zustand|Index=reiner Zustand}} (Vektorzustand)
Wahrscheinlichkeit für das Resultat
im Zustand
(Maximalmessung):
![{\displaystyle {{\left|\left\langle \alpha |\Psi \right\rangle \right|}^{2}}=\left\langle \Psi |\alpha \right\rangle \left\langle \alpha |\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{{\hat {P}}_{\alpha }}\left|\Psi \right\rangle ={{P}_{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a0a500c118537bf0653e25108795acb2546f21)
Erwartungswert von
im Zustand
:
![{\displaystyle \left\langle {\hat {M}}\right\rangle =\left\langle \Psi \right|{\hat {M}}\left|\Psi \right\rangle =\sum \limits _{\alpha }^{}{}\left\langle \Psi \right|{\hat {M}}\left|\alpha \right\rangle \left\langle \alpha |\Psi \right\rangle =\sum \limits _{\alpha ,\alpha {\acute {\ }}}^{}{}\left\langle \Psi |\alpha {\acute {\ }}\right\rangle \left\langle \alpha |\Psi \right\rangle \left\langle \alpha {\acute {\ }}\right|{\hat {M}}\left|\alpha \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da3f7e721d59455cf28f4f3a1d00a87b905e5e0c)
Falls
Eigenbasis zu
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {\hat {M}}\right\rangle =\left\langle \Psi \right|{\hat {M}}\left|\Psi \right\rangle =\sum \limits _{\alpha }^{}{}\left\langle \Psi |\alpha \right\rangle \left\langle \alpha |\Psi \right\rangle {{M}_{\alpha }}=\\&=\sum \limits _{\alpha }^{}{}{{P}_{\alpha }}{{M}_{\alpha }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0aa879efede68f9aca23a8a607e2058c314e15a)
Schreibweise mit Projektor auf Zustand
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {\hat {M}}\right\rangle =\left\langle \Psi \right|{\hat {M}}\left|\Psi \right\rangle =\sum \limits _{\alpha }^{}{}\left\langle \alpha |\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|{\hat {M}}\left|\alpha \right\rangle =\sum \limits _{\alpha }^{}{}\left\langle \alpha \right|{{\hat {P}}_{\Psi }}{\hat {M}}\left|\alpha \right\rangle :=tr\left({{\hat {P}}_{\Psi }}{\hat {M}}\right)=tr\left({\hat {M}}{{\hat {P}}_{\Psi }}\right)\\&tr{\hat {X}}:=\sum \limits _{\alpha }^{}{}\left\langle \alpha \right|{\hat {X}}\left|\alpha \right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/651e13fd5e158a7ea800eba251ea100ca3c9b130)
in einer völlig beliebigen Basis
Satz: Die Spur ist invariant bei Basiswechsel:
Also gleich in Basis Alpha wie Beta !
Quantenmechanisches Gemisch
Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7
- QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen ( prinzipielle Unschärfe)
Wahrscheinlichkeitsamplitude
- Unvollständige Information über den Mikrozustand des Systems ( z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand
![{\displaystyle \left|\Psi \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a188fb3ddec3021c85bcf14514c2991f621e2ae2)
- wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen !
Basis der Mikrozustände :
-> sample set der Zufallsereignisse
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand
Also:
mit dem statistischen Operator ( Dichtematrix
):
Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht !
Summary
Bemerkung:
Reine Zustände -> kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden:
mit den quantenmechanischen Phasen
Gemisch: Inkohärente Überlagerung von reinen Zuständen:
- keine quantenmechanischen Interferenzterme !
- -> Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden !
Normierung des statistischen Operators:
Darstellung reiner Zustände
Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand !
einheitliche Darstellung !!
Nebenbemerkung
Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs ( klassisch + quantenmechanisch)
Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra
der Observablen:
reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände !
Informationsmaße
Shannon- Information:
Nebenbemerkung:
ist ( wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung:
Informationsgewinn:
Eigenschaften wie im klassischen Fall:
Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator
Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen
![{\displaystyle K\left(\rho ,\rho {\acute {\ }}\right)=tr\left[{\hat {\rho }}\left(\ln {\hat {\rho }}-\ln {\hat {\rho }}{\acute {\ }}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc338fc1c14374b5ec8a54459a1f8f19e9c87661)
Voraussetzung: Die reinen Zustände
haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit
ist durch Maximalmessung gegeben !
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\rho }}=\exp \left(\Psi -{{\lambda }_{n}}{{\hat {M}}^{n}}\right)\\&\Psi =-\ln tr\left(\exp \left(-{{\lambda }_{n}}{{\hat {M}}^{n}}\right)\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/257b7fc0438820b09844799d32f8a6c9bc8c61bb)
Nebenbemerkung:
Die
müssen nicht miteinander kommutieren, aber
damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht)
{{#set:Definition=Kanonischer Statistischer Operator|Index=Kanonischer Statistischer Operator}}
Übung:
Berechnung der Fermi / Boseverteilung
Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators:
( Fock- Raum)