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| * {{FB|Projektionsoperator}} auf <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | | * {{FB|Projektionsoperator}} auf <math>\left| \alpha \right\rangle </math> |
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| ====Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung====
| | ==Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung== |
| | ===reine Zustände== |
| | <math>\left| \Psi \right\rangle </math> heißt {{FB|reiner Zustand} (Vektorzustand) |
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| # <math>\left| \Psi \right\rangle </math>
| | Wahrscheinlichkeit für das Resultat <math>\left| \alpha \right\rangle </math> im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> (Maximalmessung): |
| # heißt reiner Zustand ( Vektorzustand)
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| Wahrscheinlichkeit für das Resultat <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | |
| im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | |
| ( Maximalmessung): | |
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| <math>{{\left| \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}=\left\langle \Psi | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{{\hat{P}}_{\alpha }}\left| \Psi \right\rangle ={{P}_{\alpha }}</math> | | :<math>{{\left| \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}=\left\langle \Psi | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{{\hat{P}}_{\alpha }}\left| \Psi \right\rangle ={{P}_{\alpha }}</math> |
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| Erwartungswert von <math>\hat{M}</math> | | Erwartungswert von <math>\hat{M}</math> im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math>: |
| im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | | :<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \Psi | \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \left\langle \alpha \acute{\ } \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle </math> |
| : | |
| <math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \Psi | \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \left\langle \alpha \acute{\ } \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle </math> | |
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| Falls <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | | Falls <math>\left| \alpha \right\rangle </math> Eigenbasis zu <math>\hat{M}</math>: |
| Eigenbasis zu <math>\hat{M}</math> | | :<math>\begin{align} |
| : | |
| <math>\begin{align} | |
| & \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle {{M}_{\alpha }}= \\ | | & \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle {{M}_{\alpha }}= \\ |
| & =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{M}_{\alpha }} \\ | | & =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{M}_{\alpha }} \\ |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Schreibweise mit Projektor auf Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | | Schreibweise mit Projektor auf Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math>: |
| : | | :<math>\begin{align} |
| <math>\begin{align} | |
| & \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right|{{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M}\left| \alpha \right\rangle :=tr\left( {{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M} \right)=tr\left( \hat{M}{{{\hat{P}}}_{\Psi }} \right) \\ | | & \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right|{{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M}\left| \alpha \right\rangle :=tr\left( {{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M} \right)=tr\left( \hat{M}{{{\hat{P}}}_{\Psi }} \right) \\ |
| & tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right|\hat{X}\left| \alpha \right\rangle \\ | | & tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right|\hat{X}\left| \alpha \right\rangle \\ |
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| Also gleich in Basis Alpha wie Beta ! | | Also gleich in Basis Alpha wie Beta ! |
| | | ===Quantenmechanisches Gemisch=== |
| # <u>'''Quantenmechanisches Gemisch'''</u>
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| Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7 | | Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7 |
Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=3}}
Kategorie:Thermodynamik
__SHOWFACTBOX__
Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen
Mikrozustände:
Klassischer Zustandsraum
mit
-> quantenmechanischer Zustandsraum
( Hilbertraum)
![{\displaystyle \left|\Psi \right\rangle \in H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a4f92c6eefa1da9d7cd291944c49b8196382d7)
Basis (vollständiges ONS):
mit
Orthonormierung und Vollständigkeit
Entwicklung
Ortsdarstellung der Wellenfunktion
Mikroobservable
Klassische Phasenraumfunktion M:
( Ms kommutieren):
--> quantenmechanische Observablen ( Hermitesch):
kommutieren im Allgemeinen nicht !
Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen !
{{#set:Definition=Maximalmessung|Index=Maximalmessung}}
Klassische Messwerte:
Spektraldarstellung{{#set:Fachbegriff=Spektraldarstellung|Index=Spektraldarstellung}}:
![{\displaystyle {\hat {M}}\left|\alpha \right\rangle =\sum \limits _{}^{}{\left|\alpha {\acute {\ }}\right\rangle {{M}_{\alpha }}\left\langle \alpha {\acute {\ }}\right|}\left|\alpha \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f472f88d1942658c816024484eb0ab51e9ddae7)
denn:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {M}}=\sum \limits _{\alpha }^{}{{\hat {M}}\left|\alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|}=\sum \limits _{\alpha }^{}{\left|\alpha \right\rangle {{M}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|}\\&\left|\alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|:={{\hat {P}}_{\alpha }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a647410e756330f5d52959e3e60c7b49f938588)
Projektionsoperator auf den Zustand Alpha:
Observable: Ist das System im Zustand
Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung
=reine Zustände
heißt {{FB|reiner Zustand} (Vektorzustand)
Wahrscheinlichkeit für das Resultat
im Zustand
(Maximalmessung):
![{\displaystyle {{\left|\left\langle \alpha |\Psi \right\rangle \right|}^{2}}=\left\langle \Psi |\alpha \right\rangle \left\langle \alpha |\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{{\hat {P}}_{\alpha }}\left|\Psi \right\rangle ={{P}_{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a0a500c118537bf0653e25108795acb2546f21)
Erwartungswert von
im Zustand
:
![{\displaystyle \left\langle {\hat {M}}\right\rangle =\left\langle \Psi \right|{\hat {M}}\left|\Psi \right\rangle =\sum \limits _{\alpha }^{}{}\left\langle \Psi \right|{\hat {M}}\left|\alpha \right\rangle \left\langle \alpha |\Psi \right\rangle =\sum \limits _{\alpha ,\alpha {\acute {\ }}}^{}{}\left\langle \Psi |\alpha {\acute {\ }}\right\rangle \left\langle \alpha |\Psi \right\rangle \left\langle \alpha {\acute {\ }}\right|{\hat {M}}\left|\alpha \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da3f7e721d59455cf28f4f3a1d00a87b905e5e0c)
Falls
Eigenbasis zu
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {\hat {M}}\right\rangle =\left\langle \Psi \right|{\hat {M}}\left|\Psi \right\rangle =\sum \limits _{\alpha }^{}{}\left\langle \Psi |\alpha \right\rangle \left\langle \alpha |\Psi \right\rangle {{M}_{\alpha }}=\\&=\sum \limits _{\alpha }^{}{}{{P}_{\alpha }}{{M}_{\alpha }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0aa879efede68f9aca23a8a607e2058c314e15a)
Schreibweise mit Projektor auf Zustand
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {\hat {M}}\right\rangle =\left\langle \Psi \right|{\hat {M}}\left|\Psi \right\rangle =\sum \limits _{\alpha }^{}{}\left\langle \alpha |\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|{\hat {M}}\left|\alpha \right\rangle =\sum \limits _{\alpha }^{}{}\left\langle \alpha \right|{{\hat {P}}_{\Psi }}{\hat {M}}\left|\alpha \right\rangle :=tr\left({{\hat {P}}_{\Psi }}{\hat {M}}\right)=tr\left({\hat {M}}{{\hat {P}}_{\Psi }}\right)\\&tr{\hat {X}}:=\sum \limits _{\alpha }^{}{}\left\langle \alpha \right|{\hat {X}}\left|\alpha \right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/651e13fd5e158a7ea800eba251ea100ca3c9b130)
in einer völlig beliebigen Basis
Satz: Die Spur ist invariant bei Basiswechsel:
Also gleich in Basis Alpha wie Beta !
Quantenmechanisches Gemisch
Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7
- QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen ( prinzipielle Unschärfe)
Wahrscheinlichkeitsamplitude
- Unvollständige Information über den Mikrozustand des Systems ( z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand
![{\displaystyle \left|\Psi \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a188fb3ddec3021c85bcf14514c2991f621e2ae2)
- wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen !
Basis der Mikrozustände :
-> sample set der Zufallsereignisse
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand
Also:
mit dem statistischen Operator ( Dichtematrix
):
Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht !
Summary
Bemerkung:
Reine Zustände -> kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden:
mit den quantenmechanischen Phasen
Gemisch: Inkohärente Überlagerung von reinen Zuständen:
- keine quantenmechanischen Interferenzterme !
- -> Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden !
Normierung des statistischen Operators:
Darstellung reiner Zustände
Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand !
einheitliche Darstellung !!
Nebenbemerkung
Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs ( klassisch + quantenmechanisch)
Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra
der Observablen:
reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände !
Informationsmaße
Shannon- Information:
Nebenbemerkung:
ist ( wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung:
Informationsgewinn:
Eigenschaften wie im klassischen Fall:
Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator
Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen
Voraussetzung: Die reinen Zustände
haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit
ist durch Maximalmessung gegeben !
Nebenbemerkung:
Die
müssen nicht miteinander kommutieren,
aber
damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht)
Kanonischer Statistischer Operator:
Übung:
Berechnung der Fermi / Boseverteilung
Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators:
( Fock- Raum)