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| <math>\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle =\Psi \left( {\bar{r}} \right)</math> Ortsdarstellung der Wellenfunktion | | <math>\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle =\Psi \left( {\bar{r}} \right)</math> Ortsdarstellung der Wellenfunktion |
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| ====Mikroobservable:==== | | ====Mikroobservable==== |
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| Klassische Phasenraumfunktion M: <math>\Gamma ->R</math> | | Klassische Phasenraumfunktion M: <math>\Gamma ->R</math>( Ms kommutieren): |
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| ( Ms kommutieren):
| | --> quantenmechanische Observablen ( Hermitesch): |
| | | <math>\hat{M}:H->H</math> kommutieren im Allgemeinen nicht ! |
| * quantenmechanische Observablen ( Hermitesch):
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| <math>\hat{M}:H->H</math> | |
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| kommutieren im Allgemeinen nicht ! | |
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| Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen ! | | Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen ! |
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| '''Maximalmessung: '''Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen <math>\Rightarrow \left| \alpha \right\rangle </math> | | {{Def|'''Maximalmessung: '''Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen <math>\Rightarrow \left| \alpha \right\rangle </math>|Maximalmessung}} |
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| Klassische Messwerte: <math>M\left( \xi \right)</math> | | Klassische Messwerte: <math>M\left( \xi \right)</math> |
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| * <math>{{M}_{\alpha }}\in R</math> | | * <math>{{M}_{\alpha }}\in R</math> als Eigenwerte im Eigenzustand <math>\left| \alpha \right\rangle </math> <math>\hat{M}\left| \alpha \right\rangle ={{M}_{\alpha }}\left| \alpha \right\rangle </math> |
| * als Eigenwerte im Eigenzustand <math>\left| \alpha \right\rangle </math>
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| *
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| <math>\hat{M}\left| \alpha \right\rangle ={{M}_{\alpha }}\left| \alpha \right\rangle </math> | |
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| Spektraldarstellung: | | {{FB|Spektraldarstellung}}: |
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| <math>\hat{M}\left| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{{}}^{{}}{\left| \alpha \acute{\ } \right\rangle {{M}_{\alpha }}\left\langle \alpha \acute{\ } \right|}\left| \alpha \right\rangle </math> | | :<math>\hat{M}\left| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{{}}^{{}}{\left| \alpha \acute{\ } \right\rangle {{M}_{\alpha }}\left\langle \alpha \acute{\ } \right|}\left| \alpha \right\rangle </math> |
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| denn: | | denn: |
| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & \hat{M}=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{\hat{M}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|}=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{\left| \alpha \right\rangle {{M}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|} \\ | | & \hat{M}=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{\hat{M}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|}=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{\left| \alpha \right\rangle {{M}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|} \\ |
| & \left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|:={{{\hat{P}}}_{\alpha }} \\ | | & \left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|:={{{\hat{P}}}_{\alpha }} \\ |
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| Projektionsoperator auf den Zustand Alpha: | | Projektionsoperator auf den Zustand Alpha: |
| Observable: Ist das System im Zustand <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | | Observable: Ist das System im Zustand <math>\left| \alpha \right\rangle </math> |
| ?
| | * {{FB|Projektionsoperator}} auf <math>\left| \alpha \right\rangle </math> |
| * Projektionsoperator auf <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | |
| *
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| ====Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung==== | | ====Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung==== |
Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=3}}
Kategorie:Thermodynamik
__SHOWFACTBOX__
Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen
Mikrozustände:
Klassischer Zustandsraum
mit
-> quantenmechanischer Zustandsraum
( Hilbertraum)
![{\displaystyle \left|\Psi \right\rangle \in H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a4f92c6eefa1da9d7cd291944c49b8196382d7)
Basis (vollständiges ONS):
mit
Orthonormierung und Vollständigkeit
Entwicklung
Ortsdarstellung der Wellenfunktion
Mikroobservable
Klassische Phasenraumfunktion M:
( Ms kommutieren):
--> quantenmechanische Observablen ( Hermitesch):
kommutieren im Allgemeinen nicht !
Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen !
{{#set:Definition=Maximalmessung|Index=Maximalmessung}}
Klassische Messwerte:
Spektraldarstellung{{#set:Fachbegriff=Spektraldarstellung|Index=Spektraldarstellung}}:
![{\displaystyle {\hat {M}}\left|\alpha \right\rangle =\sum \limits _{}^{}{\left|\alpha {\acute {\ }}\right\rangle {{M}_{\alpha }}\left\langle \alpha {\acute {\ }}\right|}\left|\alpha \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f472f88d1942658c816024484eb0ab51e9ddae7)
denn:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {M}}=\sum \limits _{\alpha }^{}{{\hat {M}}\left|\alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|}=\sum \limits _{\alpha }^{}{\left|\alpha \right\rangle {{M}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|}\\&\left|\alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|:={{\hat {P}}_{\alpha }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a647410e756330f5d52959e3e60c7b49f938588)
Projektionsoperator auf den Zustand Alpha:
Observable: Ist das System im Zustand
Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung
![{\displaystyle \left|\Psi \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a188fb3ddec3021c85bcf14514c2991f621e2ae2)
- heißt reiner Zustand ( Vektorzustand)
Wahrscheinlichkeit für das Resultat
im Zustand
( Maximalmessung):
Erwartungswert von
im Zustand
Falls
Eigenbasis zu
Schreibweise mit Projektor auf Zustand
in einer völlig beliebigen Basis
Satz: Die Spur ist invariant bei Basiswechsel:
Also gleich in Basis Alpha wie Beta !
- Quantenmechanisches Gemisch
Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7
- QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen ( prinzipielle Unschärfe)
Wahrscheinlichkeitsamplitude
- Unvollständige Information über den Mikrozustand des Systems ( z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand
![{\displaystyle \left|\Psi \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a188fb3ddec3021c85bcf14514c2991f621e2ae2)
- wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen !
Basis der Mikrozustände :
-> sample set der Zufallsereignisse
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand
Also:
mit dem statistischen Operator ( Dichtematrix
):
Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht !
Summary
Bemerkung:
Reine Zustände -> kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden:
mit den quantenmechanischen Phasen
Gemisch: Inkohärente Überlagerung von reinen Zuständen:
- keine quantenmechanischen Interferenzterme !
- -> Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden !
Normierung des statistischen Operators:
Darstellung reiner Zustände
Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand !
einheitliche Darstellung !!
Nebenbemerkung
Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs ( klassisch + quantenmechanisch)
Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra
der Observablen:
reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände !
Informationsmaße
Shannon- Information:
Nebenbemerkung:
ist ( wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung:
Informationsgewinn:
Eigenschaften wie im klassischen Fall:
Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator
Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen
Voraussetzung: Die reinen Zustände
haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit
ist durch Maximalmessung gegeben !
Nebenbemerkung:
Die
müssen nicht miteinander kommutieren,
aber
damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht)
Kanonischer Statistischer Operator:
Übung:
Berechnung der Fermi / Boseverteilung
Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators:
( Fock- Raum)