|
|
Line 5: |
Line 5: |
| ====Mikrozustände:==== | | ====Mikrozustände:==== |
|
| |
|
| Klassischer Zustandsraum <math>\Gamma </math> | | Klassischer Zustandsraum <math>\Gamma </math> mit <math>\xi \in \Gamma \subseteq {{R}^{6N}}</math> -> quantenmechanischer Zustandsraum <math>H</math>( Hilbertraum) |
|
| |
|
| mit<math>\xi \in \Gamma \subseteq {{R}^{6N}}</math>
| | :<math>\left| \Psi \right\rangle \in H</math> |
|
| |
|
| ->
| | Basis (vollständiges ONS): <math>\left| \alpha \right\rangle </math> mit |
|
| |
|
| quantenmechanischer Zustandsraum <math>H</math>
| | : <math>\begin{align} |
| | |
| ( Hilbertraum)
| |
| | |
| <math>\left| \Psi \right\rangle \in H</math>
| |
| | |
| Basis ( vollständiges ONS): <math>\left| \alpha \right\rangle </math>
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>\begin{align} | |
|
| |
|
| & \left\langle \alpha \acute{\ } \right|\left| \alpha \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \acute{\ }\alpha }} \\ | | & \left\langle \alpha \acute{\ } \right|\left| \alpha \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \acute{\ }\alpha }} \\ |
Line 27: |
Line 17: |
| & \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|=1 \\ | | & \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|=1 \\ |
|
| |
|
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> Orthonormierung und Vollständigkeit |
| | |
| Orthonormierung und Vollständigkeit | |
| | |
| <math>\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|\left| \Psi \right\rangle </math>
| |
| | |
| Entwicklung
| |
|
| |
|
| <math>\left\langle {\bar{r}} \right|\left| \Psi \right\rangle =\Psi \left( {\bar{r}} \right)</math> | | <math>\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|\left| \Psi \right\rangle </math> Entwicklung |
|
| |
|
| Ortsdarstellung der Wellenfunktion | | <math>\left\langle {\bar{r}} \right|\left| \Psi \right\rangle =\Psi \left( {\bar{r}} \right)</math> Ortsdarstellung der Wellenfunktion |
|
| |
|
| ====Mikroobservable:==== | | ====Mikroobservable:==== |
Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=3}}
Kategorie:Thermodynamik
__SHOWFACTBOX__
Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen
Mikrozustände:
Klassischer Zustandsraum
mit
-> quantenmechanischer Zustandsraum
( Hilbertraum)
![{\displaystyle \left|\Psi \right\rangle \in H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a4f92c6eefa1da9d7cd291944c49b8196382d7)
Basis (vollständiges ONS):
mit
Orthonormierung und Vollständigkeit
Entwicklung
Ortsdarstellung der Wellenfunktion
Mikroobservable:
Klassische Phasenraumfunktion M:
( Ms kommutieren):
- quantenmechanische Observablen ( Hermitesch):
kommutieren im Allgemeinen nicht !
Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen !
Maximalmessung: Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen
Klassische Messwerte:
Spektraldarstellung:
denn:
Projektionsoperator auf den Zustand Alpha:
Observable: Ist das System im Zustand
?
Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung
![{\displaystyle \left|\Psi \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a188fb3ddec3021c85bcf14514c2991f621e2ae2)
- heißt reiner Zustand ( Vektorzustand)
Wahrscheinlichkeit für das Resultat
im Zustand
( Maximalmessung):
Erwartungswert von
im Zustand
Falls
Eigenbasis zu
Schreibweise mit Projektor auf Zustand
in einer völlig beliebigen Basis
Satz: Die Spur ist invariant bei Basiswechsel:
Also gleich in Basis Alpha wie Beta !
- Quantenmechanisches Gemisch
Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7
- QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen ( prinzipielle Unschärfe)
Wahrscheinlichkeitsamplitude
- Unvollständige Information über den Mikrozustand des Systems ( z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand
![{\displaystyle \left|\Psi \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a188fb3ddec3021c85bcf14514c2991f621e2ae2)
- wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen !
Basis der Mikrozustände :
-> sample set der Zufallsereignisse
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand
Also:
mit dem statistischen Operator ( Dichtematrix
):
Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht !
Summary
Bemerkung:
Reine Zustände -> kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden:
mit den quantenmechanischen Phasen
Gemisch: Inkohärente Überlagerung von reinen Zuständen:
- keine quantenmechanischen Interferenzterme !
- -> Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden !
Normierung des statistischen Operators:
Darstellung reiner Zustände
Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand !
einheitliche Darstellung !!
Nebenbemerkung
Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs ( klassisch + quantenmechanisch)
Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra
der Observablen:
reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände !
Informationsmaße
Shannon- Information:
Nebenbemerkung:
ist ( wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung:
Informationsgewinn:
Eigenschaften wie im klassischen Fall:
Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator
Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen
Voraussetzung: Die reinen Zustände
haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit
ist durch Maximalmessung gegeben !
Nebenbemerkung:
Die
müssen nicht miteinander kommutieren,
aber
damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht)
Kanonischer Statistischer Operator:
Übung:
Berechnung der Fermi / Boseverteilung
Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators:
( Fock- Raum)