Prüfungsfragen:Statistische Physik

Warum betreibt man statistische Physik

• Beschreibung von Vielteilchensystemen --> viele Freiheitsgrade-->unmöglich Lösung anzugeben
• Mangel an Informationen --> Mangel an Fragen

Ziel Gesetzte für makroskopische/mikroskopische Systemvariablen unter Einfluss externer Felder finden Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Quantenmechanischen Zustände $\Psi _{i}$ )

BILD $G_{\nu }$ als Funktion von $\lambda _{\nu },h_{\alpha }$ auffassen

Was sind die Konzepte der statistischen Physik

-Konzept zur Mittelung von Vielteilchensystemen.

Shannon Information: Maß für Informationsgehelt von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Entropie: Maß des Nichtwissens-

Shannon Information

Shannon Information $I\left[p_{\alpha }\right]:=\sum _{\alpha }p_{\alpha }\operatorname {ln} p_{\alpha }$

Minimierung der Shannon-Information

Schöll S21 $\lambda =-(\Psi +1)$ Variation unter NB $\sum _{\alpha }p_{\alpha }=1$ ist eine Observable Annahme N_m andere Observable

D[x Log[x], x]=Log[x]+1

$0=\sum _{\alpha }\delta p_{\alpha }\left(\operatorname {ln} p_{\alpha }+1+\sum _{n=1}^{N_{M}}\lambda _{n}A_{\alpha }^{n}\right)$

$p_{\alpha }=exp(\Psi -\lambda _{n}A_{\alpha }^{n})$

$\Psi =-1-\lambda _{0}$

verallgmeinerte kanonische Verteilung

?Volumenabhängigkeit

Entropie

Über negative Shannon Info *k $S:=-kI\left[p_{\alpha }\right]=-k\sum _{\alpha }p_{\alpha }\operatorname {ln} p_{\alpha }$

Über Dichtematrix/operator $S:=-k\left\langle \operatorname {ln} \rho \right\rangle =-k\operatorname {Tr} \left(\operatorname {ln} \rho \right\rangle =-k\sum _{\alpha }p_{\alpha }\operatorname {ln} p_{\alpha }$

Minimum bei reinen Zuständen? $S(\rho )\geq 0$

TD $dS={\frac {dQ}{T}}$

Bose-Verteilung

$\left\langle n(E)\right\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E-\mu )}-1}}$,$\beta ={\frac {1}{kT}}$

Bei Photonen µ=0

hohe Temperatur ?

Kurve schneidet Y nicht

Fermi-Verteilung

$\left\langle n(E)\right\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E-\mu )}+1}}$,$\beta ={\frac {1}{kT}}$ T=0 Fermi Energie µ->E_f bei T=0 und als Fermienergie bezeichnet Bild:Fermi_dirac_distr.svg

GKSO

gerneralisierter kanonischer statistischer Operator ?Zustandssumme

Zustandssumme

kanonische Verteilung $Z=e^{\psi }=e^{1+\lambda _{0}}=\sum _{a}lphae^{-\lambda _{n}A_{\alpha }^{n}}$

${\begin{aligned}Z_{k}(N,V,T)&=\sum _{i}\mathrm {e} ^{-\beta E_{i}}.\\Z_{gk}(\mu ,V,T)&=\sum _{i}\mathrm {e} ^{-\beta (E_{i}-\mu N_{i})}\\Z_{\mathrm {m} }(U,N,V)&=\sum _{E_{\psi }(N,V)\leq U}1\\Z_{\mathrm {m} }(U,N,V)&=\int \limits _{H(p,q,N,V)\leq U}\!\!\!{\frac {d^{3N}p\;d^{3N}q}{h^{3N}N!}}\end{aligned}}$

Wie kann man Potentiale berechnen?

${\begin{aligned}S(N,V,E)&=k_{\mathrm {B} }\,\log Z_{m}(N,V,E)\\F(N,V,T)&=-k_{\mathrm {B} }T\,\log Z_{k}(N,V,T)\\\Omega (\mu ,V,T)&=-k_{\mathrm {B} }T\,\log Z_{g}(\mu ,V,T)\end{aligned}}$

[1]

Zustandsgleichung

Wie erhält man sie

Enthalpie

$H:=U+pV:=U(S,V,N)-{\frac {\partial U}{\partial V}}_{S,N}V$ $dH=TdS+Vdp+\mu dN$ dU: änderung der inneren Energie d(pV) Änderung der Volumenarbeit

Großkanonisches Potential

[2]

$\Omega :=\ F-\mu N=U-TS-\mu N$

   dΩ = − SdT − Ndμ − pdV 

Ω = − pV.

thermische Wellenlänge

f ideales Gas $\lambda ={\frac {h}{\sqrt {2\pi mhT}}},E=\pi hT$?

Temperatur

$T^{-1}={\frac {\partial S}{\partial E}}$

mikroskopisches Ensemble

chemisches Potential

-Einschränkung: Bosegas nur kleiner 0 Zulässig