Beispiel des Großkanonischen Ensenbles

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr

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Der Artikel Beispiel des Großkanonischen Ensenbles basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.

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Illustration am Anhand von ${\begin{aligned}&{{G}_{\nu }}=\left\{H,N\right\}\\&{{h}_{\alpha }}=\left\{V\right\}\\\end{aligned}}$ definiert das großkanonische Ensemble man kannt durch die Wahl sofort R, $S={{S}_{gk}}$

${\begin{aligned}&R={\frac {1}{Z}}{{e}^{-\sum \limits _{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}\\&{{R}_{gk}}={\frac {1}{{Z}_{gk}}}{{e}^{-{{\lambda }_{1}}H-{{\lambda }_{2}}N}}\end{aligned}}$

oftmals ${{\lambda }_{1}}=\beta ,\quad {{\lambda }_{2}}=-\beta \mu$

$\left({{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}}\right)\to \left(\beta ,\mu \right)$

wir zeigen: $\beta ={\frac {1}{kT}}$ Temperatur taucht auf muss gezeigt werden $\mu$ = Chemisches Potential ist die Energie die man braucht um 1 Teilchen hinzu zufügen

${{R}_{gk}}={\frac {1}{Z}}{{e}^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}$

Entropie

braucht man um Zustandsgleichung festzulegen

$S=S\left(\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle ,{{h}_{\alpha }}\right)$

$\Rightarrow {{S}_{gk}}={{S}_{gk}}\left(\left\langle H\right\rangle ,\left\langle N\right\rangle ,V\right)$

${{S}_{gk}}\left(E,{\overline {N}},V\right)=k\beta E-k\beta \mu {\overline {N}}+k\ln {{Z}_{gk}}\left(\beta \mu V\right)$

Formel für Entropie siehe anfang der VL

Lagrangeparameter /Zustandsgleichung

Beziehungen der partiellen Ableitungen aus Gibbsgleichung

$k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle }}S;\quad k\sum \limits _{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{M}_{\nu ,\alpha }}={{\partial }_{{h}_{\alpha }}}S}$ für $\nu =1$

$k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle }}S\Rightarrow k\beta ={{\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)}_{V,{\bar {N}}}};\quad k\sum \limits _{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{M}_{\nu ,\alpha }}={{\partial }_{{h}_{\alpha }}}S}\Rightarrow {{\left({\frac {\partial S}{\partial N}}\right)}_{E,{\bar {N}}}}=-k\beta \operatorname {Tr} \left({\frac {\partial H}{\partial V}}R\right)$

${\begin{aligned}&k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle }}S\Rightarrow k\beta ={{\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)}_{V,{\bar {N}}\left(\left({\text{V}},{\text{N sind nicht anzufassen bei der partiellen Ableitung}}\right)\right)}}\\&k\sum \limits _{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{M}_{\nu ,\alpha }}={{\partial }_{{h}_{\alpha }}}S}\Rightarrow {{\left({\frac {\partial S}{\partial N}}\right)}_{E,{\bar {N}}}}=-k\beta \operatorname {Tr} \left({\frac {\partial H}{\partial V}}R\right)\quad \left({{\partial }_{V}}N\to 0\right)\\\end{aligned}}$

für $\nu =2$

${\begin{aligned}&-k\beta \mu ={{\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)}_{V,{\bar {N}}}}\\&k{{\partial }_{V}}\ln {{Z}_{gk}}=k\beta p\Rightarrow p={\frac {1}{\beta }}{{\partial }_{V}}\ln {{Z}_{gk}}\\\end{aligned}}$

Man hat also Gleichungen für die Lagrangeparameter und die Zustandsgleichung für den Druck gewonnen. Lagrangeparameter noch nicht physikalisch bestimmt!

vorweg genommen

${\begin{aligned}&{{T}^{-1}}={{\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)}_{V,{\bar {N}}}}\\&\mu =-T{{\left({\frac {\partial S}{\partial {\bar {N}}}}\right)}_{V,E}}\\&p=kT{{\partial }_{V}}\left(\ln {{Z}_{gk}}\right)\end{aligned}}$

Temperatur und chemisches Potential

Nullter Hauptsatz der Thermodynamik

Es existiert eine skalare Größe T (Temperatur) zur Charaktersierung eines Systems; bei Kontakt (und langem Warten) sind die Temperaturen zweier Systeme gleich. anlog Potential, Druck