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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| ( ohmsches Gesetz) | | (ohmsches Gesetz) |
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| <u>'''Wellen in leitenden Medien ohne Dispersion:'''</u> | | <u>'''Wellen in leitenden Medien ohne Dispersion:'''</u> |
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| <u>'''Das heißt:'''</u> | | <u>'''Das heißt:'''</u> |
| :<math>\varepsilon ,\mu ,\sigma </math> | | :<math>\varepsilon ,\mu ,\sigma </math> |
| nicht frequenzabhängig ! | | nicht frequenzabhängig! |
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| Sei | | Sei |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Für den eindimensionalen Fall: sogenannte Telegraphengleichung. Beschreibt die Drahtwellenausbreitung ! | | Für den eindimensionalen Fall: sogenannte Telegraphengleichung. Beschreibt die Drahtwellenausbreitung! |
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| <u>'''Spezielle Lösung dieses Problems:'''</u> | | <u>'''Spezielle Lösung dieses Problems:'''</u> |
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| :<math>\tilde{n}=\left( n+i\gamma \right)</math> | | :<math>\tilde{n}=\left( n+i\gamma \right)</math> |
| komplexer Brechungsindex ! | | komplexer Brechungsindex! |
| Somit: | | Somit: |
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| :<math>\phi </math> | | :<math>\phi </math> |
| =0 keine Phasenverschiebung zwischen E und B | | =0 keine Phasenverschiebung zwischen E und B |
| * kommt erst durch die Dämpfung ! | | * kommt erst durch die Dämpfung! |
| * i m Isolator schwingen E und B in Phase ! | | * i m Isolator schwingen E und B in Phase! |
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| reeller Brechungsindex: | | reeller Brechungsindex: |
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| :<math>d<<\frac{c}{\omega \gamma }\tilde{\ }cm</math> | | :<math>d<<\frac{c}{\omega \gamma }\tilde{\ }cm</math> |
| für 100 Hz | | für 100 Hz |
| ( hochfrequente Wellen dringen nicht in Metall ein, Grund: Verschiebungsstrom << Leitungsstrom) | | (hochfrequente Wellen dringen nicht in Metall ein, Grund: Verschiebungsstrom << Leitungsstrom) |
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| <u>'''Dielektrische Dispersion'''</u> | | <u>'''Dielektrische Dispersion'''</u> |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| '''Isolator ( dispersives Dielektrikum)''' | | '''Isolator (dispersives Dielektrikum)''' |
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| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| Als Absorptionskoeffizient | | Als Absorptionskoeffizient |
| :<math>\gamma </math> | | :<math>\gamma </math> |
| ( reeller Brechungsindex n) | | (reeller Brechungsindex n) |
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| '''Absorption''' | | '''Absorption''' |
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| :<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }>0\Rightarrow \gamma >0</math> | | :<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }>0\Rightarrow \gamma >0</math> |
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| * in jedem Fall gedämpfte Welle ( Energiedissipation). | | * in jedem Fall gedämpfte Welle (Energiedissipation). |
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| Der Frequenzbereich mit | | Der Frequenzbereich mit |
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| :<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }<<\varepsilon \acute{\ }</math> | | :<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }<<\varepsilon \acute{\ }</math> |
| heißt Transparenzgebiet der Substanz ( besonders wenig Absorption). | | heißt Transparenzgebiet der Substanz (besonders wenig Absorption). |
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| '''Dispersion''' | | '''Dispersion''' |
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| :<math>\operatorname{Re}k=k\acute{\ }=\frac{\omega }{c}n(\omega )</math> | | :<math>\operatorname{Re}k=k\acute{\ }=\frac{\omega }{c}n(\omega )</math> |
| nichtlineare Dispersion ( nur in erster Näherung ist n(w) linear !) | | nichtlineare Dispersion (nur in erster Näherung ist n(w) linear!) |
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| * Definition der Gruppengeschwindigkeit: | | * Definition der Gruppengeschwindigkeit: |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| <u>'''Typische Frequenzabhängigkeit: ( sogenanntes Resonanzverhalten):'''</u> | | <u>'''Typische Frequenzabhängigkeit: (sogenanntes Resonanzverhalten):'''</u> |
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| :<math>\frac{dn}{d\omega }<0</math> | | :<math>\frac{dn}{d\omega }<0</math> |
| bei Absorption ! | | bei Absorption! |
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| <u>'''Beziehung zwischen'''</u> | | <u>'''Beziehung zwischen'''</u> |
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| * und Absorption | | * und Absorption |
| * <math>\gamma \left( \omega \right)</math> | | * <math>\gamma \left( \omega \right)</math> |
| * . | | *. |
| * erlaubt z.B. dann die Berechnung von Dispersionsrelationen aus dem Absorptionsspektrum und auch umgekehrt | | * erlaubt z.B. dann die Berechnung von Dispersionsrelationen aus dem Absorptionsspektrum und auch umgekehrt |
| * Folgt alleine aus dem Kausalitätsprinzip ! | | * Folgt alleine aus dem Kausalitätsprinzip! |
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| <u>'''Beweis ( Funktionenthorie)'''</u> | | <u>'''Beweis (Funktionenthorie)'''</u> |
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| Für kausale Funktion gilt: | | Für kausale Funktion gilt: |
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Line 383: |
| \end{matrix}\left[ \int_{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int_{\omega +\varepsilon }^{\infty }{{}}} \right]d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)=P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math> | | \end{matrix}\left[ \int_{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int_{\omega +\varepsilon }^{\infty }{{}}} \right]d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)=P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math> |
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| = Hauptwertintegral ( principal Value), entsteht nur direkt an der Polstelle ! | | = Hauptwertintegral (principal Value), entsteht nur direkt an der Polstelle! |
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| :<math>\int\limits_{Kreisbogen}{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math> | | :<math>\int\limits_{Kreisbogen}{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math> |
Line 389: |
Line 389: |
| Integral längs des Halbkreis mit Radius | | Integral längs des Halbkreis mit Radius |
| :<math>\varepsilon </math> | | :<math>\varepsilon </math> |
| um den Pol ! | | um den Pol! |
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| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Dies ist die Kramers- Kronig- Relation. Sie verknüpft Real- und Imaginärteil des komplexen Brechungsindex miteinander ! | | Dies ist die Kramers- Kronig- Relation. Sie verknüpft Real- und Imaginärteil des komplexen Brechungsindex miteinander! |
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| Titchmask- Theorem: | | Titchmask- Theorem: |
Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Kategorie:Elektrodynamik
__SHOWFACTBOX__
Annahme: homogene, isotrope, lineare Medien mit skalaren Materialparametern
(ohmsches Gesetz)
Wellen in leitenden Medien ohne Dispersion:
Das heißt:
nicht frequenzabhängig!
Sei
Somit erhalten wir die Gleichung einer gedämpften Welle
Für den eindimensionalen Fall: sogenannte Telegraphengleichung. Beschreibt die Drahtwellenausbreitung!
Spezielle Lösung dieses Problems:
homogene, ebene Welle:
Dispersionsrelation für den Fall der frequenzunabhängigen Parameter
Durch die Dämpfung
ist der Wellenvektor ein komplexer Parameter.
Setze:
mit c: Vakuumlichtgeschwindigkeit
komplexer Brechungsindex!
Somit:
Damit können Real- und Imaginärteil durch Vergleich herangezogen werden, um Gamma und n zu bestimmen:
o.B.d.A.:
Ausschreiben der Welle:
Also eine gedämpfte Welle mit der Phasengeschwindigkeit
und dem Extinktionskoeffizienten
Lineare Polarisation:
Somit existiert eine Phasenverschiebung
zwischen E und B
Der Isolator
Folgen:
keine Dämpfung
=0 keine Phasenverschiebung zwischen E und B
- kommt erst durch die Dämpfung!
- i m Isolator schwingen E und B in Phase!
reeller Brechungsindex:
Nebenbemerkung:
Nur OHNE DISPERSION ist
reell
Metalle
für alle Frequenzen bis UV
Somit:
Extinktionskoeffizient
für 100 Hz
(hochfrequente Wellen dringen nicht in Metall ein, Grund: Verschiebungsstrom << Leitungsstrom)
Dielektrische Dispersion
Annahme:
Betrachte nun zeitliche Dispersion, also
mit:
dynamische elektrische Suszeptibilität
Fourier- Trafo:
Betrachte:
Nachwirkungseffekt: Faltungsintegral → Berücksichtigung des Nachwirkungseffekts über Faltungsintegral.
Nebenbemerkung: Kausalität verlangt:
Aus mikroskopischen Modellen folgt i.A. ein komplexes
- Komplexe dielektrische Funktion:
Aus:
Monochromatische ebene Welle:
Isolator (dispersives Dielektrikum)
Dabei
Als Absorptionskoeffizient
(reeller Brechungsindex n)
Absorption
Absorptionskoeffizient Null, reeller Brechungsindex: Wurzel epsilon
Also: für
→ ungedämpfte Welle
- in jedem Fall gedämpfte Welle (Energiedissipation).
Der Frequenzbereich mit
heißt Transparenzgebiet der Substanz (besonders wenig Absorption).
Dispersion
nichtlineare Dispersion (nur in erster Näherung ist n(w) linear!)
- Definition der Gruppengeschwindigkeit:
Typische Frequenzabhängigkeit: (sogenanntes Resonanzverhalten):
Normale Dispersion
Stets im Transparenzgebiet, also wenn
Anormale Dispersion
bei Absorption!
Beziehung zwischen
- und
Kramers- Kronig- Relation
Beweis (Funktionenthorie)
Für kausale Funktion gilt:
Heavyside
Fourier- Trafo:
Mit dem konvergenzerzeugenden Faktor
Also:
Der Integrand hat einen Pol für
Also:
Äquivalenter Integrationsweg:
Zerlegung:
Man sagt:
= Hauptwertintegral (principal Value), entsteht nur direkt an der Polstelle!
Integral längs des Halbkreis mit Radius
um den Pol!
sogenanntes " Halbes Residuum!"
Also:
Nun: Zerlegung in Re und Im mit
Also:
Dies ist die Kramers- Kronig- Relation. Sie verknüpft Real- und Imaginärteil des komplexen Brechungsindex miteinander!
Titchmask- Theorem:
sollte regulär sein auf der oberen komplexen z- Halbebene
Somit:
für