Eichinvarianz: Difference between revisions
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*>SchuBot Einrückungen Mathematik |
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Die Felder | Die Felder | ||
<math>\bar{E},\bar{B}</math> | :<math>\bar{E},\bar{B}</math> | ||
werden durch die Potenziale | werden durch die Potenziale | ||
<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
dargestellt.: | dargestellt.: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
Line 14: | Line 14: | ||
Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation | Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \Phi \left( \bar{r},t \right)\to \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | & \Phi \left( \bar{r},t \right)\to \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\to \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\to \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
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Also: | Also: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
Line 34: | Line 34: | ||
Mit | Mit | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& F\left( \bar{r},t \right):=G\left( \bar{r},t \right)-\int_{to}^{t}{dt\acute{\ }g(t\acute{\ })} \\ | & F\left( \bar{r},t \right):=G\left( \bar{r},t \right)-\int_{to}^{t}{dt\acute{\ }g(t\acute{\ })} \\ | ||
& \Rightarrow \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla F\left( \bar{r},t \right) \\ | & \Rightarrow \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla F\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
Line 41: | Line 41: | ||
mit eine völlig beliebigen Eichfunktion | mit eine völlig beliebigen Eichfunktion | ||
<math>F\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>F\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
. | . | ||
Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein ! Aber nicht nur | Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein ! Aber nicht nur | ||
<math>\bar{E},\bar{B}</math> | :<math>\bar{E},\bar{B}</math> | ||
sondern auch | sondern auch | ||
<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
sind physikalisch relevant. | sind physikalisch relevant. | ||
So muss auch | So muss auch | ||
<math>\oint\limits_{\partial F}{d\bar{s}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( \bar{r},t \right)}</math> | :<math>\oint\limits_{\partial F}{d\bar{s}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( \bar{r},t \right)}</math> | ||
erfüllt sein. | erfüllt sein. | ||
Line 55: | Line 55: | ||
Durch | Durch | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
Line 62: | Line 62: | ||
sind die '''homogenen '''Maxwellgleichungen bereits erfüllt: | sind die '''homogenen '''Maxwellgleichungen bereits erfüllt: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \nabla \times \bar{E}=-\nabla \times \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ | & \nabla \times \bar{E}=-\nabla \times \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ | ||
& \nabla \cdot \bar{B}=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\ | & \nabla \cdot \bar{B}=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\ | ||
Line 69: | Line 69: | ||
Auch die Umkehrung gilt: | Auch die Umkehrung gilt: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | & \nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | ||
& \Rightarrow \exists \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B} \\ | & \Rightarrow \exists \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B} \\ | ||
Line 79: | Line 79: | ||
Ziel: Entkopplung der DGLs für | Ziel: Entkopplung der DGLs für | ||
<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right),\Phi \left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right),\Phi \left( \bar{r},t \right)</math> | ||
: | : | ||
# <u>'''Lorentz- Eichung:'''</u> | # <u>'''Lorentz- Eichung:'''</u> | ||
<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math> | ||
Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt: | Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt: | ||
1) | 1) | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& -\nabla \cdot \bar{E}=\nabla \cdot \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | & -\nabla \cdot \bar{E}=\nabla \cdot \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | ||
& \Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | & \Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | ||
Line 95: | Line 95: | ||
Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu | Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu | ||
<math>\Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | :<math>\Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | ||
'''Für A:''' | '''Für A:''' | ||
2) | 2) | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\nabla \times \bar{B}-{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}=\bar{j} \\ | & \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\nabla \times \bar{B}-{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}=\bar{j} \\ | ||
& \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)={{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | & \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)={{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | ||
Line 108: | Line 108: | ||
Was mit der Lorentz- Eichung | Was mit der Lorentz- Eichung | ||
<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math> | ||
wird zu | wird zu | ||
<math>\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}</math> | :<math>\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}</math> | ||
Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit | Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit | ||
<math>\#:=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}</math> | :<math>\#:=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}</math> | ||
zusammengefasst werden: | zusammengefasst werden: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | & \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | ||
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | ||
Line 128: | Line 128: | ||
Es ergibt sich im SI- System: | Es ergibt sich im SI- System: | ||
<math>\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}:=c=2,994\cdot {{10}^{8}}\frac{m}{s}</math> | :<math>\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}:=c=2,994\cdot {{10}^{8}}\frac{m}{s}</math> | ||
als Lichtgeschwindigkeit | als Lichtgeschwindigkeit | ||
Line 137: | Line 137: | ||
( sogenannte Strahlungseichung): | ( sogenannte Strahlungseichung): | ||
<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math> | ||
Vergleiche Kapitel 2.3 ( Magnetostatik): | Vergleiche Kapitel 2.3 ( Magnetostatik): | ||
Für | Für | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \dot{\bar{D}}=0 \\ | & \dot{\bar{D}}=0 \\ | ||
& \Rightarrow \nabla \times \bar{B}=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A} \right)-\Delta \bar{A}={{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | & \Rightarrow \nabla \times \bar{B}=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A} \right)-\Delta \bar{A}={{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | ||
Line 153: | Line 153: | ||
Allgemein kann man | Allgemein kann man | ||
<math>\bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
in ein wirbelfreies Longitudinalfeld: | in ein wirbelfreies Longitudinalfeld: | ||
<math>{{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>{{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)</math> | ||
und ein quellenfreies Transversalfeld | und ein quellenfreies Transversalfeld | ||
<math>{{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>{{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
zerlegen. | zerlegen. | ||
Line 167: | Line 167: | ||
Tatsächlich gilt: | Tatsächlich gilt: | ||
<math>\nabla \times {{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \times \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=0</math> | :<math>\nabla \times {{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \times \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=0</math> | ||
<math>\nabla \cdot {{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math> | :<math>\nabla \cdot {{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math> | ||
Da | Da | ||
<math>\bar{B}</math> | :<math>\bar{B}</math> | ||
quellenfrei ist, ist B auch immer transversal: | quellenfrei ist, ist B auch immer transversal: | ||
<math>\nabla \cdot \bar{B}:=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A} \right)=0</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{B}:=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A} \right)=0</math> | ||
Also: | Also: | ||
<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)</math> | ||
ergibt die longitudinalen Felder und | ergibt die longitudinalen Felder und | ||
<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
die transversalen Felder. | die transversalen Felder. | ||
Line 189: | Line 189: | ||
<u>'''Zerlegung der Stromdichte:'''</u> | <u>'''Zerlegung der Stromdichte:'''</u> | ||
<math>\bar{j}={{\bar{j}}_{l}}+{{\bar{j}}_{t}}</math> | :<math>\bar{j}={{\bar{j}}_{l}}+{{\bar{j}}_{t}}</math> mit <math>\nabla \times {{\bar{j}}_{l}}=0</math> | ||
:<math>\nabla \cdot {{\bar{j}}_{t}}=0</math> | |||
<math>\nabla \cdot {{\bar{j}}_{t}}=0</math> | |||
Mit | Mit | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \frac{\partial }{\partial t}\rho +\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{l}}+\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{t}}=0 \\ | & \frac{\partial }{\partial t}\rho +\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{l}}+\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{t}}=0 \\ | ||
& \rho ={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{{\bar{E}}}_{l}} \\ | & \rho ={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{{\bar{E}}}_{l}} \\ | ||
Line 208: | Line 204: | ||
Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal: | Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal: | ||
<math>\nabla \times \left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math> | :<math>\nabla \times \left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math> | ||
Also: | Also: | ||
<math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=const</math> | :<math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=const</math> | ||
Da beide Felder aber für r-> 0 verschwinden folgt: | Da beide Felder aber für r-> 0 verschwinden folgt: | ||
<math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math> | :<math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math> | ||
Also: | Also: | ||
<math>{{\bar{j}}_{l}}={{\varepsilon }_{0}}\nabla \frac{\partial \Phi }{\partial t}</math> | :<math>{{\bar{j}}_{l}}={{\varepsilon }_{0}}\nabla \frac{\partial \Phi }{\partial t}</math> | ||
Also: | Also: | ||
Die Feldgleichungen | Die Feldgleichungen | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \Delta \Phi +\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | & \Delta \Phi +\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | ||
& \nabla \cdot \bar{A}=0 \\ | & \nabla \cdot \bar{A}=0 \\ | ||
& \Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | & \Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> und <math>\begin{align} | ||
und | |||
<math>\begin{align} | |||
& \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | & \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | ||
& \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0 \\ | & \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0 \\ | ||
Line 241: | Line 233: | ||
erhalten dann die Form: | erhalten dann die Form: | ||
<math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | :<math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math> und <math>\begin{align} | ||
und | |||
<math>\begin{align} | |||
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{{\bar{j}}}_{t}} \\ | & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{{\bar{j}}}_{t}} \\ | ||
& \\ | & \\ | ||
Line 253: | Line 241: | ||
Also. | Also. | ||
<math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | :<math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | ||
: longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik | : longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik | ||
<math>\#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{\bar{j}}_{t}}</math> | :<math>\#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{\bar{j}}_{t}}</math> | ||
als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen. | als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen. | ||
Line 262: | Line 250: | ||
Sie liefert eine Poissongleichung für | Sie liefert eine Poissongleichung für | ||
<math>\Phi </math> | :<math>\Phi </math> | ||
und eine Wellengleichung für | und eine Wellengleichung für | ||
<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
. | . |
Revision as of 17:53, 12 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Eichinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 6) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=3|Abschnitt=6}} Kategorie:Elektrodynamik __SHOWFACTBOX__
Die Felder
werden durch die Potenziale
dargestellt.:
Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation
ist, welche die Felder E und B unverändert läßt.
Also:
Mit
mit eine völlig beliebigen Eichfunktion
. Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein ! Aber nicht nur
sondern auch
sind physikalisch relevant. So muss auch
erfüllt sein.
Dies ist gewährleistet, wenn die Maxwellgleichungen erfüllt sind. Durch
sind die homogenen Maxwellgleichungen bereits erfüllt:
Auch die Umkehrung gilt:
Wähle nun eine Eichung derart, dass die inhomogenen Maxwellgleichungen besonders einfach werden
Ziel: Entkopplung der DGLs für
- Lorentz- Eichung:
Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt: 1)
Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu
Für A: 2)
Was mit der Lorentz- Eichung
wird zu
Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit
zusammengefasst werden:
Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale ( entkoppelt mittels Lorentz- Eichung) Es ergibt sich im SI- System:
als Lichtgeschwindigkeit
Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum !
Coulomb- Eichung
( sogenannte Strahlungseichung):
Vergleiche Kapitel 2.3 ( Magnetostatik): Für
(Poissongleichung der Magnetostatik)
Zerlegung in longitudinale und transversale Anteile :
Allgemein kann man
in ein wirbelfreies Longitudinalfeld:
und ein quellenfreies Transversalfeld
zerlegen.
Tatsächlich gilt:
Da
quellenfrei ist, ist B auch immer transversal:
Also:
ergibt die longitudinalen Felder und
die transversalen Felder.
Merke: Felder , die Rotation eines Vektorfeldes sind ( Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder ( als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal ! ( Rotation verschwindet).
Zerlegung der Stromdichte:
Mit
Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal:
Also:
Da beide Felder aber für r-> 0 verschwinden folgt:
Also:
Also: Die Feldgleichungen
erhalten dann die Form:
In der Coulomb- Eichung ! Also.
als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen.
Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen !
Sie liefert eine Poissongleichung für
und eine Wellengleichung für
.