Magnetische Multipole: Difference between revisions
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Ausgangspunkt ist | Ausgangspunkt ist | ||
:<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | :<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | ||
(mit der Coulomb- Eichung | (mit der Coulomb- Eichung <math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math>) | ||
mit den Randbedingungen | mit den Randbedingungen | ||
:<math>\bar{A}(\bar{r})\to 0</math> | :<math>\bar{A}(\bar{r})\to 0</math> für r→ unendlich | ||
für r→ unendlich | |||
Taylorentwicklung nach | Taylorentwicklung nach | ||
:<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | :<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | ||
von analog zum elektrischen Fall: | von analog zum elektrischen Fall: | ||
Die Stromverteilung | |||
Die Stromverteilung <math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math> sei stationär für <math>r>>r\acute{\ }</math> | |||
sei stationär für | |||
:<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math> | :<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math> | ||
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:<math>\bar{E}(\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{p}\cdot \bar{r} \right)-{{r}^{2}}\bar{p} \right]</math> | :<math>\bar{E}(\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{p}\cdot \bar{r} \right)-{{r}^{2}}\bar{p} \right]</math> | ||
{{Beispiel| | |||
<u>'''Beispiel: Ebene Leiterschleife L:'''</u> | <u>'''Beispiel: Ebene Leiterschleife L:'''</u> | ||
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Also: Ein Ringstrom bedingt ein magnetisches Dipolmoment | Also: Ein Ringstrom bedingt ein magnetisches Dipolmoment | ||
:<math>\bar{m}</math> | :<math>\bar{m}</math> | ||
}} | |||
analog: 2 Punktladungen bedingen ein elektrisches Dipolmoment | analog: 2 Punktladungen bedingen ein elektrisches Dipolmoment | ||
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welches von der positiven zur negativen Ladung zeigt. | welches von der positiven zur negativen Ladung zeigt. | ||
== Bewegte Ladungen == | |||
N Teilchen mit den Massen m<sub>i</sub> und den Ladungen q<sub>i</sub> bewegen sich. | |||
Dabei sei die spezifische Ladung <math>\frac{{{q}_{i}}}{{{m}_{i}}}=\frac{q}{m}</math> konstant: | |||
konstant: | |||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Das magnetische Dipolmoment beträgt: | Das {{FB|magnetische Dipolmoment}} beträgt: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Mit dem Bahndrehimpuls | Mit dem {{FB|Bahndrehimpuls}} <math>\bar{L}</math>: | ||
: | |||
:<math>\bar{m}=\frac{q}{2m}\bar{L}</math> | :<math>\bar{m}=\frac{q}{2m}\bar{L}</math> | ||
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Somit ist der Spin nicht vollständig durch die Vorstellung von einer rotierenden Ladungsverteilung zu verstehen! | Somit ist der Spin nicht vollständig durch die Vorstellung von einer rotierenden Ladungsverteilung zu verstehen! | ||
===Kraft auf eine Stromverteilung=== | |||
:<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })={{\rho }_{i}}(\bar{r}\acute{\ })\bar{v}(\bar{r}\acute{\ })</math> | :<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })={{\rho }_{i}}(\bar{r}\acute{\ })\bar{v}(\bar{r}\acute{\ })</math> | ||
im Feld einer externen magnetischen Induktion | im Feld einer externen {{FB|magnetischen Induktion}} <math>\bar{B}(\bar{r}\acute{\ })</math>: | ||
: | |||
Spürt die Lorentzkraft | Spürt die {{FB|Lorentzkraft}} | ||
:<math>\bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \bar{B}(\bar{r}\acute{\ })</math> | :<math>\bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \bar{B}(\bar{r}\acute{\ })</math> | ||
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im stationären Fall gilt wieder: | im stationären Fall gilt wieder: | ||
:<math>\left[ \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math> | :<math>\left[ \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math> (keine Monopole) | ||
(keine Monopole) | |||
Also: | Also: | ||
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:<math>\left[ {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}(\bar{r}) \right]=0</math> | :<math>\left[ {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}(\bar{r}) \right]=0</math> | ||
(Das externe Feld soll keine Stromwirbel im Bereich von | (Das externe Feld soll keine Stromwirbel im Bereich von <math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math> haben: | ||
haben: | |||
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Revision as of 11:14, 16 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Magnetische Multipole basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=4}} Kategorie:Elektrodynamik __SHOWFACTBOX__
(stationär)
Ausgangspunkt ist
mit den Randbedingungen
Taylorentwicklung nach
von analog zum elektrischen Fall:
Die Stromverteilung sei stationär für
Monopol- Term
Mit
Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:
Mit
folgt dann:
Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie
Dipol- Term
mit
und mit
Folgt:
Da
weil der Strom verschwindet! Somit gibt der Term
keinen Beitrag zum
Also:
Als DIPOLPOTENZIAL!!
das magnetische Dipolmoment!
Analog zu
dem elektrischen Dipolmoment
Die magnetische Induktion des Dipolmomentes ergibt sich als:
Wegen:
Analog ergab sich als elektrisches Dipolfeld:
{{{1}}} |
analog: 2 Punktladungen bedingen ein elektrisches Dipolmoment
welches von der positiven zur negativen Ladung zeigt.
Bewegte Ladungen
N Teilchen mit den Massen mi und den Ladungen qi bewegen sich.
Dabei sei die spezifische Ladung konstant:
Das magnetische Dipolmoment{{#set:Fachbegriff=magnetische Dipolmoment|Index=magnetische Dipolmoment}} beträgt:
Mit dem Bahndrehimpuls{{#set:Fachbegriff=Bahndrehimpuls|Index=Bahndrehimpuls}} :
gilt aber auch für starre Körper!
- Allgemeines Gesetz!
Jedoch gilt dies nicht für den Spin eines Elektrons!!!
Somit ist der Spin nicht vollständig durch die Vorstellung von einer rotierenden Ladungsverteilung zu verstehen!
Kraft auf eine Stromverteilung
im Feld einer externen magnetischen Induktion{{#set:Fachbegriff=magnetischen Induktion|Index=magnetischen Induktion}} :
Spürt die Lorentzkraft{{#set:Fachbegriff=Lorentzkraft|Index=Lorentzkraft}}
Talyorentwicklung liefert:
im stationären Fall gilt wieder:
Also:
Man fordert:
(Das externe Feld soll keine Stromwirbel im Bereich von haben:
(Vergl. S. 34)