Kontinuitätsgleichung: Difference between revisions
*>SchuBot m Interpunktion, replaced: ! → ! (2), ( → ( (2) |
No edit summary |
||
Line 9: | Line 9: | ||
Damit folgt ein globaler Erhaltungssatz: | Damit folgt ein globaler Erhaltungssatz: | ||
{{Gln|<math>\frac{d}{dt}Q(t)=\frac{d}{dt}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}\delta I</math>|Ladungserhaltungssatz}} | |||
:<math>\delta I=\frac{\rho dV}{dt}=\frac{\rho \left| v \right|dt\left| df \right|\cos \alpha }{dt}=\rho \bar{v}d\bar{f}</math> | :<math>\delta I=\frac{\rho dV}{dt}=\frac{\rho \left| v \right|dt\left| df \right|\cos \alpha }{dt}=\rho \bar{v}d\bar{f}</math> | ||
Also gerade die Ladung, die durch | Also gerade die Ladung, die durch <math>d\bar{f}</math>pro zeit aus V herausströmt | ||
{{Def|Als eine lokale Größe findet man die '''elektrische Stromdichte''': | |||
pro zeit aus V herausströmt | |||
Als eine lokale Größe findet man die elektrische Stromdichte: | |||
:<math>\bar{j}(\bar{r},t):=\rho (\bar{r},t)\bar{v}(\bar{r},t)</math> | :<math>\bar{j}(\bar{r},t):=\rho (\bar{r},t)\bar{v}(\bar{r},t)</math>|elektrische Stromdichte}} | ||
:<math>\Rightarrow \frac{d}{dt}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{j}(\bar{r},t)=-\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)</math> | :<math>\Rightarrow \frac{d}{dt}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{j}(\bar{r},t)=-\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)</math> | ||
(Gauß!) für alle Volumina V (einfach zusammenhängend) | (Gauß!) für alle Volumina V (einfach zusammenhängend) | ||
Somit folgt die Kontinuitätsgleichung als | Somit folgt die Kontinuitätsgleichung als '''lokaler''' Erhaltungssatz: | ||
{{Gln|<math>\Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\rho (\bar{r},t)+\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)=0</math>|Kontiuitätsgleichung}} | |||
Speziell bei stationären Ladungsverteilungen gilt die Divergenzfreiheit des Stroms: | Speziell bei stationären Ladungsverteilungen gilt die '''Divergenzfreiheit des Stroms''': | ||
:<math>\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)=0</math> | {{Gln|:<math>\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)=0</math>|Divergenzfreiheit des Stroms}} | ||
Aber : natürlich muss deswegen nicht | Aber : natürlich muss deswegen nicht <math>\bar{j}(\bar{r},t)=0</math> gelten. Der Strom muss räumlich lediglich stationär sein! | ||
gelten. Der Strom muss räumlich lediglich stationär sein! |
Revision as of 14:55, 15 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Kontinuitätsgleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=1}} Kategorie:Elektrodynamik __SHOWFACTBOX__
Bewegte Ladungen entsprechen elektrischem Strom I
Experimentelle Erfahrung: Die Ladung bleibt erhalten:
Damit folgt ein globaler Erhaltungssatz:
{{#set:Gleichung=Ladungserhaltungssatz|Index=Ladungserhaltungssatz}}
Also gerade die Ladung, die durch pro zeit aus V herausströmt
Als eine lokale Größe findet man die elektrische Stromdichte: |
{{#set:Definition=elektrische Stromdichte|Index=elektrische Stromdichte}}
(Gauß!) für alle Volumina V (einfach zusammenhängend)
Somit folgt die Kontinuitätsgleichung als lokaler Erhaltungssatz:
{{#set:Gleichung=Kontiuitätsgleichung|Index=Kontiuitätsgleichung}}
Speziell bei stationären Ladungsverteilungen gilt die Divergenzfreiheit des Stroms:
: |
{{#set:Gleichung=Divergenzfreiheit des Stroms|Index=Divergenzfreiheit des Stroms}}
Aber : natürlich muss deswegen nicht gelten. Der Strom muss räumlich lediglich stationär sein!