Kontinuitätsgleichung: Difference between revisions
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Experimentelle Erfahrung: Die Ladung bleibt erhalten: | Experimentelle Erfahrung: Die Ladung bleibt erhalten: | ||
<math>Q(t)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)</math> | :<math>Q(t)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)</math> | ||
Damit folgt ein globaler Erhaltungssatz: | Damit folgt ein globaler Erhaltungssatz: | ||
<math>\frac{d}{dt}Q(t)=\frac{d}{dt}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}\delta I</math> | :<math>\frac{d}{dt}Q(t)=\frac{d}{dt}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}\delta I</math> | ||
<math>\delta I=\frac{\rho dV}{dt}=\frac{\rho \left| v \right|dt\left| df \right|\cos \alpha }{dt}=\rho \bar{v}d\bar{f}</math> | :<math>\delta I=\frac{\rho dV}{dt}=\frac{\rho \left| v \right|dt\left| df \right|\cos \alpha }{dt}=\rho \bar{v}d\bar{f}</math> | ||
Also gerade die Ladung, die durch | Also gerade die Ladung, die durch | ||
<math>d\bar{f}</math> | :<math>d\bar{f}</math> | ||
pro zeit aus V herausströmt | pro zeit aus V herausströmt | ||
Als eine lokale Größe findet man die elektrische Stromdichte: | Als eine lokale Größe findet man die elektrische Stromdichte: | ||
<math>\bar{j}(\bar{r},t):=\rho (\bar{r},t)\bar{v}(\bar{r},t)</math> | :<math>\bar{j}(\bar{r},t):=\rho (\bar{r},t)\bar{v}(\bar{r},t)</math> | ||
<math>\Rightarrow \frac{d}{dt}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{j}(\bar{r},t)=-\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)</math> | :<math>\Rightarrow \frac{d}{dt}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{j}(\bar{r},t)=-\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)</math> | ||
( Gauß !) für alle Volumina V ( einfach zusammenhängend) | ( Gauß !) für alle Volumina V ( einfach zusammenhängend) | ||
Somit folgt die Kontinuitätsgleichung als LOKALER Erhaltungssatz: | Somit folgt die Kontinuitätsgleichung als LOKALER Erhaltungssatz: | ||
<math>\Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\rho (\bar{r},t)+\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)=0</math> | :<math>\Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\rho (\bar{r},t)+\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)=0</math> | ||
Speziell bei stationären Ladungsverteilungen gilt die Divergenzfreiheit des Stroms: | Speziell bei stationären Ladungsverteilungen gilt die Divergenzfreiheit des Stroms: | ||
<math>\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)=0</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)=0</math> | ||
Aber : natürlich muss deswegen nicht | Aber : natürlich muss deswegen nicht | ||
<math>\bar{j}(\bar{r},t)=0</math> | :<math>\bar{j}(\bar{r},t)=0</math> | ||
gelten. Der Strom muss räumlich lediglich stationär sein ! | gelten. Der Strom muss räumlich lediglich stationär sein ! |
Revision as of 17:55, 12 September 2010
Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
65px|Kein GFDL | Der Artikel Kontinuitätsgleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=1}} Kategorie:Elektrodynamik __SHOWFACTBOX__
Bewegte Ladungen entsprechen elektrischem Strom I
Experimentelle Erfahrung: Die Ladung bleibt erhalten:
Damit folgt ein globaler Erhaltungssatz:
Also gerade die Ladung, die durch
pro zeit aus V herausströmt Als eine lokale Größe findet man die elektrische Stromdichte:
( Gauß !) für alle Volumina V ( einfach zusammenhängend)
Somit folgt die Kontinuitätsgleichung als LOKALER Erhaltungssatz:
Speziell bei stationären Ladungsverteilungen gilt die Divergenzfreiheit des Stroms:
Aber : natürlich muss deswegen nicht
gelten. Der Strom muss räumlich lediglich stationär sein !