Bifurkationen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Bifurkationen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Sei der Fluß von einem Kntrollparametr µ abhängig, so zeigt sich, dass sich die Zahl der Attraktoren bei einem kritischen Wert µc schlagartig ändern kann.

Es treten dann sogenannte Bifurkationen auf ("Verzweigungen" der Lösungsmannigfaltigkeit).

Notwendige Voraussetzung für diesen Prozess ist jedoch Nichtlinearität!

Bifurkationspunkte sind oft verknüpft mit Stabilitätswechsel. Das bedeutet, die lineare Stabilität der Fixpunkte im Falle lokaler Bifurkationen muss untersucht werden.

Eigenwert- Null - Bifurkation

$\lambda <0\to \lambda >0$

stabiler Fixpunkt (Knoten) → instabilen Fixpunkt (Sattelpunkt für

$n\ge 2$)

detA>0 → detA<0

A1) Sattel- Knoten- Bifurkation

einfachster Fall:

$\dot{x}=\mu -x^2$

$x*=\pm \sqrt{\mu }$

Fixpunkte existieren also nur für

$\mu \ge 0$

$\delta \dot{x}=-2x*\delta x$

Somit existieren:

${\lambda }_1>0$ und ${\lambda }_2<0$

für

$x*=\pm \sqrt{\mu }$

A2) Transkritische Bifurkation

$\dot{x}=\mu x-x^2$

$x*=\mu ,0$

$\begin{array}{rl}& \delta \dot{x}=(\mu -2x*)\delta x\\ & \Rightarrow \lambda =\{\begin{array}{c}\mu \\ -\mu \\ \end{array}\\ \end{array}$

Stabilitätswechsel bei µc=0

A3) Stimmgabelbifurkation (pitchfork bifurcation)

superkritisch:

$\dot{x}=\mu x-x^3$

$x*=\pm \sqrt{\mu },0$

für

$\mu \ge 0$

zwei Fixpunkte, sonst einer

$\begin{array}{rl}& \delta \dot{x}=(\mu -3x{*}^2)\delta x\\ & \Rightarrow \lambda =\{\begin{array}{c}\mu \\ -2\mu \\ \end{array}\\ \end{array}$

zum Eigenwert µ ist der Fixpunkt stabil für µ<0 und zu -2µ stabil für µ>0

subkritisch

$\dot{x}=\mu x+x^3$

$x*=\pm i\sqrt{\left|\mu \right|},0$

mit den ersten beiden Fixpunkten nur für µ<0, ansonsten, für µ>0 existiert nur x*=0

Stabil ist jedoch lediglich der Fixpunkt x*=0 für µ<0:

1. Hopf- Bifurkation

stabiler Fokus

$\to$

 instabiler Fokus mit Grenzzyklus

${\lambda }_{1,2}={\lambda }_0\pm i\omega$

 mit:

${\lambda }_0<0\to {\lambda }_0>0$

stabiler Fokus instabiler Fokus mit Grenzzyklus

Übergang vom stabilen Fokus zum instabilen Fokus mit Grenzzyklus

sei n=2:

tr A < 0 (stabiler Fokus)

$\to$

 tr A > 0 (instabiler Fokus)

(Voraussetzung: det A >0)

mindestens n=2 nötig!