Bifurkationen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Bifurkationen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Sei der Fluß von einem Kntrollparametr µ abhängig, so zeigt sich, dass sich die Zahl der Attraktoren bei einem kritischen Wert µc schlagartig ändern kann.

Es treten dann sogenannte Bifurkationen auf ( "Verzweigungen" der Lösungsmannigfaltigkeit).

Notwendige Voraussetzung für diesen Prozess ist jedoch Nichtlinearität !

Bifurkationspunkte sind oft verknüpft mit Stabilitätswechsel. Das bedeutet, die lineare Stabilität der Fixpunkte im Falle lokaler Bifurkationen muss untersucht werden.

Eigenwert- Null - Bifurkation

$\lambda <0\to \lambda >0$

stabiler Fixpunkt ( Knoten) → instabilen Fixpunkt ( Sattelpunkt für

$n\ge 2$

)

detA>0 → detA<0

A1) Sattel- Knoten- Bifurkation

einfachster Fall:

$\dot{x}=\mu -x^2$

$x*=\pm \sqrt{\mu }$

Fixpunkte existieren also nur für

$\mu \ge 0$

$\delta \dot{x}=-2x*\delta x$

Somit existieren:

${\lambda }_1>0$ und ${\lambda }_2<0$

für

$x*=\pm \sqrt{\mu }$

A2) Transkritische Bifurkation

$\dot{x}=\mu x-x^2$

$x*=\mu ,0$

$\begin{array}{rl}& \delta \dot{x}=(\mu -2x*)\delta x\\ & \Rightarrow \lambda =\{\begin{array}{c}\mu \\ -\mu \\ \end{array}\\ \end{array}$

Stabilitätswechsel bei µc=0

A3) Stimmgabelbifurkation (pitchfork bifurcation)

superkritisch:

$\dot{x}=\mu x-x^3$

$x*=\pm \sqrt{\mu },0$

für

$\mu \ge 0$

zwei Fixpunkte, sonst einer

$\begin{array}{rl}& \delta \dot{x}=(\mu -3x{*}^2)\delta x\\ & \Rightarrow \lambda =\{\begin{array}{c}\mu \\ -2\mu \\ \end{array}\\ \end{array}$

zum Eigenwert µ ist der Fixpunkt stabil für µ<0 und zu -2µ stabil für µ>0

subkritisch

$\dot{x}=\mu x+x^3$

$x*=\pm i\sqrt{\left|\mu \right|},0$

mit den ersten beiden Fixpunkten nur für µ<0, ansonsten , für µ>0 existiert nur x*=0

Stabil ist jedoch lediglich der Fixpunkt x*=0 für µ<0:

1. Hopf- Bifurkation

stabiler Fokus

$\to$

 instabiler Fokus mit Grenzzyklus

${\lambda }_{1,2}={\lambda }_0\pm i\omega$

 mit:

${\lambda }_0<0\to {\lambda }_0>0$

stabiler Fokus instabiler Fokus mit Grenzzyklus

Übergang vom stabilen Fokus zum instabilen Fokus mit Grenzzyklus

sei n=2:

tr A < 0 ( stabiler Fokus)

$\to$

 tr A > 0 ( instabiler Fokus)

( Voraussetzung: det A >0 )

mindestens n=2 nötig !