Bifurkationen: Difference between revisions

Revision as of 23:52, 28 August 2010

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Bifurkationen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=7|Abschnitt=3}} Kategorie:Mechanik __SHOWFACTBOX__

Sei der Fluß von einem Kntrollparametr µ abhängig, so zeigt sich, dass sich die Zahl der Attraktoren bei einem kritischen Wert µc schlagartig ändern kann.

Es treten dann sogenannte Bifurkationen auf ( "Verzweigungen" der Lösungsmannigfaltigkeit).

Notwendige Voraussetzung für diesen Prozess ist jedoch Nichtlinearität !

Bifurkationspunkte sind oft verknüpft mit Stabilitätswechsel. Das bedeutet, die lineare Stabilität der Fixpunkte im Falle lokaler Bifurkationen muss untersucht werden.

Klassifizierung einfachster Bifurkationen:

Eigenwert- Null - Bifurkation

$λ < 0 \to λ > 0$

stabiler Fixpunkt ( Knoten) -> instabilen Fixpunkt ( Sattelpunkt für $n \geq 2$ )

detA>0 -> detA<0

A1) Sattel- Knoten- Bifurkation

einfachster Fall:

$\dot{x} = μ - x^{2}$

$x * = \pm \sqrt{μ}$

Fixpunkte existieren also nur für

$μ \geq 0$

$δ \dot{x} = - 2 x * δ x$

Somit existieren:

$λ_{1} > 0$

und

$λ_{2} < 0$

für

$x * = \pm \sqrt{μ}$

A2) Transkritische Bifurkation

$\dot{x} = μ x - x^{2}$

$x * = μ, 0$

$\begin{aligned} δ \dot{x} = (μ - 2 x *) δ x \\ \Rightarrow λ = {\begin{matrix} μ \\ - μ \end{matrix} \end{aligned}$

Stabilitätswechsel bei µc=0

A3) Stimmgabelbifurkation (pitchfork bifurcation)

superkritisch:

$\dot{x} = μ x - x^{3}$

$x * = \pm \sqrt{μ}, 0$

für

$μ \geq 0$ zwei Fixpunkte, sonst einer

$\begin{aligned} δ \dot{x} = (μ - 3 x *^{2}) δ x \\ \Rightarrow λ = {\begin{matrix} μ \\ - 2 μ \end{matrix} \end{aligned}$

zum Eigenwert µ ist der Fixpunkt stabil für µ<0 und zu -2µ stabil für µ>0

subkritisch

$\dot{x} = μ x + x^{3}$

$x * = \pm i \sqrt{| μ |}, 0$

mit den ersten beiden Fixpunkten nur für µ<0, ansonsten , für µ>0 existiert nur x*=0

Stabil ist jedoch lediglich der Fixpunkt x*=0 für µ<0:

Hopf- Bifurkation

stabiler Fokus $\to$

 instabiler Fokus mit Grenzzyklus

$λ_{1, 2} = λ_{0} \pm i ω$

 mit:

$λ_{0} < 0 \to λ_{0} > 0$

stabiler Fokus instabiler Fokus mit Grenzzyklus

Übergang vom stabilen Fokus zum instabilen Fokus mit Grenzzyklus

sei n=2:

tr A < 0 ( stabiler Fokus) $\to$

 tr A > 0 ( instabiler Fokus)

( Voraussetzung: det A >0 )

mindestens n=2 nötig !

@@ Line 135: / Line 135: @@
 mindestens   n=2  nötig !
-===Deterministisches Chaos===
-Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit
-<math>n\ge 3</math>
- ( autonom):
-<u>'''Seltsamer ( chaotischer) Attraktor'''</u>
-komplexes, irreguläres Verhalten kann verschiedene Ursachen haben, die sich im zeitlichen verhalten einer Observablen oft schwer unterscheiden lassen.
-'''Als Unterscheidungskriterien bieten sich an:'''
-'''quasiperiodisch 			deterministisches Chaos 			stochastisches Rauschen'''
-wenige dynamische Freiheitsgrade:				viele mikroskopische Freiheits-
-niedrigdimensionaler Phasenraum					grade. ( Statistisches Ensemble)
-Attraktor: Torus
-<math>{{T}^{d}}</math>
- d=2,3,4,...	seltsamer Attraktor, fraktale Dimension
-<math>f\tilde{\ }{{10}^{24}}</math>
-Autokorrelationsfunktion
-<math>\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle :=\begin{matrix}
-   \lim   \\
-   T\to \infty   \\
-\end{matrix}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}{x(t)x(t+\tau )d\tau }</math>
-periodisch in
-<math>\tau </math>
-<math>\to 0</math>
- für
-<math>\tau \to \infty </math>
-<math>=0</math>
- für
-<math>\tau >{{\tau }_{c}}</math>
-:	Fourierspektrum ( bzw. Leistungsspektrum):
-<math>S(\omega )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }{\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle {{e}^{i\omega \tau }}d\tau }</math>
-diskrete Frequenzen
-<math>{{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}},...</math>
-			b r e i t e s    F r e q u e n z b a n d
-				Instabilität der Bewegung bei kleinen
-				Störungen der Anfangsbedingungen
-				typische universelle
-				Bifurkationszenarien
-<u>'''Def.:'''</u> Eine Bewegung heißt '''chaotisch''', wenn sie empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt.
-'''Quantitative Formulierung''' der Stabilität gegenüber kleinen Variationen der Anfangsbedingungen:
-<u>'''Bahnstabilität / Orbitale Stabilität'''</u>
-bahnstabil: Alle benachbarten Bahnen bleiben in einer
-<math>\varepsilon </math>
- - Röhre um
-<math>\Phi (t,{{\bar{x}}_{0}})</math>
-<u>'''Aymptotisch  bahnstabil:'''</u>
-Der Abstand benachbarter Bahnen geht gegen Null für t-> unendlich
-<u>'''Ljapunov- stabil'''</u>
-Für DASSELBE t gilt:
-<math>\left| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right|\to 0</math>
- für t-> unendlich ( t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)
-Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve
-<math>\Phi (t,{{\bar{x}}_{0}})</math>
-:
-<math>\begin{align}
-  & \delta {{{\dot{x}}}_{i}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{}}\frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}(\bar{x}(t),t)\delta {{x}_{k}} \\
- & \frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}(\bar{x}(t),t):={{A}_{ik}}(t) \\
-\end{align}</math>
-Dabei:
-<math>{{\lambda }_{k}}(t)\ zu\ {{A}_{ik}}(t)</math>
- Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren
-<math>{{\bar{\xi }}^{(k)}}(t)</math>
-Formale Lösung:
-<math>\delta \bar{x}(t)={{e}^{\int_{0}^{t}{dt\acute{\ }A(t\acute{\ })}}}\delta \bar{x}(0)</math>
-Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um
-<math>{{\bar{x}}_{0}}</math>
-, also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen
-<math>{{p}_{k}}(t)\tilde{\ }{{p}_{k}}(0){{e}^{{{\lambda }_{k}}t}}</math>
-<u>'''Definition: '''</u>Stabilität ist bestimmt durch die <u>'''Ljapunov-Exponenten '''</u>
-<math>{{\bar{\lambda }}_{k}}:=\begin{matrix}
-   \lim   \\
-   t\to \infty   \\
-\end{matrix}\ \frac{1}{t}\ln \frac{{{p}_{k}}(t)}{{{p}_{k}}(0)}</math>
-Nebenbemerkung: Sei
-<math>\lambda </math>
-der führende ( größte) Ljapunov- Exponent
-<math>\lambda :=\begin{matrix}
-   \lim \ \sup   \\
-   t\to \infty   \\
-\end{matrix}\ \frac{1}{t}\ln \left| \bar{x}(t)-\bar{y}(t) \right|</math>
-<math>\Rightarrow </math>
-<math>\left| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right|\tilde{\ }{{e}^{\lambda t}}</math>
-Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit
-<math>{{e}^{\lambda t}}</math>
-.
-Für
-<math>\lambda </math>
-<0: kleine Abweichungen der Anfangsbedingungen werden exponenziell gedämpft
-<math>\lambda </math>
->0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander ( Kriterium für Chaos)
-Für den chaotischen Attraktor im
-<math>{{R}^{3}}</math>
-gilt:
-Auf dem Attraktor:
-<math>{{\bar{\lambda }}_{1}}>0</math>
-auf dem Attraktor: chaotische Bewegung
-<math>{{\bar{\lambda }}_{2}}=0</math>
-: Bifurkationspunkte
-<math>{{\bar{\lambda }}_{3}}<0</math>
-: Von außen Annäherung an den Attraktor ( Abstand verringert sich exponenziell).
-<u>'''Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum:'''</u>

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Contents

Klassifizierung einfachster Bifurkationen:

Eigenwert- Null - Bifurkation

A2) Transkritische Bifurkation

A3) Stimmgabelbifurkation (pitchfork bifurcation)

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Klassifizierung einfachster Bifurkationen:

Eigenwert- Null - Bifurkation

A2) Transkritische Bifurkation

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